Đề thi HSG toán lớp 9 (7)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (7 điểm)
a. Giải phương trình:
4 4
x 1 2 x x 9 6 x 2+ − + + − =
b. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình
cộng của a và c thì ta có:
1 1 2
a b b c c a
+ =
+ + +
Bài 2: (6 điểm)
a. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
2
x 3x 5
y
x 1
+ +
=
+
.
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x² + 2y² + 3xy – 2x – 4y + 3 =
0
Bài 3: (7 điểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông
góc với nhau. E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối
EB cắt OD tại N.
a. Chứng minh rằng tích

OM ON
AM DN
×
là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất
của tổng
OM ON
AM DN
+
, khi đó cho biết vị trí của điểm E?
b. Gọi GH là dây cung cố định của đường tròn tâm O bán kính R đã cho
và GH không phải là đường kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn
GH. Xác định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (8 điểm)
Cho phương trình 2x² – 2mx + m² – 2 = 0. (1)
a. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân
biệt.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1

và x
2
thỏa mãn hệ thức
3 3
1 2
5
x x
2

+ =
.
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của m để
nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: (4điểm)
Giải phương trình:
2
x 4x 3
− +
= 4x – x². (2)
Bài 3: (8 điểm)
Cho tam giác ABC có
·
o
ABC 60
=
, BC = a, AB = c. Hình chữ nhật MNPQ
có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC gọi là
hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC.
a. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích
lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
b. Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Tính diện tích
của hình vuông đó.