Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 Bảng H của Giáo viên Lê Việt Cường

đề thi học sinh giỏi lớp 12
( Thời gian 180 phút)
Giáo viên:Lê Việt Cờng
Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x
3
-(3+2m)x
2
+5mx +2m
a). khảo sát hàm số khi m=-1
b) Tìm m để phơng trình x
3
-(3+2m)x
2
+5mx +2m = 0
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 2:(5 điểm) Cho phơng trình
( )
xxmxxx +=++ 4512

a) Giải phơng trình khi m = 12
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài 3: (4 điểm) Tính
x
xx
Lim
x
11001.101
20062005
0
++
>

Bài 4: (3 điểm) Giải phơng trình
log
3
(x
2
+x+1) - log
3
x = 2x-x
2
Bài 5 : (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện.
G
1
, G
2
, G
3
, G
4
lần lợt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC.
Đặt AG
1
= m
1
, BG
2
= m
2
, CG
3

= m
3
, DG
4
= m
4
.
CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi
m
1
+m
2
+m
3
+m
4
=
3
16R
hớng dẫn sơ lợc toán HSG12
1b) Phơng trình x
3
-(3+2m)x
2
+5mx +2m = 0


(x-2m)(x
2
-3x-m)=0

=
=
)2(03
2
2
mx
mx
x
Phơng trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phơng trinh(2) có 2 nghiệm
phân biệt

2m
( )







>

>+=


4
9
4
7
,0
049
02.3
2
2
m
mm
m
mm
m
Bài 2:( 5 đ)
a)(2 đ) Từ điều kiện 0

4x
VP


12)4445(12 =+
VT

44
+
12124 =+

phơng trình có nghiệm x=4
b). (3 đ )
Phơng trình đã cho

f(x) =
( )( )
mxxxxx =++ 4512
(2)
Xét hàm số f(x) trên [0;4]
f(x)=f
1
(x)f
2
(x) với
f
1
(x) =
12++ xxx
có f
1
(x) =
122
1
2 +
++

xx
x
x
>0

f
1
(x)

trên [0;4] và f
1
(x)

0

x

[0;4]
f
2
(x) =
xx 45
có f
2
(x) =
xx
xx
xx
+
=

+


452
544
42
1
52
1

>0

f
2
(x)

trên [0;4] và f
2
(x)

0

x

[0;4]

f(x)

trên [0;4]

Min
[o;4]
f(x) = f(0) =
( )
4512
và Max
[o;4]
f(x) =12
Từ đó (2) có nghiệm

Min
[o;4]
f(x)

m

Max
[o;4]
f(x)


( )
4512

m

12 là điều kiện để (1) có nghiệm
Bài 3:( 5 đ)
Trớc hết ta chứng minh: a

0, n

N, n

2 thì
n
a
x
ax
n
x
Lim
=
+
>
11
0
Đặt y =
n
ax+1
khi đó x

0 thì y

1 và
( )
n
a
y

y
a
y
x
ax
yy
Lim
y
LimLim
n
y
n
y
n
x
=
+++

=


=
+

>>>
)1
1
1
111
(1

110
(2 đ)
Ta có:
x
xx
Lim
x
11001.101
20062005
0
++
>
=
x
xxxx
Lim
x
1100110110 01.101
2006200620062005
0
+++++
>
=
x
x
x
x
x
LimLim
xx

110011101
1001
2006
0
2005
2006
0
+
+








+
+
>>
=
2006.2005
220560
2006
100
2005
10
=+
(3 đ)
Câu 4: Phơng trình đã cho

=
++
>
x
x
Log
x
x
x
x
2
2
3
2
1
0







=

++
>
3
2
2
1
0
2
xx
x
x
x
x
xét hàm số y=
x
x
x
1
2
++
với x>0, Minf(x) = 3 với x=1
y= g(x)=
3
2
2
xx
với x>0, Maxf(x) =3 với x=1

Phơng trình đã cho có nghiệm x=1.
Bài 5:( 4 đ) Gọi O và G lần lợt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện

Ta có:





=+++
=+++
OGDGCGBGA
R
ODOCOBOA
2
2222
Mặt khác: 4R
2
=
( ) ( ) ( ) ( )
GDOGGCOGGBOGGAOG +
+
+
+
+
+
+
2222
(1 đ)


4R
2

= 40G
2
+GA
2
+GB
2
+GC
2
+GD
2
(1 đ)
mà GA
2
=
m
2
1
16
9
, GB
2
=
m
2
2
16
9
,GC
2
=

m
2
3
16
9
,GD
2
=
m
2
4
16
9


4R
2
= 40G
2
+
( )
mmmm
2
4
2
3
2
2
2
1

16
9
+++

⇒
4R
2
≥

( )
mmmm
2
4
2
3
2
2
2
1
16
9
+++
(1 ®)
Theo B§T “ Bunhiacopxki” ta cã
( )
)(4
4321
4321
2
mmmm

mmmm
+++≤
+++

⇒
R
2

≥

( )
( )
mmmmmmmm
4321
2
4321
256
9
64
9
+++
≥+++
( 1 ®)

⇔
3
16
4321
R
mmmm

≤+++
DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi :
⇔



===
≡
mmmm
GO
4321
Tø diÖn ABCD
®Òu (1®)