Đề thi đề xuất kì thi học sinh giỏi các trường chuyên khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm 2015 môn Toán khối 11 của trường chuyên LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN
VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 11- NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút
TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các số thực
,x y
thỏa hệ:
1 1
, 0
2
1
x y
x y
x y
x y
+ +
ì
ï
>
ï
ï
ï
+ =
í
ï
ï
ï
³
ï
î

.
Câu 2. (4,0 điểm) Cho số thực
,a
xét dãy số
( )
1
n
n
x
³
được xác định bởi
3
1 1
2
6 6
, , 1,2,
3 9 7
n n
n
n n
x x
x a x n
x x
+
- -
= = =
+ +
Tìm tất cả các giá trị của
a
để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?

Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác
ABC
nhọn có trực tâm
H
, nội tiếp đường tròn
( )
O
. Đường
thẳng
CH
cắt
AB
tại
D
. Đường thẳng qua
D
vuông góc với
OD
, cắt đường thẳng
BC
tại
.E
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCH
cắt đường thẳng
AB
tại
F
(
F

không trùng
B
). Chứng
minh ba điểm
, ,E F H
thẳng hàng.
Câu 4. (4,0 điểm) Tìm số nguyên dương
m
nhỏ nhất sao cho tồn tại hàm số
{ }
*
: \ 1;0;1f ® -¥ ¡
thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
i/
( ) ( ) ( ) ( )
2015 , 1 2016 ;f m f f m f= + =
ii/
( )
( )
( )
1
, 1,2,
1
f n
f n m n
f n
-
+ = =
+

Câu 5. (4,0 điểm) Cho các số nguyên dương
, ;m n
một bảng hình vuông kích thước
n n´
được
gọi là bảng “
m-
hoàn thiện” nếu tất cả các ô của nó được điền bởi các số nguyên không âm
(không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng
.m

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách lập bảng “2015-hoàn thiện” kích thước 3x3 sao cho số nhỏ
nhất trong các số ở các ô trên đường chéo chính nằm ở vị trí tâm của bảng?
(Ô ở đường chéo chính của bảng là ô ở vị trí giao của dòng có số thứ tự tính từ trên xuống và
cột có số thứ tự tính từ trái sang bằng nhau; ô ở tâm bảng 3x3 là ô ở dòng thứ 2 và cột thứ 2).
HẾT

P N +BIU IM CHM MễN TON KHI 11
Cõu í Ni dung im
1 Ta chng minh nu cỏc s
,x y
tha món hai iu kin u thỡ
( ) ( )
1 1
1 1 ln 1 ln 0
x y
x y x x y y
+ +
Ê + + + Ê
Thay

2y x= -
, ta chng minh

( ) ( ) ( ) ( )
1 ln 3 ln 2 0f x x x x x= + + - - Ê
vi
0 2x< <
Ta cú
( ) ( )
1 1
' ln ln 2
2
f x x x
x x
= - - + +
-

( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1 1 1 1
''
2
2
1

1 1 1 1 1 1 1
0
2 2 2 2 2
f x
x x x
x
x
x x x x x x x x
ộ ự
ờ ỳ
= + - +
ờ ỳ
-
-
ờ ỳ
ở ỷ
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
Ê + - + =- + Ê
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
- - - -
2,0
Do ú
( )

'f x
nghch bin trờn
( )
0;2 ,
hn na
( )
' 1 0f =
nờn
( )
'f x
nhn giỏ tr
dng trờn
( )
0;1
v õm trờn
( )
1;2 .
Suy ra
( ) ( )
1 0f x fÊ =
vi mi
( )
0;2 .x ẻ
T ú, h phng trỡnh cú nghim
1.x y= =
2,0
2
Vi
1a =-
thỡ

1, 1
n
x n=- "
nờn
lim 1
n
n
x
đ+Ơ
=-
0,5

Vi
1a ẽ -
thỡ
( ) ( )
3 3
1 1
2 2
1 1 1 1
1 2
1 , 2 , 2
3 9 7 3 9 7
n n
n n
n n n n
x x
x x n
x x x x
- -

- - - -
+ +
+ = + = "
+ + + +
Do ú
1
3
3
1
1
2 2 2
, 1
1 1 1
n
n n
n n
x x a
n
x x a
-
-
-
ổ ử
ổ ử
+ + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

= = "
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + +
ố ứ
T ú, tớnh c
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
3 3
3 3
2 1 2
, 1
2 1
n n
n n
n
a a
x n
a a
- -
- -

+ - +
= "
+ - +
,
2,0
Kt lun +
3
1 2 lim 2
2
n
n
a a a x
đ+Ơ
<- ị + > + ị =-
+
3
1 2 lim 1
2
n
n
a a a x
đ+Ơ
>- ị + < + ị =-

