Đề thi đề xuất kì thi học sinh giỏi các trường chuyên khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm 2015 môn Toán khối 11 của trường chuyên PHÚ THỌ

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
TỈNH PHÚ THỌ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 11
NĂM 2015
Thời gian làm bài 180 phút
Đề thi gồm có 01 trang
Câu 1(4 điểm). Giải phương trình
2
4 1 2 2 3 1 2( )( ).x x x x+ + + = − −
Câu 2(4 điểm). Cho dãy số thực
( )
n
a
được xác định bởi
1
2a =
và
1
2
2 3
4
n
n
n
a
a
a
+

+
=
, với mọi
1.n ≥
Chứng minh dãy
( )
n
a
không có giới hạn hữu hạn khi
.n → +∞
Câu 3(4 điểm). Cho tam giác nhọn
ABC
nội tiếp đường tròn tâm
O
,
.AB BC<
D
là chân đường cao xuất phát từ
B
và
H
là trực tâm của tam giác
.ABC
Đường thẳng qua
D
vuông góc với
OD
cắt cạnh
AB
tại

.P
Chứng minh rằng
.DHP BAC∠ = ∠
Câu 4(4 điểm). Tìm tất cả các đa thức
( )
P x
với hệ số thực thỏa mãn
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 5 6 4 2 , .x x P x x x P x x x x− + − + + = + ∀ ∈ ¡
Câu 5(4 điểm). Tìm tất cả các số nguyên
,x y
thỏa mãn phương trình
( )
( )
5 4 3 11
1 4 1.x y y y y x− − − − = −
HẾT
Giáo viên ra đề
Đào Mạnh Thắng
SĐT: 0919 686 359