De thi hsg toan 9 thi học sinh giỏi

Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
a, Cho
( ) ( )
1 2 1x y z+ + =
. Tính:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 3 2 1
2 1 1 3 1 2 1 1
x y y z z x
x y y z z x
+ + + + +
+ +
+ + + + + + + +
b, Cho các số nguyên dương
;a
;b
c
đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn:
( )
a b c ab+ =
. Hỏi
a b
+
có phải là số chính phương không? Vì sao?

Câu 2: (6,0 điểm)
a, Giải phương trình:
( )
2
2 2
2 18 12 4 2 9 4 3 2 4x x x x− + − − − − =

b, Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2
3 2 4 36 3 2 1 2 3
3 2 1 40
x xy x y x y
x y x

− + − − = + + −


− + =


Câu 3: (3,0 điểm)
Cho các số thực không âm
;a
;b
c
. Chứng minh rằng:
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 3 3a b c abc ab bc ca+ + + ≥ + +

Câu 4: (6,0 điểm)
Từ một điểm M cố định nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với
đường tròn (A, B là tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Vẽ dây DN của
đường tròn (O) song song với AB (N khác D).
a, Chứng minh CN luôn đi qua một điểm I cố định và bốn điểm I, O, D, C cùng nằm trên một
đường tròn
b, Đường thẳng qua C vuông góc với OA, OB lần lượt cắt AD, BD tại E, F. Chứng minh rằng
EF vuông góc với OM
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;1). Chứng minh trong ba cạnh của tam
giác ABC có ít nhất một cạnh có độ dài không nhỏ hơn
3
.
HẾT./.