Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa số 15

Sở GD ĐT Thanh Hóa Đề xuất đề thi học sinh giỏi
lớp 12
Môn: Toán - Bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Cho phơng trình:
m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1
1) Giải phơng trình trên với m=1.
2) Tìm m để phơng trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt
5
;
2 2
x



ữ

Bài 2:
1) Giải phơng trình (Sin)
x
+ (tg)
x
= ()
x
(với x là tham số, 0 < x <
2

)
2) Tìm a để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt.
3
2-

x - Sin a +1

. log

(x
2
+ 4x + 6) +
2
4
1
( 3) .log
2( 1 1)
x x
x Sina


+ +
=0
Bài 3: Với mọi ABC, k
3
0,
4



. Chứng minh:

( ) ( ) ( )
2 2 2 3 3 3

A B B C C A
Cos Cos Cos Cosk A Cosk B Cosk C


+ + + +
Bài 4: Xét hai dãy số:
{ } { }
+
+


>



= +



= +



1 1
1
1
a ; 0
1
; ; voi
1

(i=1, 2 )
n n i i
i
i i
i
b
a b a b
a
b a
b
Chứng minh (a
2006
+ b
2006
)
2
> 16039
Bài 5: Cho tứ diện ABCD
1) Gọi
i
(i= 1, 2, , 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lợt là các cạnh
của tứ diện
Chứng minh:

=


6
1
2

i
i
Cos
.
2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại
M và cắt DC tại N. Gọi V, V
1
lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và
DAMN. Chứng minh:
1
4 1
9 2

V
V
3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lợt
là: S
a
, S
b
, S
c
, S
d
. I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh:

+ + + =
uur uur uur uur r
. . . . 0
a b c d

S IA S IB S IC S ID
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: Toán. Bảng A
Câu Nội dung Điểm
Bài 1 5
1 3
Với m =1; Phơng trình
=



=

2
0
4 2 2 0
Cosx
Cos x Cosx







+


=

= =




= = +




x=
0
2
1 2
1 2
2
2 3
k
Cosx
Cosx x k
Cosx x k
1
2
2 2
Phơng trình
=

+ =

2
0
4 2 3 0
Cosx
Cos x Cosx m
* Cosx =0 Có 2 nghiệm:

=
3
; x=
2 2
x
* Ycbt 4Cosx
2
- 2 Cosx +m - 3 =0
=



= +

2
(-1 1)
( ) 4 2 3
Cosx t t
f t t t m
Có 2 nghiệm t
1

, t
2
thỏa mãn:
< < < <



1 2
2
1 0 1: (a)
0<t<1=t (b)
t t
* Trờng hợp (b) loại (vì nếu t
2
=1 thì t
1
<0)
* Trờng hợp (a)
<



<

( 1). (0) 0
1< m < 3
(0). (1) 0
f f
f f
Vậy giá trị m cần tìm: 1< m < 3

0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2 4
1 2
Phơng trình



+ =
ữ ữ

1
x x
Sin tg
Chứng minh:



ữ

0,
2
u
có Sinu < u < tgu
nên:

< <
ữ

1 : 0,
2
Sin tg
0,5
0,5
0,5
0,5
Khi đó





x =0: VT =2 > VP
x >0: VT > VP
x <0; VT> VP
Vậy phơng trình vô nghiệm
2 2
Đặt Sina -1 =m (-2 m 0)
ta luôn có: xR thì:

+ +


+

2
x 4 6 2
2 x-m 2 2
x
nên TXĐ của phơng trình là R
Ta có phơng trình
( )

+
+ +
+ + = +
2
2 2
4 6 2
( 3) .log ( 4 6) 3 log (2 2)
x m
x x
x x x m
Xét hàm số: f(t) =
( )
[
)

3 log ( ) : 2; +
t
t
là hàm số đồng biến với x[2; +)
nên phơng trình x
2

+ 4x +6 = 2 x-m +2 (*)

+ + + =


+ + =

2
2
2 2 4 0 : (1)
6 4 2 0 : (2)
x x m
x x m
Theo yêu cầu bài toán (*) có 3 nghiệm phân biệt







0 0
0 1
(1) có nghiệm kép x ;(2) có 2 nghiệm x
(2) có nghiệm kép x ;(1) có 2 nghiệm x
(1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau

=

=


=



3
2
5
2
2
m
m
m
(loại)
Vậy theo yêu cầu bài toán:







+



=

= +


=



= +


a=- 2
6
3
1
5
- ' 2
2
6
1 2
- "2
2
k
Sina
a k
Sina
a k
Có 3 họ giá trị của a cần tìm
0,5

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3 2
Mọi ABC có


< < < 0 1
4 4 4 4
A C A C
Cos
(1)
0,5
mµ:
π π π
π
≤ − ≤ − = − <
3 1
0 . 3
3 4 3 4 2
k B B B
nªn:
π π
− ≥ − >
3
. 0
3 4 3

Cosk B Cos B
(2)
Ta cã:
1 2
os os os .
2 2 2 4 4
3 3
os os . : (a)
4 4 4 4 3 3 3
A C B C A C A C B
C C C Cos
A C B A C
C Cos C Cos B Cosk B Cosk B
π π π π
− − − + −
 