+
3 3 3
, 1 lim .
2 2 2
n n
n

a x n x
®+¥
=- Þ =- " ³ Þ =-
1,5
3

Gọi
,I J
lần lượt là giao điểm của đường thẳng
DE
với đường tròn
( )
,ABC
I

và
A
nằm cùng phía đối với
BC
. Vì
OD IJ^
nên
D
là trung điểm
IJ
.
Ta có
·
·
·

·
0
90DCF DBH BAC DCA= = - =
nên
D
là trung điểm
AF
, vậy tứ giác
AIFJ
là hình bình hành, suy ra
· ·
.IFJ IAJ=
1,5
Gọi
K
là giao điểm đường thẳng
CD
với đường tròn
( )
ABC
(
K
khác
C
), thì
D
là trung điểm
HK
, do đó tứ giác
IKJH

là hình bình hành, nên
·
·
IKJ IHJ=
.
0,5
Ta có
·
·
·
·
0
180IFJ IHJ IAJ IKJ+ = + =
nên các điểm
, , ,I F J H
nằm trên một
đường tròn.

0,5
Vì
IJ
là trục đẳng phương của hai đường tròn
( )
ABC
,
( )
IHJ
;
BC
là trục đẳng

phương hai đường tròn
( ) ( )
,ABC HBC
nên giao điểm
E
của
,BC IJ
là tâm đẳng
phương ba đường tròn
( ) ( )
,ABC HBC
và
( )
IHJ
nên điểm
E
nằm trên
FH
là trục
đẳng phương hai đường tròn
( ) ( )
, .IHJ HBC
1,5

4
Ta có
( )
( )
( ) ( )
*

1
2 4 ,f n m f n m f n n
f n
+ =- Þ + = " Î ¥
0,5
Với
1m =
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
*
4 4 , ,f n f n f n k f n k n+ = Þ + = " Î ¥

( )
( )
( )
( )
( )
*
1
1
2 ; 1 ,
1
f n
f n f n n
f n f n
-
+ =- + = " Î
+
¥

( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 2015 4.503 3 3
1
f f f f
f
= = + = =-
: vô lý.
1,0
Với
2m =
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
*
8 8 , ,f n f n f n k f n n k+ = Þ + = " Î ¥
và
( )
( )
( )
( )
( )
*
1
1
4 ; 2 ,
1
f n
f n f n n
f n f n

-
+ =- + = " Î
+
¥
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
2 2015 251.8 7 7 ;
3
f f f f
f
= = + = =-

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
1
3 2016 251.8 8 8
4
2 1
2 4 2 1
2 1
f f f f
f

f
f f f
f
= = + = =-
-
Þ = = Þ =-
+
Điều mâu thuẫn trên dẫn đến
3.m³
1,0
Với
3,m =
ta xây dựng được vô số hàm
f
thỏa yêu cầu bài toán như sau
Cho
{ }
\ 1;0;1a Î -¡
, đặt
( ) ( ) ( )
1 1
1 ; 2 ; 3 ;
1
a
f a f f
a a
+
= = =-
-
và

( )
( )
( )
1
3 , 1
1
f n
f n n
f n
-
+ = " ³
+
Khi đó, chứng minh quy nạp thì hàm số xác định trên
*
¥
và

( ) { }
*
\ 1;0;1 ,f n nÎ - " Ρ ¥
hơn nữa theo chứng minh trên

( )
( )
1
6f n
f n
+ =-
,
( ) ( )

*
12 , ,f n k f n n k+ = " Î ¥

1,5
Khi đó
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 1
2015 167.12 11 11 3
5 1 2
f
f f f f
f f a
+
= + = =- = =- =
-

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 3
1 1
2016 167.12 12 12 4
6 1 3 1

f
a
f f f f
f f a
+
-
= + = =- = = =
- +
Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
5 Ta giải bài toán trong trường hợp lập bảng “
m-
hoàn thiện” kích thước 3x3.
Gọi
, , ,x y z t
lần lượt là các số điền được ở đường chéo chính và ô ở vị trí dòng 1
cột 2 , khi đó các số còn lại ở các ô được xác định duy nhất như hình bên dưới
x
t
m x t- -
m z x y t+ - - -
y
x t z+ -
y t z+ -
m y t- -
z
2,0
Vì các số được điền là không âm và
y
là số nhỏ nhất trong các số ở đường chéo
chính nên các điều kiện sau phải thỏa

{ }
, , , 0; ; ; ;
; min , ,
x y z t x t m x t z z y t m
x y t m z y x y z
³ + £ + ³ £ + £
+ + £ + =
Các điều kiện trên có thể rút gọn lại thành
{ } ( )
0 min , , ; ; *y x y z x t m z y t£ = + £ £ +
Khi đó
0 2y y t z x y t z x t m£ £ + - £ + + - £ + £
.
Ta thấy rằng bộ bốn số không âm
( )
;2 ; ;y y t z x y t z x t+ - + + - +
sắp theo thứ
tự tăng dần xác định duy nhất bộ các số
, , ,x y z t
thỏa mãn
( )
*
và tương ứng với
một cách lập bảng “
m-
hoàn thiện”. Do vậy, số cách lập được là
4
.
4
m

æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è ø

Áp dụng với
2015m =
được kết quả là
2019
.
4
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è ø
2,0