Đề thi HSG toán lớp 9 (11)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x
100
+ y
100
= x
101
+ y
101
= x
102
+ y
102
.
a. Hãy tìm giá trị của biểu thức: A = x
2012
+ y
2012
.
b. Giải hệ phương trình:
2 2 2
x y z 6
xy yz zx 1
x y z 14
+ + =


+ − = −



+ + =

Bài 2: Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba
cạnh). Chứng minh rằng
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − −
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm
gì?
Bài 3: Cho đường tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi. A là một điểm
trên cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao
AD, BE, CK cắt nhau tại H.
a. Trong trường hợp góc BHC bằng góc BOC, tính AH theo a.
b. Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất.
Bài 4: Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh
bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang.
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B(1; 1) cố định, A di động
A(m; 0).
a. Viết phương trình họ đường thẳng (d
m
) vuông góc với AB tại A.
b. Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ (d
m
) đồng qui.
c. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho chỉ có 1 đường thẳng của
họ (d
m

) đi qua.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: Cho a + b + c ≠ 0; a³ + b³ + c³ = 3abc. Chứng minh rằng a = b = c.
Bài 2: Tìm x; y; z thỏa mãn phương trình
x y z 2009 2 x 19 4 y 7 6 z 1997
+ + − = − + − + −
Bài 3: Tính giá trị biểu thức:
1 2x 1 2x
P
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= +
+ + − −
với
3
x
4
=
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác AD, D thuộc BC.
a. Chứng minh rằng:
2 1 1
AD AB AC
= +
b. Nếu AD là phân giác góc ngoài thì kết quả trên thay đổi như thế nào?
Bài 5: Cho a, b dương sao cho a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1 1
Q a b

a b
= + + +