Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa số 5

Sở gd&đt thanh hoá
Trờng THPT Hậu Lộc I đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: toán bảng A
Thời gian: 180 phút
Bài1: ( 4 điểm)
Cho hàm số
222
2
++= xxmxy
1. Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi m = 3
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại một điểm x
o
<-2
Bài 2: ( 4điểm)
1. Tìm m để nghiệm của bất phơng trình sau chứa đoạn
[ ]
2;1

0
13
2
13
2
2

+
+
xx
xxm
2. Giải bất phơng trình:

64264264
222
)1()1()2(
++++++
++
xxxxxx
mmm
Với 0 < m < 1
Bài 3: ( 4điểm)
1. Giải phơng trình:

x
x
ógonx
x
xx
coslog
sinlog
)sin1()cos1(
cos
+=+
2. Cho ABC. Tìm giá trị lớn nhất của sinC biết:
sin
2
A + sin
2
B = k sin
2
C Với k >
2

1
Bài 4: ( 2 điểm)
Tìm các đa thức f(x) thoả mãn:
x.f(x-1) = (x-3) f(x)
Bài 5: ( 6 điểm)
1. Lập phơng trình của Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) và đỉnh S(2;1).
2. Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông. Gọi H là hình chiếu của
O lên đáy ABC. Chứng minh rằng:
a)
2222
1111
OCOBOAOH
++=
b)
OABOACOBCABC
SSSS

++=
2222
®¸p ¸n ®Ò thi hsg líp 12
M«n: to¸n b¶ng A–
Bµi1:
1) (1,5®iÓm): Víi m =3 ta cã:
2232
2
+−+−= xxxy
TX§: D = R
TiÖm cËn xiªn bªn ph¶i
1
2232

lim
2
=
+−+−
=
+→
x
xxx
a
x
ω
(0,25®iÓm)
[ ]
32232lim
2
−=−+−+−=
+→
xxxxb
x
ω
(0,25 ®iÓm)
Ta cã tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i y= x-3 (0,25®iÓm)
TiÖm cËn xiªn bªn tr¸i
5
2232
lim
2
−=
+−+−
=

−→
x
xxx
a
x
ω
(0,25®iÓm)
[ ]
352232lim
2
=++−+−=
−→
xxxxb
x
ω
(0,25®iÓm)
Ta cã tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i y = -5x+3 (0,25®iÓm)
2) (2,5 ®iÓm): y
/
(x
o
) = 0
Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x
o
(0,25®iÓm)
y
//
(x
o
) < 0






<
−
+−
=
⇔







<
+−
=
+−
−
+−
⇔
)2(0
)1(
1
222
0
)22(

0
22
)1(
2
0
0
2
0
3
0
2
0
0
2
0
0
m
x
xx
m
xx
m
xx
xm
(0,5 ®iÓm)
§Æt
1
222
)(
0

0
2
0
0
−
+−
=
x
xx
xg
víi x
o
<-2 (0,25 ®iÓm)
)(0
22)1(
2
)(
0
2
0
2
0
0
/
xg
xxx
xg ⇒<
+−−
−
=

gi¶m (0,5 ®iÓm)
2)(lim
0
−=
−→
xg
x
ω
vµ g(-2) =
3
102
−
(0,5 ®iÓm)
VËy
3
102
−
< m < -2 (0,5 ®iÓm)
Bµi 2:
1.( 2 điểm): Với
[ ]
113
4
5
2;1
2
+ xxx
(0,25 điểm)
Đặt
4

5
113
2
+= txxt
(0,25 điểm)
Ta có bất phơng trình:
tt
m
t
mt
+

+

2
2
0
1
2
(0,25 điểm)
Xét
tt
xf
+
=
2
2
)(
với

4
5
;1t
(0,25 điểm)






<
+
+
=
4
5
;1;0
)(
24
)(
22
/
t
tt

t
tf
(0,25 điểm)
Ta có bảng sau:
Vậy để bất phơng
trình có nghiệm
chứa đoạn
[ ]
2;1
là
45
32
m
(0,25
điểm)
2.(2 điểm):
Vì
0)1(
642
2
>+
++ xx
m
với
mx ;
(0,25 điểm)
Ta có:
1)
1
1

()
1
2
(
64
2
2
64
2
22

+

+
+
++++ xxxx
m
m
m
m
(1) (0,25 điểm)
Đặt
2
t
tgm =
với
2
0

<< t

. Bất phơng trình (1) có dạng: (0,25 điểm)
1)(cos)(sin
2)2(2)2(
22
+
++++ xx
tt
(2) (0,25 điểm)
Vì
Rxx ++ ;22)2(
2
(0,25 điểm)
Và
tt
x 22)2(
sin)(sin
2

