Đề thi HSG toán lớp 9 (8)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: Cho M = x² + y² + xy – 3x – 3y + 2011. Với giá trị nào của x, y
thì M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó?
Bài 2: Chứng minh rằng
1 1 1
2
2 1 3 1 (n 1) n
+ + + <
+
với mọi số tự nhiên n >
0
Bài 3: Giải phương trình
a.
2 2
x 6x 10 x 6x 18
− + + − +
= 6x – 5 – x² b. 2(x² + 2) =
3
5 x 1+
Bài 4: Chứng minh x, y, z,
x y z
+ +
đều là các số hữu tỉ thì
x, y, z

cũng là các số hữu tỉ.
Bài 5:
1. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng không đi qua gốc tọa độ, cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ

bằng b thì đường thẳng đó có dạng
x y
1.
a b
+ =
2. Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1.
a. Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi
m.
b. Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng là
lớn nhất.
Bài 6: Cho tam giác OAB (OA = OB). Vẽ đường cao OH, AK biết OA =
a,
·
AOH = α
.
a. Tính các cạnh tam giác AKB theo a và α.
b. Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và α. Từ đó biểu
diễn sin2α, cos2α theo sinα, cosα.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD. O là một điểm thuộc miền trong hình
vuông sao cho OA: OB: OC = 1: 2: 3. Tính số đo góc AOB?
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: Cho parabol (P): y =
1
3
x².
1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi
qua điểm A(2; 1).
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Với giá

trị nào của m thì đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N,
khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi. Tìm
quĩ tích các điểm M
o
từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của parabol (P)
và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Bài 2: Giải hệ phương trình
2 2
x y xy 7
x y xy 19
+ + = −


+ − =

Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm bất kì
thuộc nửa đường tròn. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông
BCDE và ACFG. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn.
a. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho thì
đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đường thẳng FG luôn
đi qua điểm cố định khác.
b. Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đường
tròn đã cho.
c. Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đường tròn
đã cho.