Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa số 22

Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Bảng A
Thời gian: 180 phút
Bài 1: (4 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
x1
4x4x
y
2

+
=
.
2. Tính tích phân:


+
=
0
2
xcos1
xdxsinx
I
.
Bài 2: (4 điểm)
Cho phơng trình:
2x1xa
23
+=
1. Giải phơng trình khi a = 4.
2. Tìm a để phơng trình có nghiệm.

Bài 3: (4 điểm)
1. Giải phơng trình: tgx 3cotg3x = 2tg2x.
2. Chứng minh rằng
ABC

đều nếu thoả mãn:
tgA + tgB + tgC =
2
C
gcot
2
B
gcot
2
A
gcot ++
.
Bài 4: (2 điểm)
Tìm giới hạn:
1x3
x
)
2x
3x
(lim
+

+
+
.

Bài 5: (2 điểm)
Giải bất phơng trình:
2
2
2
)1x(
1x2
log2x6x2

+
+
.
Bài 5: (4 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy.
Cho elip (E) có phơng trình:
1
9
y
16
x
22
=+
; điểm I(-1;-2) và đờng thẳng
(d): x + y 6 = 0.
1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua I và cắt (E) tại hai điểm A, B sao
cho I là trung điểm AB.
2. Tìm toạ độ điểm M

(E) sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nhất.
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12

ý Nội dung
Thang điểm
Bài 1
1 Tập xác định: R\{1}
Sự biến thiên:
y=
=

+
0
)x1(
x2x
2
2

[
4y,0x
0y,2x
)0(
)2(
==
==
+,
=+=
+

y;y
limlim
1x1x
-> đờng thẳng x=1 là tiệm cận

đứng.
+,
=+=
+
y;y
limlim
xx
=+

++=

+
=

)]3x(y[
x1
1
3x
x1
4x4x
y
lim
x
2
=



x1
1

lim
x
đờng thẳng y= - x+3 là tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
x -

0 1 2 +

y - 0 + + 0 -
y
+

+

4
0
-

-

Đồ thị:
0.5
0.25
0.25
0.25
0.75
21
4
2
1

0
y
3
x
3
Bµi 1
2
TÝnh: I =
∫
π
+
0
2
xcos1
xdxsinx
§Æt
tx −π=

x 0
π
t
π
0
dx = - dt
I = -
Itd
tcos1
tsin
dt
tcos1

tsin)t(
0
2
0
2
−
+
π=
+
−π
∫∫
π
π
dt
tcos1
tsin
2
I
0
2
∫
π
+
π
=→
§Æt u = cost -> du = - sintdt
t 0
π
u 1 -1
∫

−
+
π
=→
1
1
2
u1
du
2
I
§Æt u = tgv víi v
)
2
;
2
(
ππ
−∈
, du = (1+tg
2
v)dv
u -1 1
v
-
4
π
4
π
4

)
44
(
2
v
2
dv
2
Idv
vtg1
dv)vtg1(
u1
du
2
4
4
4
4
2
2
2
π
=
π
+
ππ
=
=
π
=

π
=→=
+
+
=
+
π
π
−
π
π
−
∫
0.75
0.5
0.75
Bài 2
1
2
Điều kiện: x
1
Phơng trình đã cho tơng đơng với :
)01xxdo()
1xx
1x
(1
1xx
1x
a
)1x()1xx()1xx)(1x(a

22
2
2
22
>++
++

=
++


++=++
đặt t =
1xx
1x
2
++

điều kiện
3
323
t0
+

phơng trình trở thành: f(t) = t
2
+ at 1 = 0 (1)
Với a = 4 ta có: phơng trình (1) là: t
2
+ 4t 1 = 0

[
)iạlo(52t
]
3
323
;0[52t
=
+
+=


Với t =- 2 +
5
ta có: t =
1xx
1x
2
++

<=> t
2
x
2
+ t
2
x +t
2
= x 1 <=> t
2
x

2
+ (t
2
1)x +t
2
+ 1 = 0
1xnãmảthonênhihiển
t2
1t6t3t1
x
2
242

+
=
Vậy với a = 4 phơng trình đã cho có 2 nghiệm:
25tvới,
t2
1t6t3t1
x
2
242
2,1
=
+
=
Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình:
t
2
+ at 1 = 0 (1) có nghiệm

D]
3
323
;0[t =
+

dễ thấy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm t
1
, t
2
thoả mãn:
t
1
< 0 < t
2
, do đó phơng trình có nghiệm <=> t
2

D
323
)13(2
a0)
3
323
(f
+


+

Vậy tập giá trị cần tìm của a là:
+
+

;
223
)13(2
[
)
0.25
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
Bài 3
1
2
Điều kiện: cos2x

0; cosx

0; sin3x

0
tgx 3tg3x = 2tg2x
<=> tgx cotg3x = 2(tg2x + cotg3x)

)
x3sin
x3cos
x2cos
x2sin
(2
x3sin
x3cos
xcos
xsin
+=
<=> - cos4x . cos2x = 2 cos
2
x
<=> (2cos
2
2x - 1)(cos2x) +1 +cos2x = 0
<=> cos
3
2x = -
2
1
đối chiếu điều kiện: cosx

0 <=> cos
2
x

0 <=>
0

2
x2cos1

+
<=> cos2x

-1.
sin3x

0 <=> sinx(3 4sin
2
x)

0 <=> sin
2
x

0
sin
2
x


4
3
{{
1x2cos
2
1
x2cos

0
2
x2cos1
4
3
2
x2cos1







=> cos
3
2x = -
2
1
(thoả mãn điều kiện)
<=> cos2x = -
+

== k
2
xcos
2
1
3

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:

