đề thi vào lớp 10 môn toán chuyên lê quý đôn khánh hoànăm 2014-2015

Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014
GV: NVThắng
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
NGÀY THI: 21/6/2014
Bài 1: (2đ)
1)Cho a, b là các số thực dương phân biệt. Rút gọn biểu thức:

  
   
   
  
  
   
  
a a b b a a b b a b a b a b
P=
ba
a b b a a b b a a b a b

2)Tìm giá trị tham số m để phương trình x
2
– mx + m – 3 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
sao cho biểu
thức 2(x
1
2

+ x
2
2
) – x
1
x
2
đạt GTNN.

Bài 2: (2đ)
1) Giải phương trình: x
4
+ 3x
3
– 14x
2
– 6x + 4 = 0
2) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a> 1 và b >1. Chứng minh rằng:
3 3 2 2
()  


a b a b
8
(a 1)(b 1)

Bài 3: (2đ)
1) Chứng minh tổng 1 + 2 + 2
2
+ 2

3
+ …+ 2
2014
+ 2
2015
chia hết cho 15.
2) Giải hệ phương trình
33







x +y =1 x+y+xy
7xy+ y x = 7


Bài 4: (3đ)
Cho đường tròn (O) có 2 đường kình AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kỳ trên
cung nhỏ AD (E khác A, D).Nối EC, EB cắt OA, OD lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh rằng: MAC đồng dạng với AEC ; OMC đồng dạng với EDC.
b) Tìm GTNN của biểu thức

OM ON
AM DN


Bài 5: (1đ)

Trên mặt phẳng cho 25 điểm phân biệt, biết rằng với 3 điểm bất kỳ trong số đó luôn có 2 điểm
cách nhau một khoảng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng có 1 hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít
hơn 13 điểm đã cho.
Hết







Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014
GV: NVThắng

ĐÁP ÁN:
Bài 1:
1)


















22
.

        

  





     
    

a b a ab b a b a ab b a b a b
ab ab
P=
b a a b
ab a b ab a b
a ab b a ab b a b 2 ab
P ab 2 2 0
ab a b
ab


2) Vì  = m

2
– 4m + 12 = (m – 2)
2
+ 8 > 0 với mọi m nên PT luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
phân biệt
Theo Viet có x
1
+ x
2
= m và x
1
x
2
= m – 3
Ta có: 2(x
1
2
+ x
2
2
) – x
1
x
2
= 2(x
1
+ x

2
)
2
– 5x
1
x
2
= 2m
2
– 5(m – 3) = 2m
2
– 5m + 15
=
   
   
   
   
2
2
5 15 5 95 95
2 m m+ 2 m +
2 2 4 8 8

Suy ra : GTNN của 2(x
1
2
+ x
2
2
) – x

1
x
2
là
khi 
95 5
m
84


Bài 2:
1) Nhận xét: x = 0 không là nghiệm của PT
Chi cả 2 vế của PT cho x
2
ta được:




2
2
42
x + +3 x 14= 0
x
x

Đặt

22
2

24
a = x a +4= x +
x
x

PT trở thành a
2
+ 3a – 10 = 0  a = 2 hoặc a = –5 .
+ Với a = 2 thì
  
2
2
2= x x -2x - 2=0 x =1± 3
x

+ Với a = -5 thì
  
2
2 -5± 33
-5 = x x +5x-2=0 x =
x2

Vậy PT có 4 nghiệm phân biệt
x =1± 3
;
-5± 33
2

Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014
GV: NVThắng
2)

3 3 2 2
2 2 2 2
22
()
0
  
  


      

  

    


    

   


22
2 2 2 2
22
2 2 2 2
22
22
a b a b a b
8 + 8
(a 1)(b 1) b -1 a-1
a b a 4b+ 4 b 4a+ 4
4+ 4 0 0
b-1 a-1 b-1 a-1
a b +b - 4b+ 4 b a +a - 4a+ 4
0
b-1 a-1
a b a b (b-2) (a- 2)
b-1 a -1 b-1 a -1
1 1 (b 2) (a 2)
(a b )
b 1 a 1 b 1 a
  
2
0
0
0


   



   

22
22
1
a-b (b 2) (a 2)
a-b a+b
(a-1)(b-1) b 1 a 1
(a-b) (a+b) (b 2) (a 2)
(a-1)(b-1) b 1 a 1

