Đề thi HSG toán lớp 9 (9)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: Rút gọn biểu thức
A x 2 x 1 x 2 x 1= + − + − −
Bài 2: Cho biểu thức
2a a 1 2a a a a a a
B 1 ( )
1 a
1 a a 2 a 1
+ − − + −
= + − ×
−
− −
a. Rút gọn B.
b. Chứng minh rằng B > 2/3.
Bài 3: Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn ab = cd = 1. Chứng minh
bất đẳng thức: (a + b)(c + d) + 4 ≥ 2(a + b + c + d).
Bài 4: Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
C 1 1 1
2 3 3 4 2011 2012
= + + + + + + + + +
là
số hữu tỷ.
Bài 5: Cho ba số x, y, z thỏa mãn
2 2 2
3 3 3
x y z 1
x y z 1


+ + =


+ + =


. Hãy tính tổng x + y + z.
Bài 6: Cho ΔABC (AB < AC). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC.
Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại D.
a. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBIC.
b. Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ΔABC với các
cạnh AB, BC. K là hình chiếu vuông góc của C xuống đường thẳng AI.
Chứng minh M, N, K thẳng hàng.
Bài 7: Cho ΔABC. Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại
D và cắt AC tại E. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta
luôn có diện tích ΔPDE không lớn hơn 1/4 diện tích ΔABC. Đường
thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích ΔPDE đạt giá trị lớn nhất.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức
a)
2
1
A
x 2x 1
=
− −
b)

1
B
x 2x 1
=
− +
Bài 2: Tìm các giá trị của x sao cho
x 1 x 3
+ < +
Bài 3: Cho biểu thức
2 2
A x 6x 9 x 6x 9
= − + − + +
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị để A = 1
Bài 4: Tìm các giá trị của x sao cho
a.
2
x 3−
≤ x² – 3 b.
2
x 6x 9 x 6− + > −
Bài 5: Cho a + b + c = 0 và a, b, c khác 0. Chứng minh
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + +