Đề thi HSG toán lớp 9 (16)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1:
1. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết
cho 24.
2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy – 2x – 3y + 1 = 0.
Bài 2: Cho các số a, b, c khác không và đôi một khác nhau, thỏa mãn điều kiện a³
+ b³ + c³ = 3abc. Tính:
b c c a a b a b c
( )( )
a b c b c c a a b
− − −
+ + + +
− − −
Bài 3:
1. Tìm a để phương trình 3|x| + 2ax = 3a – 1 có nghiệm duy nhất.
2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c thỏa mãn điều kiện |f(x)| ≤ 1 với mọi
x [ 1;1]
∈ −
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 4a² + 3b².
Bài 4: Cho góc xOy và hai điểm A, B lần lượt trên hai tia Ox, Oy, thỏa mãn OA
– OB = m (m là độ dài cho trứơc). Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trọng
tâm G của tam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi h
a
, h
b
, h
c
lần lượt là các đường cao và m

a
,
m
b
, m
c
lần lượt là các đường trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần
lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
a b c
a b c
m m m
R r
h h h r
+
+ + ≤
.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1.
1. Giải hệ phương trình
2
2
x 3 y 3
y 3 x 3

+ − =




+ − =

2. Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x² + 2006x + 1 = 0 và x
3
, x
4
là nghiệm
của phương trình x² + 2007x + 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = (x
1
+ x
3
)(x
2
+
x
3
)(x
1
– x
4
)(x
2
– x
4
) – 2006.

Bài 2. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA,
AB lần lượt tại M, N, P. Gọi Q là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống NP.
Chứng minh rằng:
1. QM là tia phân giác của góc BQC.
2. Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. (E, F thứ tự là giao điểm của
BI, CI với NP).
Bài 3. Cho a, b, c là 3 số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn
1 1 1
a b c
+ =
. Chứng minh rằng tổng a + b là số chính phương.
Bài 4. Cho x, y, z, t là 4 số thực thỏa mãn x² + y² < 1. Chứng minh (xz + yt – 1)²
≥ (x² + y² – 1)(z² + t² – 1).
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm của AD. Qua E vẽ đường
thẳng vuông góc với BE cắt DC tại F. Tính tỉ số
EF
EB
.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1. Cho f(x) = (m² – 8)x³ – (4m² – 9m – 13)x² + 2(8 – 3m)x – m.
1. Tìm m < 0 để f(1) = 0.
2. Với giá trị của m tìm được ở câu a, tìm g(x) để f(x) = (x – 1)g(x) và tìm các
nghiệm còn lại nếu có của phương trình f(x) = 0.
Câu 2.
1. Tình giá trị của biểu thức A = x³ + y³ – 3(x + y) + 1967, biết:
3 3
x 3 2 2 3 2 2= + + −
và

3 3
y 17 12 2 17 12 2
= + + −
.
2. Cho
2
x
1 1
2 1 1 2 1 1
=
−
+ − + +
. Tính giá trị của biểu thức: B = (x
4
– x³ – x² + 2x –
1)
2007
.
Câu 3. Cho một tam giác có số đo ba cạnh là các số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a² +
3b² + 2c² – 4ab + 2ac – 20 = 0. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
Câu 4. Cho tam giác ABC, kẻ AD và AE lần lượt là phân giác trong và ngoài tại
đỉnh A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1. Biết AD = AE.
Tính AD khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Câu 5. Cho 8 số nguyên dương tuỳ ý không lớn hơn 20. Chứng minh rằng luôn
chọn được ít nhất 3 số trong 8 số đó làm số đo ba cạnh của một tam giác.
Câu 5: Cho
2 1 3 2 25 24
A
2 1 3 2 25 24
− − −

= + + +
+ + +
. Chứng minh A < 0,4.
Câu 6: Cho dãy số x
1
, x
2
, x
3
, , x
11
thỏa mãn 1 ≤ x
1
< x
2
< x
3
< < x
11
≤ 1000.
Chứng minh rằng tồn tại i ∈ {1, 2, 3, , 10} sao cho x
i + 1
– x
i
– 1 <
3
i i 1
3 x .x
+
.

Câu 7: Giải phương trình
42 4
x 3x 2 x 3 0
− + + − − =
.