Đề thi HSG toán lớp 9 (14)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1:
1. Rút gọn biểu thức:
2
2
1 1 a 1 1
P ( )(1 )
1 a a
2 2 a 2 2 a
+
= + − +
−
+ −
với a > 0 và a ≠ 1.
2. Giải phương trình:
2 x 2 x
2
2 2 x 2 2 x
+ −
+ =
+ + − −
.
Bài 2:
1. Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của
phương trình bậc hai (m – 2)x² – 2(m – 1)x + m = 0. Hãy xác định giá trị
của m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác là
2
5
.

2. Vẽ các đường thẳng x = 6; x = 42; y = 2; y = 17 trên cùng một hệ trục
tọa độ. Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường
thẳng trên không có điểm nguyên nào thuộc đường thẳng 3x + 5y = 7.
Điểm M(x, y) được gọi là điểm nguyên nếu x, y cùng là số nguyên.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB
cắt CD tại F. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội
tiếp được đường tròn là: EA.ED + FA.FB = EF².
Bài 4: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = 2BC/3, đường cao AE. Đường
tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F.
1. Chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ECF.
2. Gọi M là giao điểm của BF với đường tròn (O). Chứng minh rằng
BMOC là tứ giác nội tiếp.
Bài 5: Mỗi điểm của mặt phẳng được gắn với một trong hai màu: xanh
hoặc trắng. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều, với cạnh bằng 1
hoặc
3
, có ba đỉnh cùng màu.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1:
1. Rút gọn biểu thức:
4
2
4
2
4 4
2 1
1

x x 1 x
x
x
P ( )
1 x x 1 x
+ +
− +
= + −
− +
với x > 0 và x ≠ 1.
2. Giải phương trình:
x x
(5 2 6) (5 2 6) 10− + + =
.
Bài 2:
1. Tìm số nguyên a để phương trình x² – (3 + 2a) + 40 – a = 0 có nghiệm
nguyên.
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
2
4x 3
y
x 1
+
=
+
.
3. Tìm hai số chính phương có bốn chữ số biết rằng mỗi chữ số của số
thứ nhất lớn hơn chữ số cùng hàng của số thứ hai cùng một số đơn vị.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có
ˆ

C
= 45°. Đường
tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt ở M và N.
1. Chứng minh MN vuông góc với OC.
2. Chứng minh
2
.MN = AB.
Bài 4: Cho hình thoi ABCD có
o
ˆ
B 60
=
. Một đường thẳng qua D không
cắt hình thoi, nhưng cắt các đường thẳng AB, BC lần lượt tại E và F.
Gọi M là giao điểm của AF và CE. Chứng minh rằng đường thẳng AD
tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF.
Bài 5: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
a b c
+ + =
. Chứng minh
rằng:
1 1 1
2a b c a 2b c a b 2c
+ +
+ + + + + +
≤ 1.