Zk,k
2
x +

=
với
3
2
1
cos =
Vì tgA, tgB, tgC xác định nên

ABC không vuông
1
2
B
gcot
2
A
gcot
2
B
gcot
2
A
gcot
)
2

B
2
A
(tg
2
C
gcot
tgC.tgB.tgAtgCtgBtgAtgC
tgAtgB1
tgBtgA

+
=+=
=++=

+

2
C
gcot.
2
B
gcot.
2
A
gcot
2
C
gcot
2

B
gcot
2
A
gcot =++
0.25
1
0.5
0.25
0.25
0.25
-> giả thiết đề cho tơng tơng với:
tgA.tgB.tgC =
2
C
gcot.
2
B
gcot.
2
A
gcot
> 0

ABC nhọn -> tgA, tgB, tgC là các số dơng
ta có: tgA.tgB =
Ccos)BAcos(
Ccos)BAcos(
Bcos.Acos
Bsin.Asin

+
=
ta sẽ chứng minh đợc:
(*)
Ccos1
Ccos1
Ccos)BAcos(
Ccos)BAcos(

+


+
thật vậy: 1- cosC > 0; cos(A-B) cosC = 2cosA.cosB > 0.
do đó (*) <-> cos(A-B) - cos(A-B)cosC + cosC cos
2
C


cos(A-B) + cos(A-B)cosC cosC cos
2
C
<-> cosC cos(A-B) cosC
0

<-> cos(A-B) 1
0
luôn đúng (vì cosC > 0)
Vậy:

2
C
gcot
Ccos1
Ccos1
tgB.tgA
2
=

+

tơng tự: tgA.tgC

cotg
2
2
B
tgB.tgC

cotg
2
2
A
2
C
gcot
2
B
gcot
2

A
gcottgCtgBtgA ++++
dấu = xảy ra khi: cos(A - B) = 1
cos(B - C) = 1 <=> A = B = C
cos(C - A) = 1
Vậy nếu
2
C
gcot
2
B
gcot
2
A
gcottgCtgBtgA ++=++

thì

ABC là tam giác đều.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 4
1x3
x
1x3
x

)1
2x
1
(lim)
2x
3x
(lim
+

+

+
+
=
+
+
đặt t = x + 2 ta có x
t
3
5
3t
t
1x3
x
e}
)
t
1
1(
1

.])
t
1
1{[(lim)
2x
3x
(lim =
+
+=
+
+

+

0.25
0.25
1.5
Bài 5
2
2
2
)1x2(
1x2
log2x6x2

+
+
(điều kiện
{
2

1
x
1x
>

)
2log
)1x(
1x2
log)1x2()1x(2
2
2
2
2


+
+
1x2)1x2(log])1x(2[log)1x(2
2
2
2
2
++++
Xét hàm số: f(X) = X + log
2
X
0x0
2lnX
1

1)X(f
'
>>+=
-> f(X) đồng biến trên
R
*
+
đặt: X
1
=2x + 1
X
2
= 2(x-1)
2
=> X
1
, X
2

R
*
+

với
{
2
1
x
1x
>

Khi đó bất phơng trình trở thành f(X
2
)

f(X
1
)
12
XX
tức là: 2(x-1)
2


2x+1
+ 01x6x2
2
[
2
73
x
2
73
x
+



Vậy bất phơng trình đã cho có tập nghiệm là:
);

2
73
[]
2
73
;
2
1
( +
+



0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
Bài 6
1
Giả sử đờng thẳng

là đờng thẳng có phơng trình cần tìm.
Vì

đi qua I(-1; -2) nên có phơng trình tham số:
{
at1x
bt2y
+=

+=
(a
2
+b
2

0
Vì A, B là giao điểm của

và (E)
nên: A(-1 + at
1
; -2 + bt
1
); B(-1 + at
2
; -2 + bt
2
)
với t
1
, t
2
là nghiệm của phơng trình:
1
9
)bt2(
16
)at1(
22

=
+
+
+
01
9
4
16
1
t)
9
b2
16
a
(2t)
9
b
16
a
(
2
22
=++++
(*)
0.25
0.5
2
0)1
9
4

16
1
)(
9
b
16
a
(
22
<++
vì a
2
+ b
2

0

nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t
1
, t
2

I là trung điểm AB nên:
1
2
)tt(a2
21
=
++

và
2
2
)tt(b4
21
=
++
<=>
0)tt(a
0)tt(b
21
21
=+
=+
<=> t
1
+ t
2
= 0 (vì a
2
+ b
2

0

)
t
1
+ t
2

= 0 <=>
0
9
b2
16
a
=+

<=> 9a = -32b, chọn b = -9 => a=32 => đờng thẳng

có ph-
ơng trình:
9
2y
32
1x

+
=
+
Giả sử M(x
0
; y
0
). vì M
)E(
nên:
1
916
y

x
2
0
2
0
=+
đặt
tcos
3
y
vàtsin
4
x
00
==
, Khi đó:
{
tsin4x
tcos3y
0
0
=
=
2
6)tcos(5
2
6tcos3tsin4
d
)d,M(

=
+
=
với
{
5
3
cos
5
4
sin
=
=
->
2
)tcos(56
d
)d,M(

=
=> d
(M, d)
nhỏ nhất <=> cos(t -

) = 1
+= 2kt
5
9
cos3)2kcos(3y
5

16
sin4)2ksin(4x
0
0
==+=
==+=
Vậy điểm cần tìm là: M(
5
9
;
5
16
).
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
0.75
0.5
0.25