Đề thi HSG toán lớp 9 (6)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (7 điểm)
Giải hệ phương trình:
4
4
x 3 4y
y 3 4x

+ =

+ =

Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thỏa mãn các bất đẳng thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c c a b b c a
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
+ + ≥ + + ≥ + +
+ + + + + + + + +
Thì |a| = |b| = |c|
Bài 2: (6 điểm)
1. Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là
số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và
hàng trăm giống nhau.
2. A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó,
cũng vậy con gái của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó.
Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác giới tính và C
không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác
giới tính với hai người kia?
Bài 3: (7 điểm)

Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD
vuông góc với nhau. Đường tròn (O
1
) nội tiếp trong tam giác ACD.
Đường tròn (O
2
) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OBD và
tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O
3
) tiếp xúc với 2 cạnh
OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đường tròn (O).
Đường tròn (O
4
) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với
đường tròn (O
1
). Tính bán kính của các đường tròn (O
1
), (O
2
), (O
3
), (O
4
)
theo R.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:

1. Tính giá trị của biểu thức:
11 3
A . 4 5 3 . 3 5 5 3 . 3 5 5 3
59
+
= + + + + + − + +
2. Cho số N = k
4
+ 2k³ – 16k² – 2k + 15 với k là số nguyên. Tìm điều
kiện của k để số N chia hết cho 16.
Câu 2: Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 2 2 2
x z y z
M
2x z 2y z
+ +
= +
− −
, trong đó x, y, z là các biến
khác 0 thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1 1 2
x y z
+ =
.
Hỏi biểu thức M có thể nhận giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Câu 3: Cho phương trình x² + 3y² + 2xy – 10x – 14y + 18 = 0. Tìm
nghiệm số của phương trình mà tổng giá trị của x và y:
a. Đạt giá trị lớn nhất;

b. Đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4: Cho hai số thực a > 0 và x. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 a 1
(a ) x 2x 1 (x 2x 2) 2a 4 (a )(x 2x 2)
a 2 a
+ − + + − + + − ≤ + − +
Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở O.
Gọi diện tích của tứ giác ABCD là S, gọi diện tích của các tam giác
AOB và COD lần lượt là S
1
và S
2
. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ
để hai cạnh AB và CD song song với nhau là:
1 2
S S S= +
.