+ =
 
 
− − −
 
= = − ≤ − = −
 ÷
 
Chøng minh t¬ng tù cã:
1
os os : (b)
2 2 2 3
B C C A
C C Cosk C

π
− −
   
+ ≤ −
 ÷
 
   
vµ
1
os os : (c)
2 2 2 3
C A A B
C C Cosk A
π
− −
   
+ ≤ −
 ÷
 
   
Tõ (a), (b), (c) suy ra (®pcm)
DÊu "=" khi A=B = C=
3
π
⇔∆ABC ®Òu
0,5
0,5
0,5
Bµi 4 2
Ta cã S

i
= (a
i
+ b
i
) (i=1,2,3….)
Th×

( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
i+1 i+1 i+1
2
2
2
2 2
1 1
S = (a + b ) = : (i=1,2, )
1 1 1 1
= +2
1 1
8 8
i i
i i
i i i i
i i i i
i i i i
i i

a b
a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b
 
 
+ + +
 
 ÷
 
 
 
   
+ + + + + ≥
 ÷  ÷
   
 
≥ + + + + > + +
 ÷
 
nªn ta cã: (a
1
+ b
1
)
2
> 0
(a

2
+b
2
)
2
> 0
(a
2
+b
2
)
2
> (a
1
+ b
1
)
2
+ 8
……………………….
(a
2006
+b
2006
)
2
> (a
2005
+ b
2005

)
2
+ 8
Céng c¸c b®t trªn, ta cã:
(a
2006
+b
2006
)
2
> 8 . 2005 = 16040 > 16039
0,5
0,5
0,5
0,5
Bµi 5 7

B
D
C
A
I
A1
D1
M

H¹ IA
1
⊥ (BCD); ID
1

⊥ (ABC)
IB
1
⊥ (ACD); IC
1
⊥ (ABD)
Dùng A
1
M

⊥ BC
1
D M BC
IM BC
⊥

⇒

⊥

nªn
·
1 1 1
A MD
α
=
(T¬ng tù víi α
2
…α
6

)
Ta cã:
( )
( )
2
1 1 1 1
2
1 1 1 1
2 2
1 2 6
6
i
i=1
0
4 2 . . 0
4 2 ( ) 0
Cos 2: (dpcm)
IA IB IC ID
r IA IB IC ID
r r Cos Cos Cos
α α α
α
+ + + ≥
⇔ + + + ≥
⇔ − + + ≥
⇔ ≤
∑
uur uuur uuur uuur
uur uuur uuur uuur
1,0

1,0
1,0
2 2

G
A'
A
B
C
D
O
M
N
∆



= =
= =
= ⇒ =
=
DAMN
ABCD
A' lµ träng t©m BCD
Gäi:
O lµ trung ®iÓm BC
DM DN
§Æt: vµ
DB DC
V

Ta cã: . . (1)
V
dt(DMA') ' 2 ( ') 2
Cã: . : (a)
dt(DBO) ( ) 3
2 ( ') 2
T ong tù
( ) 3
x y
DM DN DA
xy
DB DC DA
DM DA dt DMA
x
DB DO dt DBC
dt DNA
dt DBC
+
=
= = ⇒
⇒ ≠ ⇒

≤ ≥


≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤ ≤


≥



≤ ≤
: (b)
( )
Tõ (a), (b) suy ra:
( ) 3
( )
mµ . x+y=3xy
( )
1 x
y(3x-1) =x: (x ) y=
3 3x-1
1
x 0 va x
1
3
vµ 0 y 1 1
1 2
x
2
1
T ong tù, suy ra: ; 1
2
V
VËy:
y
dt DMN x y
dt DBC
dt DMN DM DN
xy

dt DBC DB DC
x
x y
 
= = =
 
−
 
−
⇔
−
2
1
2
1
( ) : ;1
V 3 1 2
3x 2 2
Cã: f'(x) = =0 x=
(3 1) 3
x
xy f x
x
x
x
vµ:
x
1
2
2

3
1
f'(x) - 0 +
f(x)
1
2
4
9
1
2

1
V
4 1
9 V 2
⇒ ≤ ≤
0,5
0,5
0,5
0,5
3 2

I
P'
D
A
B
C
M'
M

P
N'
N
Gọi





M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI)
N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI)
P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI)
vì I ở trong tứ diện, nên: M, M',. thuộc các cạnh của tứ diện.
Do: (DAM) là mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AD nên:
d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)]

= = = =

MB ( ) ( )

MC ( ) ( )
DAMB c
DAMC b
V S
dt AMB dt DAB
dt AMC V dt DAC S
điểm M đoạn BC; nên:
=
uuur uuuur
.

c
b
S
MB MC
S
+ = + =
+ = +
uuur uuuur r uur uuur uur uuur r
uur uur uuur
. . 0 ( ) ( ) 0
. . ( ). : (1)
b c b c
b c b c
S MB S MC S IB IM S IC IM
S IB S IC S S IM
Chứng minh tơng tự:
+ = +
uur uur uuur
. . ( ). : (2)
d a d a
S ID S IA S S IM
Mặt khác: I MM' = (AMD) (BCM')
nên các vecto
uuur uuur uuuuur
; '; ';IM IM MM
song song
Vậy gọi vecto:
= + + +
r uur uur uur uur
( . . . )

a b c d
v S IA S IB S IC S ID
thì
= + + +
r uuur uuur
( ) ( ). ')
a b c d
v S S IM S S IM
song song với
uuuuur
'MM
Chứng minh tơng tự:
r uuuur
// 'v NN
và
r uuur
// 'v PP
Nhng
uuuuur
'MM
;
uuuur
'NN
;
uuur
';PP
không đồng phẳng
nên:
=
r

0v
(đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
Chó ý:
1)§iÓm toµn bµi lµ ®iÓm tæng céng sau khi ®· lµm trßn ®Õn 0,5 ®iÓm (vÝ dô:
5,25 lµm trßn 5,5)
2) NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c mµ ®óng chÝnh x¸c th× cho ®iÓm tèi ®a cña
c©u ®ã.