Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
3 2 0.  xx

b) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn:
1
3.
5
  


  


  

x y z
y z x

z x y

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Phép toán T được định nghĩa như sau:
11
,aTb
ab
với a và b là các số thực khác 0
tùy ý. Thí dụ:
1 1 1
23
2 3 6
  T
. Tính giá trị biểu thức:
   
5 6 7 8 .P T T T

b) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
2
6 20 15 0;  aa
2
15 20 6 0; 1.   b b ab

Chứng minh rằng:
 
3
3
2
6
.

2015
91


b
ab ab

Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính phương.
b) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo
thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516 9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2.
Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm
E sao cho
,AM AE
trên cạnh BC lấy điểm F sao cho
.BM BF

a) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc
,MOE
đường thẳng OB
là phân giác trong của góc
.MOF
Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm
A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua

một điểm cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 
1 2 2 3 3 4 4 .       f x x x x x

Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC