Đề học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng học sinh các huyện, sở (30)

đề thi học sinh giỏi toán 9
Đề 7
Cõu I: (6đ) Cho biu thc:
2 1 1
( ) :
2
1 1 1
x x x
A
x x x x x
+
= + +
+ +
a- Rỳt gn biu thc A. b- Tớnh giỏ tr ca A khi
7 2 6x =
. c- Tỡm x A t GTLN.
Câu II: (4 im)
1. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
2. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình sau: 11x + 18y = 120.
Câu III: (2đ) Cho hệ phơng trình:

( )



+=
=
52
131
myx
mmyxm
Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho
22
yxS +=
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu IV. (2đ) Giải phơng trình sau:
2 4 2 2
3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + + =
Câu V. (2đ) Tim x, y, z thoa man:
x y z 2009 2 x 19 4 y 7 6 z 1997+ + = + +
Câu VI: (4đ)Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC . Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó. Dựng hình
vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đ-
ờng tròn (O) . Gọi K là giao điểm của CF và ED
a. Chứng minh rằng 4 điểm E, B, F, K nằm trên một đờng tròn.
b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ?

O
K
F
E
D

C
B
A
đáp án đề 7
Cõu I: a. iu kin xỏc nh:
0 1x
(0,25)
2 ( 1) ( 1) 2
.
1 1
x x x x x
A
x x x
+ + + +
=

2
( 2 1)2 2
( 1) ( 1) 1
x x
x x x x x
+
= =
+ + + +
(0,75)
b-
2
2 2
2
1 3 1 3

( )
2 4 4 4
A
x
= =
+ + +
(0,5). Du = xy ra
0 0x x = =
(0,25)
Vy giỏ tr ln nht ca A l 2 khi x = 0.(0,25)
c- Vi x =
2
7 2 6 ( 6 1) =
6 1x =
(0,5). Ta cú:
2 2
7 2 6 6 1 1 7 6
A = =
+ +
(0,5)
Câu II: a. Vy tp giỏ tr ca y l
1 11
;
2 2



, do ú
11 1
;

2 2
Max y Min y= =
(4đ)
b. Vậy
( ) ( )
, 6,3x y
=
là nghiệm nguyên dơng của phơng trình.(2đ)
Câu III: Khi m -1 thì hệ có nghiệm duy nhất



=
+=
3
1
my
mx

( ) ( ) ( )
8812104231
2
2
22
22
+=+=++=+=
mmmmmyxS
. Vậy
18
min

==
mS

Câu IV:Ta coự: VT 5; VP 5. Vây hệ có nghiệm duy nhất x = 1.
Câu V: Đa về dạng:
( ) ( ) ( )
03199727119
222
=++ zyx
.
Vậy nghiệm của phơng trình là: x = 20; y = 11; z = 2006.
Câu VI:
a. Ta có

KEB= 90
0

mặt khác

BFC= 90
0
( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)
do CF kéo dài cắt ED tại D
=>

BFK= 90
0
=> E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK
hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK.
b.

BCF=

BAF
Mà

BAF=

BAE=45
0
=>

BCF= 45
0
Ta có

BKF=

BEF
Mà

BEF=

BEA=45
0
(EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=>

BKF=45
0
Vì

BKC=

BCK= 45
0
=> tam giác BCK vuông cân tại B
đề thi học sinh giỏi toán 9
Đề 8
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức
x3
3x
1x
)3x(2
3x2x
3xx
P

+
+
+




=
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = 14 - 6
5
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tơng ứng của x.
Bài 2: (4 điểm) a) Giải phơng trình:

1
x1x
1
1x2x
1
2x3x
1
=
++
+
+++
+
+++
b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức:
)3z42y31x2.(235zyx
+++++=+++
Bài 3: (4 điểm) a) Cho x > 0, y > 0 thoả mãn:
2
1
y
1
x
1
=+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yxA +=
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x375x3B +=
Bài 4: (4 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x + y + xy = 4
b) Tìm các số nguyên x để

2x2x199
2
+
là số chính phơng chẵn.
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn (I) đờng kính BH cắt AB
tại D. Vẽ đờng tròn (K) đờng kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng:
a) AD.AB = AE.AC
b) DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K).
c) Diện tích tứ giác DEKI bằng nửa diện tích tam giác ABC.
Đáp án đề 8
Bài 1: (4 điểm) a) ĐK x 0, x 9
1
8
)3)(1(
)1)(3()3(23
2
+
+
=
+
++
=
x
x
xx
xxxxx
P
b) Ta có x = 14 - 6
5
= (

5
- 3)
2
=>
5335 ==x
=> P =
11
5258
c)
( )( )
2
1
9
1
1
9
1
1
911
1
91
1
8

+
++=
+
+=
+
++

=
+
+
=
+
+
=
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
P
áp dụng BĐT Côsi ta có:
( )
42922
1
9
122
1
9
1
==
+
+

+
++=
x
x
x
xP
P = 4
4
1
9
1
=
+
=+
x
x
x
. Vậy min P = 4 khi x = 4
Bài 2: (4 điểm) a. ĐK x 0, nghiệm của phơng trình là x = 1.
b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức:
)3z42y31x2.(235zyx +++++=+++
ĐK x -1, y -2, z -3. Nghiệm của phơng trình là x = 3; y = 7; z = 13
Bài 3: (4 điểm) a) Vì x > 0, y > 0 nên
0;0;0
1
;0
1
>>>> yx
yx
+ Vận dụng BĐT Côsi cho 2 số dơng

yx
1
;
1
ta đợc:








+
yxyx
11
2
111
. Suy ra :
4
4
11
xy
xy
+ Vận dụng BĐT Côsi cho 2 số dơng
yx;
ta đợc:
42.24.2.2 ==+= yxyxA
Vậy min A = 4 khi và chỉ khi x = y = 4
b) ĐKXĐ:

3
7
3
5
x
. Khi đó: A
2
= (3x - 5) + (7 3x) + 2
)37).(53( xx
= 2 + 2
)37).(53( xx
Vậy max A
2
= 4 => max A = 2 khi x = 2.
Bài 4: (4 điểm) a) x + y + xy = 4 (x + 1)(y + 1) 1 = 4 (x + 1)(y + 1) = 5.
Ta xó nghiệm là (0 ; 4) ; (4 ; 0) ; (-2 ; -6) ; (-6 ; -2)
b) Tìm các số nguyên x để
2x2x199
2
+
là số chính phơng chẵn.Vậy x
{ }
13 ;1 ;3 ;15
Bài 5: (4 điểm)
a) Nối HD, HE thì: BDH = 90
0
; CEH = 90
0
.
áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có: AH

2
= AB.AD; AH
2
= AC.AE, suy ra AD.AB =
AE.AC
b) Tứ giác AEHD là hình chữ nhật. Ta có: IDE = IDH + HDE = IHD + DHA = 90
0

=> ID DE => DE là tiếp tuyến của (I). Tơng tự ta có : DE là tiếp tuyến của (K)
Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K).
c) Ta có DEIK là hình thang vuông :
ABCDEIK
S
AHBCAHIKAHHKIHDEEKDI
S
2
1
2
.
2
1
2
.
2
).(
2
).(
===
+
=

+
=