Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa số 9

Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Quảng Xơng II
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Bảng A
(Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề).
Bài1: (4 điểm)
Cho hàm số f(x)=x
3
- 6x
2
+9x-1 (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Từ một điểm bất kỳ trên đờng thẳng x=2 ta có thể kẻ đợc bao nhiêu
tiếp tuyến đến (C).
(Đại học ngoại thơng khối A năm 2000).
Bài2: (4 điểm).
1. Tính I=

+
3
0
23
xx2x
dx.
2. Cho f(x) = 2x + m + log
2
[mx
2
- 2(m 2)x+ 2m-1].
Tìm m để f(x) có tập xác định là R.
Bài3: (4 điểm).

Giải phơng trình: ln(sinx+1) = e
sinx-1
.
Bài4: (2 điểm).
Giải hệ phơng trình:







=
=
=
1xz
1zy
1yx
Bài5: (4 điểm).
Cho hình lập phơng ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
cạnh bằng a. Lấy M trong đoạn AD
'
,

N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a
2
).
1. Chứng minh với x=
3
2a
thì MN ngắn nhất.
2. Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của
AD
'
và DB.
Bài6: (2 điểm).
Cho x,y,z








2
;
6
Chứng minh:
2
2
1
1
ysin

xsinzsin
xsin
zsinysin
zsin
ysinxsin







+
+
+
+

Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Quảng Xơng II
Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài
Câu Nội dung Điểm
Bài1
(4điểm)
1
(2điểm)
Tập xác định:
x
.

Chiều biến thiên: y
'
=3x
2
-12x+9
y
'
=0

x=1, x=3
Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3
Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1
Tính lồi lõm và điểm uốn
y
''
=6x-12
Hàm số lồi
x


(
)2,
Hàm số lõm
x

(2,+

)
Điểm uốn x=2, y=1
limy=+

; limy=-

x->+

x->-

Bảng biến thiên
Đồ thị: x=0 =>y=-1
y=0 =>x
3
-6x
2
+9x-1=0
Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3
x=0 =>y=-1
Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ chính xác đẹp
0,5
0,5
0,5
0,5
x -

1 3 +

y
'
+ 0 -
y
''

3 +

-

-1
2
(2điểm)
Xét A(2,a) trên đờng x=2. Tiếp tuyến tại A có phơng trình là:
y=(3x
0
2
-12x
0
+9)(x-x
0
)+x
0
3
-6x
0
2
+9x
0
-1
Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi
a=(3x
0
2
-12x
0

+9)(2-x
0
)+x
0
3
-6x
0
2
+9x
0
-1
2x
0
3
-12x
0
2
+24x
0
-17+a=0 (1)
Số nghiệm của phơng trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A
Xét g(x)= -2x
3
+12x
2
-24x+17
g
'
(x)=-6(x-2)
2

0


x

g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (-

,+

) do đó
phơng trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất
Vậy từ một điểm bất kỳ trên x=2 luôn kẻ đợc đúng một tiếp
tuyến đến (1)
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2
(4điểm)
1
(2điểm)
I=


3
0
2
)1x(x
dx =

3
0
x
1x
dx
=

1
0
x
( )
x1
dx +

3
1
x
( )
1x
dx
=

1
0
2
1
x
dx -

1
0
2
3
x
dx+

3
1
2
3
x
dx -

3
1
2
1
x
dx
=
15
8
+
5
38
0,5
0,5
0,5
0,5

2
(2điểm)
Ta chỉ cần mx
2
-2(m-2)x+2m-1>0
x


R
Khi



>++=
>
04m3m
0m
2'









>
<
>

1m
4m
0m
=>m >1
Vậy m>1 thì f(x) có tập xác định R
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4điểm)
Điều kiện sinx

-1, x

-
+

2k
2
(k

Z)
Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=e
y
ta có hệ

+=
+=
)2(1xsine
)1(1ye
y
sinx
Lấy (1) trừ (2) ta có phơng trình
e
sinx
e
y
= y-sinx
Nếu sinx > y thì e
sinx
> e
y
Phơng trình không có nghiệm
Nếu sinx < y thì e
sinx
< e
y
Phơng trình không có nghiệm
Vậy phơng trình có nghiệm khi sinx=y thay vào (2) ta
có: e
sinx
=sinx+1 (3)
Xét f(x)= e
x
-x-1 với x