BĐT trên luôn đúng với a > 1 và b > 1. Suy ra đfcm.
Bài 3 :
1) Số số hạng là 2016, nhóm mỗi bộ 4 số hạng ta được 504 nhóm.
Ta có: (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + …+ (2
2012
+ 2
2013
+ 2
2014
+ 2
2015
)
= 15.1 + …+ 2
2012
(1 + 2 + 2

2
+ 2
3
)
= 15 . (1 + 2
2
+ 2
4
+ …+ 2
2012
) chia hết cho 15.
2) Giải hệ phương trình
33







x +y =1 x+y+xy
7xy+ y x = 7

Ta có: x
3
+ y
3
= 1 – x + y + xy  (x +y)[(x + y)
2
– 3xy] = 8 – 6xy (*)

Đặt a = x + y và b = xy
Từ (*)  a
3
– 8 – 3ab + 6b = 0
 (a – 2)(a
2
+ 2a + 4 – 3b) = 0.
 a = 2 hoặc a
2
+ 2a + 4 – 3b = 0
TH1: a = 2  x + y = 2  x = 2 – y.
Từ 7xy + y – x = 7  7y
2
– 16y + 9 = 0  y = 1 hoặc y =
9
7
.
 (x,y) = (1 ; 1) hoặc
;



59
77

TH2: a
2
+ 2a + 4 = 3b
 (x +y)
2

+ 2(x + y) + 4 = 3xy
 x
2
– xy + y
2
+ 2x + 2y + 4 =0
 x
2
– (y – 2)x + y
2
+ 2y + 4 = 0

 



2
2
y-2 3
x - + y+2 =0
24
 x = y = -2
Vậy hệ PT có 3 nghiệm là (1 ; 1) ;
;



59
77
; (-2 ;-2).

Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014
GV: NVThắng
Bài 4 :
a)
 MAC đồng dạng với AEC :
+ AB  CD nên
AOC= AOD=BOC=BOD


AC= AD=BC=BD


BAC= AEC
(góc nội tiếp chắn cung BC và AC)
+ Xét MAC và AEC có
ACE chung
;
BAC= AEC
(cmt)
Suy ra : MAC đồng dạng với AEC (g.g) (1)
 OMC đồng dạng với EDC :
+
0
CED=90
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
+ OMC và EDC có
ECD
chung và
0

CED=MOC=90

Suy ra : OMC đồng dạng với EDC (g.g) (2)
b) Tìm GTNN của biểu thức

OM ON
AM DN

Từ (2) 

OM OD
OM.EC=ED.OD
ED EC
(3)
Từ (1) 

AM AC
AM.EC= AE.AC
AE EC
(4)
Từ (3)(4) 

OM ED.OD
AM AE.AC
. (5)
Chứng minh tương tự ta cũng có: ND.EB = ED.BD và ON . EB = AE.OB.
Suy ra:

ON OB.AE
ND ED.BD

(6)
Từ (5)(6) 
2

     


OM ON ED.OD OB.AE R ED AE 1 ED AE
.2. . = 2
AM DN AE.AC ED.BD AE ED AE ED
R2
(BĐT Cô si)
Do đó:

OM ON
AM DN
đạt GTNN là
2
khi ED = EA.
Bài 5: (1đ)
Nhận xét: 25 = 2. 12 + 1
Gọi A là 1 điểm trong số 25 điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 1.
+ Nếu 24 điểm còn lại nằm trong (A; 1) thì bài toán được chứng minh.
+ Nếu có 1 điểm nằm ngoài (A; 1) , giả sử đó là điểm B nên AB > 1.
Vẽ đường tròn tâm B bán kính 1.
Với 1 điểm C bất kỳ ta có:
Xét 3 điểm A, B, C thì AB > 1 nên theo giả thiết đề bài thì AC < 1 hoặc BC < 1.
Suy ra: C thuộc (A; 1) hoặc C thuộc (B; 1)
Theo nguyên tắc Dirichlet thì có 25 điểm (25 con thỏ) mà có 2 đường tròn (2 cái lồng) nên tồn tại 1 1
đường tròn chứa ít nhất [25:2] + 1 = 13 điểm.

N
M
B
A
C
O
D
E
Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014
GV: NVThắng