Đề thi đề xuất kì thi học sinh giỏi các trường chuyên khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm 2015 môn Toán khối 11 của trường chuyên HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
TỈNH HÒA BÌNH
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN - KHỐI 11
NĂM 2015
Câu 1 (4điểm) Cho
, ,a b c
là các số dương thỏa mãn
1 1 1
a b c
a b c
+ + = + +
.
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 3
.
16
2 2 2a b c a b c a b c
+ + ≤
+ + + + + +
Câu 2 (4điểm) Cho dãy số
( )
n
x
không âm thỏa mãn
1
0x =

, và
( )
( )
( )
2
2 1 2 2 2 2
1 1
1 2 4 1 2 2 9 36 32
n n n
n n n n
n x n x n x nx
+ −
+ +
+ + + + + + = + +
,
1n
∀ ≥
.
Chứng minh rằng
n
x
là số nguyên với mọi n nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5.
Câu 3 (4 điểm) Cho
( )
O
và hai đường tròn
( ) ( )
1 2
,O O
tiếp xúc ngoài với nhau và

tiếp xúc trong với
( )
O
. Gọi
I
là tiếp điểm của
( )
1
O
và
( )
2
O
;
1 2
,M M
là tiếp điểm
của
( )
O
với
( ) ( )
1 2
,O O
. Tiếp tuyến chung tại
I
của
( ) ( )
1 2
,O O

cắt
( )
O
tại A.
1
AM
cắt
( )
1
O
tại
1
N
;
2
AM
cắt
( )
2
O
tại
2
N
.
a) Chứng minh rằng
1 2
OA N N⊥
.
b)
1 2

N N
cắt
( )
O
ở
,B C
;
AI
cắt
( )
O
tại
'A
. Chứng minh rằng
I
là tâm đường
tròn nội tiếp của tam giác
'A BC
.
c) Chứng minh rằng
1 2 1 2 1 2
, ,N N O O M M
đồng quy.
Câu 4 (4 điểm) Cho
( )P x
là đa thức có bậc
1n >
với hệ số nguyên. Chứng minh
rằng có tối đa
n

số nguyên
t
sao cho
( )
( )
.P P t t=

Câu 5 (4 điểm) Cho n là số nguyên dương. Cho 2n điểm trên phân biệt trên một
đường tròn được gán giá trị bởi các số 1,2, ,2n (2 điểm khác nhau được gán giá trị
khác nhau) theo một cách nào đó. Mỗi dây cung được nối 2 điểm trong các điểm
trên và được gán giá trị bằng độ chênh lệch dương giữa 2 đầu mút. Chứng minh
rằng ta có thể chọn được n dây cung đôi một không cắt nhau sao cho tổng giá trị
của các dây cung bằng n
2
Hết
ĐÁP ÁN ĐỀ THI
Câu Đáp án Điểm
Câu1
(4điểm)
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 1
(1).
4
2
a b a c
a b c a b a c
≤ ≤

+ +
+ + + + +
0,5đ
Tương tự
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
1 1 1
2 .
4
2
b a b c
a b c b a b c
≤ ≤
+ +
+ + + + +

( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 1
(3).
4
2
c a c b
a b c c a c b
≤ ≤
+ +
+ + + + +

0,5đ
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có
( ) ( ) ( )
2
a b c
VT
a b b c c a
+ +
≤
+ + +

Ta cần chứng minh
( ) ( ) ( )
3
2 16
a b c
VT
a b b c c a
+ +
≤ ≤
+ + +
Trước hết ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:
0,5đ
+ Mọi số dương a,b,c:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9 8a b b c c a a b c ab bc ca+ + + ≥ + + + +
0,5đ
Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với
2 2 2 2 2 2
6 .a b ab a c ac b c bc abc+ + + + + ≥

(Đúng)
0,5đ
+ Mọi số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện trên ta luôn có:
3ab bc ca
+ + ≥
.
0,5đ
Từ giả thiết:

1 1 1
( )a b c ab bc ca abc a b c
a b c
+ + = + + ⇒ + + = + +
Và từ bất đẳng thức quen thuộc
0,5đ

( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
3 3 3
3
3.
ab bc ca a b c a b c a b c
ab bc ca abc a b c
ab bc ca
+ + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
⇔ + + ≥

Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
9 3
.
2 16 16
a b c
VT
a b b c c a ab bc ca
+ +
≤ ≤ ≤
+ + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
0,5đ
Câu 2
(4 điểm)
Viết lại đẳng thức trong đầu bài về dạng
( ) ( )
2
2
1
1
1 2 2 3 6
n
n n
n x nx
−
+
 
+ + + = +

 
.
1đ
Từ x
n
không âm dẫn đến
( )
1
1
1 2 2 3 6
n
n n
n x nx
−
+
+ + + = +
, với mọi n.
1đ
Biến đổi về
( )
( )
1
1
1 2 2 3 2 2
n n
n n
n x nx
−
+
+ − + = − +

,
1đ
dẫn đến
( )
1 1
1 1
1 2 1 3 1
2 3 2
n n
n n
n
x
n n n
− −
− −
− −
= + − = +
, với mọi n.
Áp dụng định lý Fecmat nhỏ suy ra điều phải chứng minh.
1đ
Câu 3
(4 điểm)
Câu 3
(4 điểm)
a)
A
thuộc trục đẳng phương của
( )
1
O

và
( )
2
O
nên
1 1 2 2
. .AN AM AN AM=
suy ra
1 2 2 1
N N M M
là tứ giác nội tiếp dẫn đến
·
·
¼
»
¼
»
»
»
1 1
2
1
2
2
1 1
2 2
S S Sđ BM đ AC đ BM đ AB
AC AB OA N N
S
AN N AM M