-1
f
'
(x)= e
x
1=0 x=1
Vậy phơng trình (3) có nghiệm sinx=0 =>x=k

(k

Z)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
(2điểm)
Ta có

+=
+=
+=
)3(x1z
)2(z1y
)1(y1x
điều kiện x,y,z
1

Nếu (x,y,z) là một nghiệm của hệ gọi x= min(x,y,z) thì x

y,x

z (4)
z

1+
y
=x =>z

x Vậy z=x
x

y =>
x

y
=>1+
x

1+
z
z

y (5)
Từ (4) và (5) ta có x=y=z nên x=1+
x
=> x=y=z=
2
53 +
0,5
0,5
0,5
0,5
Bµi5
(4®iÓm)
1
(2®iÓm)
Dùng MM
'

⊥
AD; NN
'

⊥
AD
∆
DNN
'

vu«ng c©n nªn AM'=MM'
Ta cã AM
2
= x
2
=2MM'
2
=>MM'=AM'=
2
2x
V×
∆
N
'
DN
⊥
c©n => N
'
D=N
'
N=
2
2x
=>
∆
⊥
c©n MM'A =
∆
⊥
c©n NN'D

=>AM'=DN'=>AN'=DM'
M'N'= AD - 2AN'= x
2
M'N'=a - 2(a-
2
2x
)= x
2
- a
∆
MM'N
⊥
t¹i M' nªn MN
2

=M'M
2
+M'N
2
=
2
2
x
+(M'N'
2
+N'N
2
)=
2
2

x
+(x
2
-a)
2
+
2
2
x
=3x
2
-2ax
2
+a
2
§Æt f(x)=3x
2
-2ax
2
+a
2
xÐt trªn
[
)
2,0 a
f
'
(x)= 6x- 2a
2
=0 <=> x=

3
2a
VËy f(x) nhá nhÊt khi x=
3
2a
MN
2
=3
2
3
2a









- 2a
3
2a
2
+a
2
0,5
0,5
0,5
=

2
2
2
a
-
3
4
2
a
+a
2
=
3
2
a
=> MN=
3
a
0,5
2
(2điểm)
Xét


MM'D: MD
2
=MM'
2
+M'D
2

=
2
1
2
3
2a









+
2
2
2
3
2

a
a
=
9
5
9
4
9
222
aaa
=+
và MN
2
=
3
2
a
DN
2
=x
2
=
9
2
2
a
=>MN
2
+DN
2

=
9
5
2
a
Ta lại có MD
2
=MN
2
+DN
2
=
9
5
2
a
Vậy

MDN

tại N =>MN

DB
Xét


AN'N ta có AN
2
=AN'
2

+N'N
2
=
2
2
2
3
2









a
a
+
2
2
x
=
9
5
2
a
AM=x=
3

2a
MN=
3
a
nên AM
2
+MN
2
=
9
5
2
a
do đó
AN
2
=AM
2
+MN
2
=>

AMN

tại M
MN

AD Vậy MN là đờng vuông góc chung
0,5
0,5

0,5
0,5
Bài6
(2
điểm)
Đặt sinx=a; siny=b; sinz=c thì a,b,c






1,
2
1
Ta có
abc
accbba
b
ac
a
cb
c
ba ))()((
=

+

+

Ta chứng minh
abc
accbba ))()((
2
2
1
1









a,b,c






1,
2
1
Đặt u=
c
a
; v=

c
b
; do
2
1

a

b

c

1 thì
2
1

u

v

1 ta chứng
minh:
uv
vuuv )1)(1)((
2
2
1
1

ta có:
uv
vuuv )1)(1)((
v
vv
2
1
)1)(
2
1
1)(
2
1
(

= 1+
2
1
-v-
v
v
v
1
2

2
1
1
2
1
+
=
2
2
1
1







Dấu = khi u=
2
1
; v=
2
1
hay x=
6

; y=
4

; z=
2

0,5
0,5
0,5
0,5
Tài liệu tham khảo: 1. Đề thi Đại học của Bộ giáo dục xuất bản năm 1996.
2. Báo toán học và tuỏi trẻ năm 2000