Đề thi Olympic truyền thống 30-4 năm 2014 môn Toán lớp 10

 KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4
 LẦN XX – NĂM 2014

Chuyên Môn thi : Ton -  : 10
 Ngày thi : 05/04/2014

180 phút



Ghi chú
:  Th câu trên 

 

  .
 01 trang.


Bài 1 (

): sau:

2 2 2 2
3
5x 2xy 2y 2x 2xy 5y 3(x y)
2x y 1 2 7x 12y 8 2xy y 5


      


       


.

Bài 2 

): 



(O) 



 , C  

(O) 




B. (O) 

 

, (O) D . 

(O)  

 P. 

  










trên (O).

Bài 3 (

): Cho a, b, 



 . 

:

2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
7a b c a 7b c a b 7c


     
 1.

Bài 4 

): :
x
2
+ y
2
+ x + y = kxy
 , y.

Bài 5 

): 
2n 

2n

viên 
 
2
1n 
 .  
viên 








Bài 6 

) 

: N*  N*\{1} (N* 



) :
f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3)  168.
h f(2014).

Hê
́
t
www.VNMATH.com


ĐÁP ÁN TOÁN 10
Bài Nội dung
Bài 1 (4 đ): Giải hệ phương trình sau

2 2 2 2
3
5x 2xy 2y 2x 2xy 5y 3(x y) (1)
2x y 1 2 7x 12y 8 2xy y 5 (2)


      


       


.


∑=4.0
Ta có: (1)  x + y ≥ 0 và
2 2 2 2
5 2 2 2 2 5    x xy y x xy y

=
2 2 2 2
(2x y) (x y) (x 2y) (x y)      

≥
2 2
(2x y) (x 2y) 2x y x 2y 3(x y)        



1.0
Dấu “=” xảy ra
0x y  

0.5

Thế y = x vào (2), ta được:
2
3
3 1 2. 19 8 2 5x x x x     
(3)
(3)
 
2
3
3 1 ( 1) 2 19 8 2 2 2
 
         
 
x x x x x x


0.5
Bài 1











 

 
3 2
2
2
2
2
3
3
2 6 7
2 2
3 1 1
19 8 ( 2) 19 8 ( 2)
  
 
  
  
     
x x x
x x
x x
x x
x x x x


0.5


 
 
2

2
2
2
2
3
3
2 ( 7)
2( ) 0
3 1 1
19 8 ( 2) 19 8 ( 2)
 

   
  
     
x x x
x x
x x
x x
x x x x


0.5



 
2
2
2

3
3
0
1 2( 7)
2 0(*)
3 1 1
19 8 ( 2) 19 8 ( 2)

 



  

  
     

x x
x
x x
x x x x



0,5

Vì x ≥ 0 nên (*) vô nghiệm. Do đó (3)  x = 0 hay x = 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
   
 

( , ) 0;0 , 1;1x y 


0.5
Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm di động trên (O) không trùng với A và
B. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại N, AN cắt (O) tại D khác A. Tiếp
tuyến của (O) tại D cắt CN tại P. Chứng minh rằng P di động trên một đường cố định
khi C di động trên (O).

∑=4

Xét hệ trục Oxy sao cho A(0; 1), B(0; –1).
Ta có:
(O): x
2
+ y
2
= 1; C  (O) nên C(cost; sint).
Vì C không trùng A và B nên cost ≠ 0.
CP là tiếp tuyến của (O) tại C
 CP: cost.x + sint.y – 1 = 0.




0,5
N(x
N
; –1)  CP  N(
1 sin

cos
 t
t
; –1)
Đường thẳng AN có VTCP là
1 sin 1
; 2 (1 sin ; 2cos )
cos cos

 
    
 
 

t
AN t t
t t

 AN: 2xcost + (1 + sint)(y – 1) = 0  AN: 2xcost + (1+ sint)y = 1 + sint



0,5
BD: (1 + sint)x – 2cost(y + 1) = 0  BD: (1+ sint) x – 2ycost = 2cost
0,5
Bài 2

Ta có D = AN  BD nên tọa độ D thỏa hệ:

0,5
P
D
N
O
B
A
C
www.VNMATH.com

2x cost (1 sint)y 1 sint
(1 sint)x 2y cost 2cost

   

  



4cost 5sint 3
x ; y
5 3sint 5 3sint

 
 

DP:
4cos
5 3sin
t
t
.x +
5sin 3
5 3sin


t
t
.y – 1 = 0 (Do DP là tiếp tuyến của (O) tại D)
 4cost.x + (5sint – 3).y = 5 – 3sint
0,5
Vì P = DP  CP nên tọa độ P thỏa hệ:

4cos . (5sin 3) 3sin 5
cos . sin . 1
    


 


t x t y t
t x t y

4x cost (5y 3)sint 3y 5
4x cost 4ysint 4

   

 



3y 1
sint
y 3



và
2
3(1 y )
cost
x(y 3)



. Vì cost ≠ 0 nên y ≠ 1 và y ≠ –1.

