Đề thi HSG toán lớp 9 (10)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n thì n
4
+ 6n³ + 11n² + 30n – 24 chia hết
cho 24.
Bài 2: Xác định a và b để A = x
4
– 2x³ + 3x² + ax + b là bình phương của
một số thực.
Bài 3: CMR với mọi số thực a, b, c, d ta có (ab + cd)² ≤ (a² + c²)(b² + d²)
với a ≥ c; b ≥ c; c > 0. CMR:
( ) ( )
c a c c b c ab
− + − ≤
Bài 4: Rút gọn
B 4 10 2 5 4 10 2 5
= + + + − +
Tìm x để biểu thức
C x x 2012= − −
có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất
đó.
Bài 5: Cho tam giác ABC (AB < AC), M là điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥
AM, CK ⊥ AM. Xác định vị trí của M để tổng BI + CK lớn nhất.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Đường thẳng qua C cắt các cạnh
AB và AD kéo dài tại F và E.
a. CMR: Tích DE.BF không đổi.
b. CMR:
2
2

DE AE
BF AF
=
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Tìm số tự nhiên sao cho tổng số đó với các chữ số của nó bằng
2017.
Câu 2: Tìm x, y, z trong các trường hợp sau
a. x = 2y = 3z và x² + y² + z² = 441
b. x² + y² + z² + 4049028 ≤ 4(14x + 5y + 1006z)
Câu 3: Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a³ + b³ + c³ = 3abc và a + b + c =
6048. Tính giá trị của biểu thức P = (a – 2011)
2011
+ (b – 2012)
2012
+ (c –
2013)
2013
Câu 4: Cho tam giác ABC có diện tích S không đổi. Điểm M; N; P thuộc
AB, BC, CA sao cho
AM BN CP
k
MB NC PA
= = =
(k > 0)
a. Chứng minh
ABC
1
S AB.ACsinA

2
=
và
AMP
2
S k
S (k 1)
=
+
b. Tìm k để S
MNP
nhỏ nhất
Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC ở A, AD là trung tuyến thuộc cạnh
huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình
chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N
xuống đường thẳng PD.
a. Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b. Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một
điểm cố định.