+ +
= ⇒ ⊥
= ⇒ =
⇒


b) Gọi
,H K
là giao điểm của
AO
với
,( )BC O
.
Tam giác
ABK
vuông tại
B
có
BH
là đường cao
2
.AB AH AK⇒ =

·
1 1 1
90
o
AM K HN M K= ⇒
là tứ giác nội tiếp
( )

1
2 2
1 1
/
. .
A O
AB AH AK AN AM P AI
AB AC AI
⇒ = = = =
⇒ = =


Suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BIC

Dẫn đến
· ·
·
·
1 1 1
' '
2 2 2
IBC IAC A AC A BC= = =

Suy ra
BI
là phân giác của
·
'A BC

Rõ ràng
'A I
là phân giác của
·
'BA C
(do
»
»
AB AC=
)
Vì thế
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
'A BC

1,0

1,0

1,0

c)Giả sử
1 2
O O
cắt
1 2
N N
tại
D
, gọi

1 2
, ,R R R
là bán kính của
( )
O
,
( ) ( )
1 2
,O O
.
Rõ ràng
D
là tâm vị tự ngoài của
( )
1
O
và
( )
2
O
1 1
2 2
DO R
DO R
⇒ =
,lại
có
2 2 2
1 1 1
M O R

M O R
=

Suy ra
1 2 2 1
2 2 1 1
. . 1
DO M O M O
DO M O M O
=

Dẫn đến
1 2
, ,D M M
thẳng hàng (Menelauyt đảo)
Vậy
1 2 1 2 1 2
, ,N N O O M M
đồng quy.

1,0
Câu 4
(4 điểm)
+TH1 :Nếu mọi số nguyên
t
thỏa mãn
( )
( )
P P t t=
đêu thỏa mãn

( )P t t=
mà
( )P t t=
có tối đa
n
nghiệm nguyên dương nên bài
toán được chứng minh.

+TH2 :Nếu tồn tại số nguyên
1
t
mà
( )
( )
1 1
P P t t=
nhưng
( )
1 2 1 2
,( )P t t t t= ≠
thì
( ) ( )
2 1 1 2
;P t t P t t= =
Vì
deg 1P n= >
nên nếu chỉ có
1
t
thỏa mãn

( )
( )
P P t t=
thì bài toán
được chứng minh.

Giả sử có
3
t
sao cho
( )
( )
3 3 1 3
( )P P t t t t= ≠
, đặt :
( )
( )
3 4 4 3
P t t P t t= ⇒ =
Ta có
1 3
t t−
là ước của
( )
( )
1 3 2 4
P t P t t t− = −

Tương tự
2 4

t t−
là ước của
( ) ( )
2 4 1 3
P t P t t t− = −
Suy ra
( )
1 3 2 4
t t t t− = ± −
Nếu
1 3 2 4 1 2 3 4
t t t t t t t t u− = − ⇒ − = − =
, chứng minh tương tự ta thu
được
0,5

0,5
( )
1 4 2 3 1 3 1 3
1 4 2 3
1 3
1 4 3 2 1 3 3 1
0
t t t t t u t u t t
u
t t t t
t t
t t t t t u t t u t
− = − + − = − + −
=

 

− = ± − ⇔ ⇔ ⇔
 

=
− = − + − = + −

 
điều này vô lí.

Do đó
( )
( )
1 3 4 2 1 1 3 3
.t t t t t P t t P t c− = − ⇔ + = + =
Khi đó các nghiệm thoản mãn
( )
( )
P P t t=
đều thỏa mãn
( )
( )
P P t t c+ =
. Mà
( )
( )
P P t t c+ =
là phương trình bậc
n

nên
( )
( )
P P t t=
có tối đa
n
nghiệm nguyên.
KL
1,5
1,5
Câu 5
(4 điểm)
Bổ đề:Trên một được tròn có 2n điểm phân biệt. Người ta tô màu
2n điểm này bằng 1 trong 2 màu màu xanh đỏ sao cho có đúng n
điểm được tô màu xanh và đúng n điểm được tô màu đỏ. 2 điểm
khác màu nhau bất kì được nối bởi 1 dây cung. Khi đó với mỗi
cách tô màu luôn tồn tại n dây cung mà không có 2 dây cung nào
cắt nhau.
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh bổ đề trên bằng quy nạp
Dễ thấy bổ đề đúng với n=1
Giả sử bổ đề đúng với mọi n=m
Xét n=m+1:
Do các điểm chỉ được tô bởi 1 trong 2 màu nên phải tồn tại 2
điểm kề nhau mà chúng được tô khác màu. Ta chọn dây cung có 2
đầu mút là 2 điểm này.
Theo giả thiết quy nạp tồn tại cách chọn m cung trong số các dây
cung có đầu mút là các điểm trong 2m điểm còn lại mà không có
2 dây cung nào cắt nhau. Rõ ràng không có dây cung nào trong m
dây cung này cắt dây cung vừa chọn phía trên.
Như vậy tồn tại cách chọn m+1 dây cung mà không có 2 dây cung

nào cắt nhau, Bổ đề được chứng minh

Trở lại bài toán:
2,0
Ta tô các điểm có giá trị là 1,2,…,n bằng màu đỏ, các điểm n+1,
…,2n bằng màu xanh. Khi đó theo bổ đề tồn tại cách chọn n dây
cung mà mỗi dây cung có 2 đầu mút được tô bởi 2 màu khác nhau
và chúng đôi một không cắt nhau. Tổng giá trị của các dây cung
sẽ bằng:
(ĐPCM)
2,0