++
(0,25 điểm)

tt
x 22)2(
cos)(cos
2

++
(0,25 điểm)
t 1 5/4
f

/
(t)

f(t) 2
32/45
Ta suy ra vế trái của (2)
ttt + ;1cossin
22
(0,25 điểm)
Vậy bất phơng trình đã cho có tập nghiệm là R (0,25 điểm)
Bài 3:
1.(2 điểm):
Điều kiện:
Zkkxk +<< ;2
2
2



(0,25 điểm)
Ta có 1 + cosx > 0 ; 1 + sinx > 0 (0,25 điểm)
Phơng trình
)sin1ln(coslog)cos1ln(sinlog
sincos
xxxx
xx
+=+
(0,25 điểm)
(*)
)cos1ln(

)cos(ln
)sin1ln(
)sin(ln
)sin1ln(
sinln
cosln
)cos1ln(
cosln
sinln
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
=
+

+=+
(0,25 điểm)
Xét hàm số:
)1ln(
ln
)(

2
t
t
tf
+
=
với
)1;0(t
(0,25 điểm)

[ ]
0
)1ln()1(
ln)ln()(2ln
)(
/
<
++

=
ttt
ttttt
tf
với
)1;0(t
(0,25 điểm)
Hàm số f(t) nghịch biến
phơng trình (*) có nghiệm
xx cossin =
(0,25 điểm)

2
4
kx +=
k

Z (0,25 điểm)
2.(2 điểm):
Từ giả thiết, theo định lý sin ta có: a
2
+ b
2
= kc
2
(0,25 điểm)
Theo định lý cosin ta đợc: a
2
+ b
2
= k ( a
2
+b
2
-2abcosC ) (0,25 điểm)
ab
ba
k
k
C

2
.
1
cos
22
+
=
(0,25 điểm)
k
k
ab
ba
k
k
C
1
2
.
1
cos
22


+

=
theo côsi (0,25 điểm)
2
22
12

cos1sin
k
k
CC

=
(0,25 điểm)
Do sinC>0
k
k
C
12
sin


(0,25 điểm)
Dấu bằng xảy ra a = b hay A = B (0,25 điểm)
k
k
C
12
)max(sin

=
(0,25 điểm)
Bài 4:
Ta có: x.f(x-1)= (x-3).f(x) (1)
Cho x = 0 f(0) = 0 (2) (0,25 điểm)
Cho x = 1 f(1) = 0 (3) (0,25 điểm)
Cho x = 2 f(2) = 0 (4) (0,25 điểm)

Từ (2) ;(3); (4) ta suy ra f(x) chia hết cho x; x-1; x-2 (0,25 điểm)
Nên f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) (0,25 điểm)
Thay vào (1) ta đợc:
x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x) (0,25 điểm)
P(x-1) = P(x) ; x
P(x) = C hằng số (0,25 điểm)
Vậy f(x) = x.(x-1).(x-2).C với C là hằng số (0,25 điểm)
Bài 5:1.(1 điểm)
Đờng thẳng SF là trục của (P) có phơng trình: x y - 1 = 0 (0,25 điểm)
Đờng chuẩn () của (P) có phơng trình: x + y - 1 = 0 (0,5 điểm)
Gọi điểm M(x;y) (P) FM = d(M; ) (0,25 điểm)
2
)1(
)2()3(
2
22
+
=++
yx
yx
(0,5 điểm)
x
2
+ y
2
- 2xy - 10x - 6y + 25 = 0 (*) (0,25 điểm)
(*) là phơng trình của Parabol (P) nhận điểm S làm đỉnh
và F là tiêu điểm (0,25 điểm)
2.(4điểm):
Gọi A

1
=AHBC ; B
1
=BHAC
C
1
= CHAB (0,25điểm)
Theo giả thiết OA(OBC) OABC
Và OH(ABC) OHBC
BC(OAH) BCAH (0,5điểm) A B
1
C
Tơng tự BHAC; CHAB
H là trực tâm của ABC (0,25điểm)
Xét vuông AOA
1
tại O ta có: B (0,5điểm)
2
1
22
111
OAOAOH
+=
(1) (0,25điểm)
OBC vuông tại O, ta có:
222
1
111
OCOBOA
+=

(2) (0,25điểm)
Từ (1) và (2) ta có:
2222
1111
OCOBOAOH
++=
(đpcm) (3) (0,25điểm)
Nhân hai vế của (3) với 9.V
2
OABC
ta có: (0,25điểm)
9.V
2
OABC
=OH
2
.(S
ABC
)
2
= OA
2
. (S
OBC
)
2
= OB
2
. (S
OAC

)
2
= OC
2
. (S
OAB
)
2
(0,5điểm)
Ta đợc:
2
22
2
22
2
22
2
22
).().().()(
OC
SOC
OB
SOB
OA
SOA
OH
SOH
ABCABCABCABC
++=
(0,5 điểm)

CC A
H
O

OABOACOBCABC
SSSS

++=
2222
(đpcm) (0,5 điểm)
(Chú ý: cách khác có thể chọn hệ toạ độ Oxyz gốc O)
Lu ý: Những cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa thoe mỗi ý, mỗi bài.