ĐỀ THI HSG TOÁN VÒNG 2 TỈNH ĐỒNG THÁP 2012-2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP
_______________________________

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT
DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2012 - 2013
_____________________________________________


ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Ngày thi: 28/10/2012
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề thi gồm có: 01 trang)

Câu 1:
(6 điểm)
Cho tam thức bậc hai
2
()
f
xaxbxc với các hệ số thực thoả mãn các điều kiện
|()|1, [1,1]fx x và phương trình
2
(2) 10axbxc

 có nghiệm thực.

a) Chứng minh rằng

517
·
48
|()|f 

b) Chứng minh rằng với mọi số dương q, ta đều có

12
11
()(
22
|( )|
2
).
f
qq q q



Câu 2:
(4 điểm)
Xác định các hàm số thoả mãn điều kiện
:(0,1)f  

() ((1 )), , (0,1).fxy fx y xy


Câu 3:
(6 điểm)
Cho tam giác đều ABC và hình vuông MNPQ nội tiếp trong cùng đường tròn

()
E
bán
kính 1. Giả sử điểm
I
chạy trên đường tròn ().E

a) Chứng minh rằng
32.IA IB IC 

b) Tìm giá trị lớn nhất của
:.
p
IM IN IP IQ


Câu 4: (4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực cho trước, luôn tồn tại dãy các số nguyên
3a 
dư
ơng
{}:
n
x

1
1,x 
1
2
,

3
nn
x
x

 , sao cho 1n

1
lim 2 / 3 .(( ) )
n
n
n
x
a




.


Họ và tên thí sinh: ________________________ Số báo danh: ___________________________
Chữ ký GT1:_____________________________ Chữ ký GT2:____________________________