Đề thi HSG toán lớp 9 (15)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: So sánh
1111
2222
2007 1
2007 1
+
+
và
2222
3333
2007 1
2007 1
+
+
Câu 2: Cho hình thang ABCD (BC//DA), hai đường chéo cắt nhau tại O,
Lấy P trên AB sao cho PO//BC. Biết BC = 3, DA = 7. Hãy tính OP.
Câu 3: Giải hệ phương trình
2 8
3
10
xy 10
x
10
y

=



=


Xét số nguyên dương a và các số thực x, y, z thỏa mãn: 2x + a = y, a + y
= x, x + y = z. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của tổng x + y + z.
Câu 4: Các điểm A, B, C, D lấy trên các cạnh PQ, QR, RS, SP của tứ
giác PQRS sao cho ABCD là hình bình hành và AC, BD, PR, QS đồng
quy. Chứng minh rằng PQRS là hình bình hành.
a. Cho f(x) = x² + 6x + c, với c là số nguyên. Chứng minh rằng f(0) + f(–
1) là số nguyên lẻ.
b. Cho g(x) = x³ + px² + qx + r; với p, q, r là các số nguyên. Chứng minh
rằng nếu cả g(0), g(–1) đều lẻ thì phương trình g(x) = 0 không thể có ba
nghiệm nguyên.
Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy X trên AB, Y trên BC; S
DAX
= 5,
S
XBY
= 4, S
YCD
= 3. Tính diện tích tam giác DXY.
Câu 6: Ký hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Tính tổng
[ 1] [ 2] [ 49] [ 50]+ + + +
Câu 7: Biết AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính BD.
Câu 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n số 121
n
– 25
n
+
1900

n
– (–4)
n
luôn chia hết cho 2000.
Câu 9: Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn
a b c 1
1 1 1
1
ab bc ca
+ + =



+ + =


Câu 10: Hãy tính giá trị của biểu thức
1 1 1
M
1 a ab 1 b bc 1 c ca
= + +
+ + + + + +
Câu 11: Tứ giác lồi ABCD có tính chất AB = CD,
·
·
o
ADC DAB 90
+ =
. Lấy
cạnh BC làm đáy, dựng ra ngoài tam giác vuông cân EBC. Chứng minh

rằng tam giác EAD cũng vuông cân.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Cho biểu thức
2
2
2x x 1
P(x)
3x 4x 1
− −
=
− +
1. Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút rọn P(x).
2. Chứng minh rằng: Nếu x > 1 thì P(x).P(–x) < 0.
Câu 2: Tìm giá trị nguyên của x và y trong đẳng thức: 2x³ + xy = 7.
Câu 3: Giải hệ phương trình
2
2 2
6x 3xy x 1 y
x y 1

− + = −


+ =


Câu 4: Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh
BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Đường tròn tâm O’ nằm

trong góc A của tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo dài
của các cạnh AB, AC tương ứng tại các điểm P, M, N.
1. Chứng minh rằng: BP = CD.
2. Trên đường thẳng MN ta lấy các điểm I và K sao cho CK//AB,
BI//AC. Chứng minh rằng BICE là hình bình hành.
3. Gọi (S) là đường tròn đi qua ba điểm I, K, P. Chứng minh rằng (S)
tiếp xúc với các đường thẳng BC, BI, CK.
Câu 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b
+ + ≥ + +
+ + + + + + + + +