ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH VĨNH PHÚC 2013-2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN THPT
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi 25/10/2013

Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình
2
3sin 2 3 1 2cosx x
  
.
Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2 4
3
y x mx m  
(1), m là tham số thực.
a) Tìm m để đường thẳng
4
y x m  
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có
diện tích bằng 2, trong đó
(0; 1)C 
.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực
3 2 2

2
3 3 2
( , )
2 6
x x y x xy m
x y
x x y m

   



   




a) Giải hệ khi
2m 
.
b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
M
là trung điểm của
BC
và

H
là trung điểm của
.AM
Biết
HB HC a 
,

0
30HBC

; góc giữa mặt phẳng
 
SHC
và mặt phẳng
 
HBC
bằng
0
60
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S HBC
và tính cosin của góc giữa đường thẳng
BC
và mặt
phẳng
 
SHC
.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình thang ABCD vuông
tại A và D;
2 , 3AB AD CD AD 
. Đường thẳng BD có phương trình
2 1 0x y  
,
đường thẳng AC đi qua điểm
 
4;2
M
. Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD
bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực
, ,a b c
thỏa mãn
0 a b c  
và
2 2 2
3a b c  
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
3 2014P abc a b c   
.
………. Hết……….
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………….