0,5
Ta có sin
2
t + cos
2
t = 1  x
2
(3y + 1)
2
+ 9(1 – y
2
)
2
= x
2
(y + 3)
2
.
 9x
2
y
2
+ 6x
2
y + x
2
+ 9(1 – y
2
)
2

– x
2
y
2
– 6x
2
y + 9x
2
.
 8x
2
(y
2
– 1) + 9(1 – y
2
)
2
= 0  8x
2
+ 9(y
2
– 9) = 0 (vì 1 – y
2
≠ 0)

2
2
1
9 / 8
x

y 
.

0,5
Vậy P thuộc elip (E):
2
2
1
9 / 8
x
y 
.
0.5
Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh:

2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
7 7 7
  
     
a b c
a b c a b c a b c


∑ = 3.0
Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có:
 
   
2
2 2 2

7 7 1 1 7      a b c a b c

0.5

 
2
2 2 2
1 9
7
7

 
 
a b c
a b c

2 2 2
1 3
7
7

 
 
a b c
a b c

2 2 2
3
7
7


 
 
a a
a b c
a b c

0.5
Mà
1 1 1 2 1
7 3 3 9 3
 
  
 
       
 
a b c a a a b c a a b c

3 1 2
7 3 3
 
 
 
   
 
a a
a b c a b c

Do đó:
2 2 2

1 2
3 3
7
 
 
 
 
 
 
a a
a b c
a b c



1.0
Bài 3
Tương tự ta có:
2 2 2
1 2
3 3
7
 
 
 
 
 
 
b b
a b c

a b c


2 2 2
1 2
3 3
7
 
 
 
 
 
 
c c
a b c
a b c

Cộng vế theo vế ta được:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
7 7 7
  
     
a b c
a b c a b c a b c

1,0
Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho phương trình
2 2
x y x y kxy   
(1)
có nghiệm nguyên dương
,x y
.
∑ = 3.0
Không mất tính tổng quát, giả sử
x y
. Xét giá trị k nguyên dương sao cho
phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương. Trong các nghiệm ấy ta gọi
 
0 0
;x y
là nghiệm sao cho
0 0
1 x y
và
0 0
x y
nhỏ nhất.



0,5

Bài 4

Ta có
 
2 2
0 0 0 0 0
1   x ky x y y
= 0 nên x
0
là nghiệm của phương trình

   
2 2
0 0 0
1f x x ky x y y    
= 0.
Vì
 
f x
là bậc 2 nên f(x) còn có thêm một nghiệm là
1
x
. Do đó (x
1
; y
0
) thỏa (1)
nên (x
1
; y
0
) là một nghiệm của (1).

Mà cách chọn
 
0 0
;x y
có x
0
+ y
0
nhỏ nhất nên
1 0 0 0
  x y x y
 x
1
≥ x
0
≥ y
0
≥ 1.
Khi đó y
0
nằm ngoài khoảng hai nghiệm của tam thức bậc hai
 
f x
có hệ số bậc
2 là số dương. Từ đó
 
0
0f y 
.

1,0
www.VNMATH.com
Do
 
2 2
0 0 0 0
2 2f y y y ky  
nên ta có

0
2
2 4k
y
  
(vì
0
1y 
). Suy ra
 
1; 2; 3; 4k 
.

0,5

+ Với
1k 
thì (1) 

2
2 2 2
3
0
2 4
y
x y x y xy x y x y
 
         
 
 
(vô lý )
+ Với
2k 
thì (1) 
 
2
2 2
2 0x y x y xy x y x y        
(vô lý)


0,5

+ Với
3k 
thì (1)  x
2
+ y
2

+ x + y = 3xy có nghiệm
   
; 2; 2x y 

+ Với
4k
thì (1)  x
2
+ y
2
+ x + y = 4xy có nghiệm
   
; 1;1x y 


0,5
Cho trước số nguyên dương
2n 
. Trong một giải đấu cờ vua có
2n
vận động viên
tham gia, mỗi người đấu với người khác đúng một ván. Tại một thời điểm trong giải,
người ta thấy có
2
1n 
ván đấu đã diễn ra. Chứng minh: khi đó có thể chọn ra ba vận
động viên sao cho hai người bất kỳ đều đã thi đấu với nhau.


∑ = 3.0

Ta chứng minh bằng quy nạp theo
n
.
● Với n = 2: Giả sử bốn vận động viên tham dự là
, , ,A B C D
và có 5 ván đấu đã diễn
ra.
Nếu hai trong ba người
, ,B C D
đều đã đấu với nhau một ván thì ta có đpcm.
Nếu có hai trong ba người
, ,B C D
chưa đấu với nhau. Giả sử B và C chưa đấu với
nhau thì do số trận tối đa là
2
4
C
– 1 = 5 mà đã có 5 ván diễn ra nên chỉ có B và C là
chưa đấu với nhau. Khi đó ba người
, ,A B D
và
, ,A C D
thỏa mãn yêu cầu bài toán.




