Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa số 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (112.64 KB, 4 trang )

THPT Quảng Xơng 3
Sở giáo dục và đào tạo
Thanh Hóa kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT

Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Bài 1 (4 điểm)
1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2

=
x
x
y
hai tiếp
tuyến tạo với nhau một góc 45
0
.
2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới
hạn bởi:
xy
2
log=
; x + y = 3; y = 0.
Bài 2 (4 điểm)
1. Tìm m để hệ
( )
( )

<+++
<++
077
022
2
2
mxmx
mxmx
có nghiệm.
2. Giải phơng trình
332
2
+= xxx
.
Bài 3 (4 điểm)
1. Giải phơng trình cos6x cos4x + 4cos3x + 4 = 0.
2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
6
13
coscoscos
1
coscoscos
++
+++
CBA
CBA

.
Bài 4 (4 điểm)
1. Giải phơng trình
( ) ( ) ( )
[ ]
23log5log3
53
+=+ xxxx
.
2. Tính
x
xx
x
13121
lim
3
0
++

.
Bài 5 (4 điểm)
1. Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đờng thẳng

=
=+
0122
0322
zyx

zyx
có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu.
2. Với a, b, c dơng và 1 R, chứng minh rằng:
11
1
11
1
11
1

+
+
+
+
+

+
+
+
+
+

ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh số báo danh
1
THPT Quảng Xơng 3
Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bà
i

ý
Nội dung Điể
m
I
1
TXĐ D = R\{1}
M Ox M(x
0
; 0), đờng thẳng qua M với hệ số góc k có phơng
trình: y = k(x x
0
) ()
() là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ:
( )
( )

=

=

k
x
xx

xxk
x
x
2
2
0
2
1
2
1
có nghiệm

( )
( )
0
2
22
1
2
1
xx
x
xx
x
x

=

( )
[ ]
021
00
=+ xxxx

+
=
=
1
1
2
0
0
0
0
xVoi
x
x
x
x
Với x
0

= 0 k = 0,
Với x
0
=
1
2
0
0
+x
x
k =
( )
2
0
0
1
4
+

x
x
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:
21
21
0
1
45
kk
kk
tg

+

=

( )
2
0
0
1
4
+x
x
=
1

223
0
=x
M
1
(
223 +
; 0), M
2
(
223
; 0).
0.5đ
0.5đ
0.5đ

0.5đ
2
Giao điểm của đồ thị hàm số
xy
2
log=
, và đờng thẳng x +y = - 3 là
A(2; 1) V =
( )

+

dxxdxx
3
2
2
2
1
2
3log
=V
1
+ V

2
V
1
=
dxx

2
1
2
log
=
dxxe

2
1
2
ln.log
=
=
( )
12ln2.log
2
e
.
V
2
=
( )
dxx

3
2
2
3
= =
3
1
V=[
3
1
+
( )
12ln2.log
2
e
] (đvtt)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
II
1
( )
( )

<+++
<++
)2(077
)1(022
2
2
mxmx
mxmx

1
= (m 2)
2
0 và
2
= (m 7)
2
0 m = 2 hoặc m = 7 thì
hệ phơng trình vô nghiệm.
Với

7
2
m
m
và
0

m
thì tập nghiệm của (1) là D
1
R
+
và tập
nghiệm của (2) là D
2
R
-
nên hệ phơng trình vô nghiệm.
Với m < 0 tập nghiệm D
1
= (m; 2) và tập nghiệm D
2
= (-7; -m)
hệ phơng trình luôn có nghiệm.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
y
O 1 2 3 x
1
THPT Quảng Xơng 3
Bà
i
ý
Nội dung Điể

m
Hệ phơng trình luôn có nghiệm với m < 0.
0.5đ
2

( )
( ) ( )( )
0133033
2
=+++=+++ xxxxxxxx

2
131
03
0
3
2

=

=

=+ x
xx
x
xx

2

173
023
1
13
2
+
=

=

=+ x
xx
x
xx
Kết luận:
2
131
=x
và
2
173 +
=x
là nghiệm.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
III

1

04cos33cos43cos2
2
=++ xsxx

( )
02sin213cos2
2
=++ xx

=
=
02sin
13cos
x
x

=
+=
2
3
2
3

lx
k
x
KL: Nghiệm x = + 2k
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
đặt
CBA coscoscos
++
= 1+
2
sin
2
sin
2
sin4
CBA
= t 1< t
2

3
Xét f(t) =
t
t
1
+
trên (1;
2
3
], có f(t) =
2
1
1
t

> 0 hàm số đồng
biến trên (1;
2
3
]
t (1;
2
3
] thì f(1) < f(t) f(
2
3
) =
6
13
Vậy

6
13
coscoscos
1
coscoscos
++
+++
CBA
CBA
Dấu bằng xảy ra khi:
CBA coscoscos
++
=
2
3
hay tam giác đều.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
IV
1
Pt
( ) ( )
3log5log
53
+ xx
=
3
2

+
x
x
với x > 5
Hàm số y =
( ) ( )
3log5log
53
+ xx
đồng biến trên (5; + )
Hàm số y =
3
2

+
x
x
có y=
( )
2
3
5

x
< 0 nghịch biến trên (5; + )
phơng trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ
2
L =
x
xxxx
x
131313121
lim
333
0
+++++

=
x
x
x
x
121
31lim
3
0
+
+

+
x
x
x
131

lim
3
0
+

= L
1
+ L
2
L
1
=
x
x
x
x
121
31lim
3
0
+
+

=
( )
121
2
31lim
3
0

++
+

xx
x
x
x
= 1
L
2
=
x
x
x
131
lim
3
0
+

=

++++

13131

3
lim
3
2
3
0
xxx
x
x
= 1
0.5đ
0.5đ
0.5đ
3
THPT Quảng Xơng 3
Bà
i
ý
Nội dung Điể
m
Vậy L = 2
0.5đ
V
1

=
=+

)(0122
)(
0322
Qzyx
P
zyx
ta nhận thấy

)(
)(
QI
PI
và (P) (Q)
hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng
phân giác 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là
hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phơng trình
2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
|2x + 4y z -3| = |x 2y -2z -1|

=
=++
04- 3z-x 3
0 2 - z 4y x

Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/) =
3
2141 +
=
3
4
Phơng trình mặt cầu cần lập là:
( ) ( ) ( )
9
16
111
222
=+++ zyx
0.5đ
0. 5đ
0.5đ
0.5đ
2
Giả sử a b c > 0
0
11
1
11
1
11
1