Đề thi đề xuất kì thi học sinh giỏi các trường chuyên khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm 2015 môn Toán khối 11 của trường chuyên HƯNG YÊN

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN TỈNH HƯNG YÊN
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 11
NĂM 2015
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4 điểm). Cho . Chứng minh rằng
.
Câu 2 (4 điểm). Cho dãy số được xác định bởi
Tìm giới hạn của dãy khi với là số thực cho trước.
Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Đường phân giác của góc cắt
tại khác . Gọi là điểm đối xứng với qua . cắt tại khác . là một điểm
thay đổi trên cạnh ). Đường thẳng cắt tại khác . Từ kẻ đường thẳng song
song cắt tại . Đường tròn ngoại tiếp cắt tại và cắt tại
. Chứng minh rằng thẳng hàng và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố
định khi thay đổi.
Câu 4 (4 điểm). Cho đa thức không phải là đa thức hằng, thỏa mãn

Chứng minh rằng đa thức chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức ;
.
Câu 5 (4 điểm). Có học sinh đứng thành hàng dọc, cứ mỗi lần thầy giáo thổi còi thì
có đúng 2 học sinh đổi chỗ cho nhau. Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi còi, ta có thể thấy tất cả
các học sinh đều đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình hay không ?
HẾT
Người ra đề
Đặng Thị Mến - ĐT 0979572198
ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11
Câu Nội dung chính cần đạt Điểm
Câu 1

Cho . Chứng minh rằng
(1).
Trong ba số luôn tồn tại hai số có tích không âm (nguyên lý
Dirchlet). Không mất tính tổng quát, giả sử .
1đ
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có


Do đó
1,5đ
Mà
suy ra chính là (1).
1đ
Dấu “=” khi và chỉ khi hoặc và các hoán vị.
0,5đ
Câu 2
Cho dãy số được xác định bởi
Tìm giới hạn của dãy khi với là số thực cho trước.
Dễ dàng chứng minh được bằng qui nạp
Ta có

Bởi vậy thì
1đ
Với , đặt trong đó
Từ , với (1), suy ra
khi .
1đ
Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy với
ta có 2 suy ra
Mà suy ra

(Ta có thể chứng minh trực tiếp , xem phần cuối).
1đ
Nếu thì
Nếu thì
Nếu thì khi .
1đ
Câu 3
Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Đường phân giác của góc cắt
tại khác . Gọi là điểm đối xứng với qua . cắt tại khác
. là một điểm thay đổi trên cạnh ). Đường thẳng cắt tại
khác . Từ kẻ đường thẳng song song cắt tại . Đường tròn ngoại
tiếp cắt tại và cắt tại . Chứng minh rằng
thẳng hàng và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
+) là điểm chính giữa của cung của và E đối xứng qua nên
(vì ).
(g.c.g) là trung trực
1đ
(do ).
Mà (do )
Có
và cùng phía đối với nên thẳng hàng.
1đ
+) Đường thẳng cắt tại khác
(vì ).
(vì ).



1đ
là đường kính của .

Mà là điểm chính giữa cung chứa thì không
nên cố định. Vậy đường thẳng luôn qua điểm cố định khi thay
đổi.
1đ
Câu 4
Cho đa thức không phải là đa thức hằng, thỏa mãn

Chứng minh rằng chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức
; .
Nếu thì bài toán luôn đúng.
Nếu .
Giả sử
với và đa thức không chia hết cho và (1).
1đ
Ta có ;
1đ


Từ (2) cho ta có (3).
Giả sử thì
Với thay (2) được (4).
+) Nếu có mà từ (4) suy ra .
mâu thuẫn với (1).
1đ
+) Nếu thì

mâu thuẫn với (1).
Suy ra giả sử sai, do đó . Từ (3) ta được
Vậy
Vì khác đa thức hằng nên suy ra chia hết

cho ít nhất một trong hai đa thức và
1đ
Câu 5
Có học sinh đứng thành hàng dọc, cứ mỗi lần thầy giáo thổi còi thì có
đúng 2 học sinh đổi chỗ cho nhau. Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi còi, ta có thể
thấy tất cả các học sinh đều đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình hay
không ?
Đánh số từ 1 đến n cho các bạn học sinh trong hàng dọc lúc đầu. Ký hiệu là tập
các hoán vị của .
Gọi là một hoán vị của . Cặp của
1đ
gọi là 1 nghịch thế của nếu và .
Xét ánh xạ mà thu được từ bằng cách đổi chỗ hai vị trí kề nhau
và giữ nguyên các vị trí còn lại.
Cho . Xét ánh xạ
Là hợp thành của ánh xạ. Dễ thấy thu được từ bằng cách đổi vị
trí của và giữ nguyên các vị trí còn lại .
1đ
Gọi là số nghịch thế của hoán vị .
Ta có
Do vậy (2).
Từ (1) và (2) suy ra (mod2) (3).
1đ
Giả sử là thứ tự của học sinh sau lần thổi còi thứ k của thầy giáo.
Ta có và với nào đó.
Theo (3) ta có (mod2).
Do đó (vì .
Nếu k lẻ thì do đó . Vậy sau 2015 lần thổi còi, tất cả các
học sinh không thể đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình.
1đ

Nhận xét:
Câu 2 ta có thể chứng minh trực tiếp như sau (chứng minh định lý trung bình
Cesaro)
Xét dãy với
Do nên tồn tại sao cho
Gọi với .
Với ở trên tồn tại thì hay .
Xét ta có

Do đó theo định nghĩa
Mà suy ra
HẾT
Đặng Thị Mến - ĐT 0979572198