1.0
● Giả sử bài toán đúng với n = k
 

*
, 2k k 
.
● Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1.
Giả sử
E
và
F
là hai vận động viên đã đấu với nhau.
Nếu tổng số ván đấu giữa 2k vận động viên còn lại lớn hơn hoặc bằng k
2
+ 1 thì theo
giả thiết quy nạp ta có đpcm.


1.0
Bài 5

Nếu tổng số ván đấu giữa 2k vận động viên còn lại nhỏ hơn hoặc bằng
2
k
, mà tại thời
điểm này có (k + 1)
2
+ 1 = k
2
+ 2k + 2 ván đấu đã diễn ra nên tổng số ván mà
E
và
F

đã đấu lớn hơn hoặc bằng 2k + 2 ( kể cả ván đấu giữa
E
và
F
). Suy ra số ván đấu
giữa E, F với nhóm 2k vận động viên kia lớn hơn hoặc bằng 2k + 1 (*) .
Nhận xét: Nếu không có người nào trong nhóm 2k vận động viên đã thi đấu với cả E và
F thì số ván thi đấu tối đa là 2k (mâu thuẫn với (*))
Do đó, trong số 2k vận động viên còn lại, phải có ít nhất một người đã đấu với cả
E
và
F
(giả sử người này là G). Khi đó ta có 3 vận động viên
, ,E F G
thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy bài toán được chứng minh.

1.0
Cho hàm số f: N*

N*\{1} thỏa f(n) + f(n + 1) = f(n + 2).f(n + 3) – 168 với n  N*
Tính f(2014)?

∑ = 3.0
Ta có f(k) + f(k + 1) = f(k + 2).f(k + 3) – 168
Ta có f(k + 1) + f(k + 2) = f(k + 3).f(k + 4) – 168
Do đó k  N* thì f(k + 2) – f(k) = f(k + 3).[f(k + 4) – f(k + 2)]
0.5

Suy ra rằng:
f(3) – f(1) = f(4).f(6)……f(2k).[f(2k + 1) – f(2k – 1)] (1)
f(4) – f(2) = f(5).f(7)…….f(2k + 1)[f(2k + 2) – f(2k)] (2)
Do đó: |f(3) – f(1)| = f(4).f(6)…….f(2k).|f(2k + 1) – f(2k – 1)| Với k  N*, k ≥ 2



0.5
Bài 6
Nếu f(3) ≠ f(1) thì f(2k + 1) ≠ f(2k – 1).
Vì | f(2k + 1) – f(2k – 1)| là số nguyên dương nên |f(2k + 1) – f(2k – 1)| ≥ 1
và f(n) ≥ 2, n  N* . Do đó: |f(3) – f(1)| ≥ 2
k – 1
, với k  N*, k ≥ 2


0.5
www.VNMATH.com
Điều này không thể xảy ra. Vậy f(3) = f(1) suy ra f(2k + 1) = f(2k – 1) = a
0.5
Tương tự f(2k + 2) = f(2k) = b với a, b  N*; a, b ≥ 2
Giả thuyết: a + b = ab - 168  ab – a – b + 1 = 169 = 13
2
 (a – 1)(b – 1) = 13
2
.

0.5

a 1 b 1 13   

hoặc
a 1 169
b 1 1
 


 

hoặc
a 1 1
b 1 169
 


 



b 14
b 2
b 170








.

Vậy f(2014) = 2 hoặc f(2014) = 14 hoặc f(2014) = 170


0.5

Chú ý:
Nếu học sinh làm bài 1 theo cách sau thì biểu điểm bài 1 như sau:
Bài 1 (4 đ): Giải hệ phương trình sau

2 2 2 2
3
5x 2xy 2y 2x 2xy 5y 3(x y) (1)
2x y 1 2 7x 12y 8 2xy y 5 (2)

      


       


.


∑=4.0
Ta có: (1)  x + y ≥ 0 và
2 2 2 2
5 2 2 2 2 5    x xy y x xy y
=
2 2 2 2
(2x y) (x y) (x 2y) (x y)      

≥
2 2
(2x y) (x 2y) 2x y x 2y 3(x y)        



1.0
Dấu “=” xảy ra
0x y  

0.5
Khi đó, ta được:
2
3
3 1 2. 19 8 2 5x x x x     
 
2
3
3 1 2 2 19 8 3 2 3x x x x        

0.5
   
 
  
2
3
3
3 1 38 1
1 2 3

3 1 2
19 8 3 19 8 9
x x
x x
x
x x
 
    
 
   


0.5
 
2
3
3
1
3 38
2 3
3 1 2
19 8 3. 19 8 9
x
x
x
x x






  

 
   




0.5
Xét phương trình:
 
2
3
3
3 38
2 3
3 1 2
19 8 3. 19 8 9
x
x
x x
  
 
   
(*)
Ta thấy
0x 
là một nghiệm của phương trình (*)

0.5
Với mọi
0x 
, ta có:
 
2
3
3
3 38
3 2 3
3 1 2
19 8 3. 19 8 9
x
x
x x
   
 
   

Nên phương trình (*) không có nghiệm dương.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
   
 
( , ) 0;0 , 1;1x y 



0.5

www.VNMATH.com