Đề thi HSG toán lớp 9 (12)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức
2 2 2
x y z
A
x 1 y 1 z 1
= + +
+ + +
Bài 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
2
1 1
2
x
2 x
+ =
−
Bài 3: (2,5 điểm)
Cho hệ phương trình ẩn x, y sau:
mx y 2m
x my m 1
+ =


+ = +

Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Giả sử (x, y) là nghiệm duy nhất
của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với m. Tìm số nguyên m để

x, y đều là số nguyên. Chứng tỏ (x, y) luôn nằm trên một đường thẳng cố
định.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường
chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I và I khác O.
a. Chứng minh: IA.IC = IB.ID
b. Vẽ đường kính CE. Chứng minh ABDE là hình thang cân, suy ra:
AB² + CD² = 4R² và AB² + BC² + CD² + DA² = 8R²
c. Từ A và B vẽ đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F,
cắt AC tại K. Chứng minh A, B, K, F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc
biệt.
d. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh AB = 2OM.
Bài 5: (1,0 điểm)
Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm
phân biệt. Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà
khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Cho A =
2012 2011−
và B =
2013 2012−
. Không dùng máy tính
hãy so sánh C và D.
Câu 2: Cho P(x) là đa thức bậc 3 với hệ số của x³ là số nguyên khác 0 và
khác –1. Biết P(2010) = 2011 và P(2011) = 2012. Chứng minh rằng:
P(2012) – P(2009) là hợp số
Câu 3:
a. Gọi

n
1 1 1
S
1 2 2 3 n n 1
= + + +
+ + + +
, n là số tự nhiên lớn hơn không.
Tìm tất cả các giá trị của n sao cho n ≤ 100 và S
n
có giá trị nguyên.
b. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc = 2012. Chứng
minh rằng:
2012a b c
1
ab 2012a 2012 bc b 2012 ca c 1
+ + =
+ + + + + +
Câu 4:
a. Chiều cao của một tam giác bằng 3; 4; 5. Tam giác này có phải là tam
giác vuông không?
b. Cho hình vuông ABCD với M và N lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC và CD. Tính cosin góc MAN?
Câu 4:
Cho (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc nhau tại C. Kẻ đk COA và CO’D; tiếp
tuyến chung ngoài EF với F thuộc (O) và E thuộc (O’). Gọi H là giao
điểm của AF và DE.
a) Chứng minh góc AHD vuông. Từ đó suy ra HC là tiếp tuyến chung
của hai đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài thứ hai BI với B thuộc (O), I thuộc (O’).
Chứng minh: EF + BI = BF + EI.

c) Tính diện tích tứ giác BFEI theo R; R’.
Câu 5:
a. Chứng minh rằng luôn tồn tại số có dạng 2012201220122012 2012
mà số đó chia hết cho 2003.
b. Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân
biệt. Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng
cách giữa chúng không vượt quá 1.