Đề thi HSG toán lớp 9 (3)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:
a. Cho a, b > 0, c ≠ 0. Chứng minh rằng:
1 1 1
0 a b a c b c
a b c
+ + = ⇔ + = + + +
b. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 1
1
x y
x 1 y 1 xy 2

+ =



− + − = +

Câu 2:
a. Cho p ≥ 5 là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng
minh rằng p + 1 chia hết cho 6 và 2p² + 1 không phải là số nguyên tố.
b. Giải phương trình nguyên: x³ = y³ + xy + 8
Câu 3:
a. Tìm tất cả các số nguyên n để bất đẳng thức: (n² – 1)x < – 3n³ – 4n² +
n + 2 đúng với mọi số nguyên dương x.
b. Cho x, y, z là các số thực không âm và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn

nhất của P = xy + yz + zx.
Câu 4: Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi K, N lần lượt là trung điểm
của AB, BC và F là trung điểm của NC. Từ A kẻ đường thẳng song song
với KF cắt CD tại G. Chứng minh FG là tiếp tuyến của đường tròn tâm
O nội tiếp trong hình vuông.
Câu 5: Giải phương trình:
2 2
2 2
x 3 x 3
x
x x 3 x x 3
+ −
+ =
+ + − −
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1:
a. Chứng minh nếu b là số nguyên tố lớn hơn 3 và 10b + 1 cũng là số
nguyên tố thì 5b + 1 chia hết cho 6.
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + x + 13 = y².
Bài 2: Cho xyz = 1, chứng minh rằng:
1 1 1
1
1 x xy 1 y yz 1 z xz
+ + =
+ + + + + +
.
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
2

2
2
2x 1 x 1 2x
1 x
( ).
x 1 1 x 2x
− + + −
−
+
− −
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 4 2 4
A 13 x x 9 x x
= − + +
với 0 ≤ x
≤ 1.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh 1 đơn vị. Trên cạnh BC và CD
lần lượt lấy M và N sao cho MC + CN + MN = 2. Các đoạn thẳng AM,
AN lần lượt cắt đường chéo DB tại I, K. Chứng minh các đoạn thẳng BI,
LK, KD lập thành ba cạnh của một tam giác vuông.