Bài tập toán cao cấp phần giải tích
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (567.37 KB, 19 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ HUẾ
KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN KINH TẾ
BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP
PHẦN GIẢI TÍCH
Người soạn: Trần Thị Khánh Linh
Bộ môn: Toán Kinh tế
Huế, 2011
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
2
Chương 1:
HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Cho hàm số
2
( ) 2 , ( )
x
f x g x x
Hãy tính
( ) , ( ) , ( ) , ( )
f g x g f x f f x g g x
?
2. Cho hàm số
2
( )
1
x
f x
x
Hãy tìm
( )
n lan
f f f x
?
3. Cho
( )
x x
f x a a
, chứng minh rằng:
( ) ( ) ( ) ( )
f x y f x y f x f y
4. Tìm hàm số f(x) cho biết
4.1
2
( 2)= x 5 6
f x x
4.2
2
2
1 1
( )f x x
x x
4.3
2
1
( ) 1 , ( 0)
f x x x
x
5. Tìm miền xác định của hàm số:
5.1
1
( 2)
1
x
y x
x
5.2
sin
x
y
x
5.3
sin(lg )
10
x
y arc
5.4
lg(lg )
y x
§2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
1. Tính các giới hạn:
1.1
2
2
1
lim ( , 0)
m
n
x
x x x m
m n
x x x n
1.2
3
0
tan - sin
lim
x
x x
x
1.3.
2
0
1 1
lim
x
x x
x
1.4
3 3
0
5
lim
1 1
x
x
x x
1.5
2
lim 2
x
x x x
1.6
2
lim 2
x
x x x
1.7
sin
2
lim
x
x
x
1.8
2
0
cos -cos
lim
x
mx nx
x
1.9
2
0
cos 1
lim
x
x
x
1.10
0
1 1
lim ( 0, 0)
n
x
ax
a n
x
2. a. Chứng minh
0
lim ( )
v x
b
x x
u x a
với điều kiện là các giới hạn
0
lim , 0 ,
x x
u x a a
0
lim
x x
v x b
b. Cho biết :
lim ( ) 1, lim ( ) , lim ( ) 1 ( )
x a x a
x a
u x v x u x v x L
.
( )
/ : lim ( )
v x
L
x a
Ch m u x e
Áp dụng:
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
3
2.1
2
2 cot
0
lim(1 )
x
x
x
2.2
1
sinx
0
1 tan
lim
1 sinx
x
x
2.3
cot
1
lim(1 sin )
x
x
x
2.4
1
cot
1 1
lim(sin os )
x
x
x
c
x
2.5
2
2
2
1
lim
2
x
x
x
x
2.6
4
2
2
1
lim
x
x
x
x
2.7
1
cot
2
lim sin
x
x
x
2.8
2
1
0
lim cos
x
x
x
2.9
cot
0
lim(1 tan )
x
x
x
2.10
2
tan 2
4
lim sin 2
x
x
x
3. Tìm giới hạn
3.1
lim(sin 1 sin )
x
x x
3.2
2
1
2
arcsin(1 2 )
lim
4 1
x
x
x
3.3
2
0
1 osx
lim
x
x
c
3.4
lim ln( 1) ln
x
x x x
3.5
0
lim cot5
x
x x
4. Xét sự liên tục của hàm số:
4.1
2
4
2
( )
2
4 2
x
khi x
f x
x
khi x
4.2
2
1
0
( )
0 0
x
e khi x
f x
khi x
4.3
1
sin 0
( )
0 0
x khi x
f x
x
khi x
4.4
2
2
1
( )
2 1
x khi x
f x
x khi x
4.5
x
os 1
2
( )
1 1
c khi x
f x
x khi x
5. Tìm k để hàm số f(x) liên tục
5.1
3
sin 0
( )
0
x
khi x
f x
x
k khi x
liên tục trên R
5.2
0
( )
0
x
e khi x
f x
x k khi x
liên tục trên R
5.3
4.3 0
( )
2 0
x
khi x
f x
k x khi x
liên tục trên R
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
4
5.4
1
sin 0
( )
0
x khi x
f x
x
k khi x
liên tục tại
0
0
x
5.5
3
1
1
( )
1
1
x
khi x
f x
x
k khi x
liên tục tại
0
1
x
§3. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI VÀ GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA TIỀN TỆ
1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết:
a, Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm.
b, Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm.
2. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu 6000$ và sẽ mang lại 10.000$ sau 5 năm. Trong điều
kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng 9% một năm có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV
của dự án đó?
3. Tính giá trị của khoản tiền 1000$ sau 3 năm nếu lãi suất được tính gộp liên tục với mức lãi
suất 10% một năm.
4. Một công ti đề nghị bạn góp vốn 3500$ và đảm bảo sẽ trả cho bạn 750$ mỗi năm liên tiếp
trong 7 năm. Bạn có chấp nhận góp vốn hay không nếu bạn còn có cơ hội đầu tư tiền vào chỗ
khác với lãi suất 9% một năm?
5. Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ mang lại 10 triệu sau 1 năm, 20 triệu
sau 2 năm, 30 triệu sau 3 năm. Dự án đó có lợi về mặt kinh tế hay không nếu lãi suất hiện hành
là 10% một năm?
6. Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu 7500$ và sau một năm sẽ mang lại cho bạn
2000$ mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm. Hãy tính giá trị hiện tại ròng của dự án đó trong điều
kiện lãi suất 12% một năm. Có nên thực hiện dự án đó hay không?
7. Một chủ đầu tư định mua là căn nhà trị giá 4 tỉ đồng và cho thuê trong vòng 10 năm với
mức thuê là 60tr/ năm. Sau 10 năm trị giá căn nhà ước tính khoảng 2,5 tỉ đồng. Với mức lãi
suất hiện nay là 9%, hỏi chủ đầu tư có nên mua nhà không?
8. Một công ty máy tính đang thực hiện việc bán sản phẩm theo các phương pháp trả góp như
sau:
- Trả đều hàng năm vào mỗi năm trong vòng 5 năm với giá trị một lần trả là 5tr
- Trả ngay sau khi mua 3tr , các năm sau trả dều 1tr vào đầu mỗi năm liên tục trong 5 năm
Lựa chọn phương thức bán hàng có lợi nhất cho công ty biết lãi suất tiên gửi NH ổn định
9%/năm.
§4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.1
53
2 2 1 ln
x x
y e x
1.2
2 4
(1 3 5 )
y x x
1.3
2
arcsin 1-x
y
1.4
1
1
x
y
x
1.5
arctan arcsin
y x x
1.6
ln lg ln log
a
y x x a x
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
5
1.7
3
3
y a bx
1.8
2
(1 )arctanx - x
2
x
y
1.9
1 sinx
ln
1 osx
y
c
1.10
2
ln(1 1 )
y x
1.11
2
sin
x
y e
1.12
3
ln sin( 1)
y x
1.13
2
2
1
arcsin
1
x
y
x
1.14
4
x
y a x
1.15
1 2
ln
1 2
x
y
x
1.16
sin
arctan
1- cos
x
y
x
1.17
ln ln
y x
1.18
sinx
y x
1.19
x
(arctanx)
y
1.20
2
x
y x
2. Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:
2.1
2
(1 )arctanx
y x
2.2
2
x
y e
2.3
tan
y x
2.4
2
1
y x
2.5
arcsin
2
x
y
2.6
1
arctan
y
x
2.7
x
y xe
2.8
2
2 sin 2
y x x
2.9
arcsin
y x x
2.10
x
y xe
3. Tính đạo hàm cấp 3 của các hàm số sau:
3.1
x
y xe
3.2
cos
x
y e x
3.3
2
sin
y x x
3.4
3
2
x
y x
3.5
2
sin 2
y x x
3.6
3
y f x
4. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
4.1
ln
y ax b
4.2
1
1
y
x
4.3
x
e
y x
4.4
3
2
x
y
4.5
2 1
n
y x
5. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số sau:
5.1
1
ln
1
x
y
x
5.2
x
arcsin
a
y
5.3
2
( ) 1
f x x
5.4
2
y
x
5.5
ln sin
y x
5.6
1
arctan
y
x
5.7
3
sin 4
y x
5.8
3
5
x
y x
5.9
sin
x
y e x
5.10
2
x
y xe
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
6
§5. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1. Định lí Fermat:
Giả sử hàm số f(x) xác định trong khoảng X và nhận giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất)
tại một điểm c bên trong khoảng X ( c không trùng với các đầu mút của khoảng X). Khi đó, nếu
tại điểm c hàm số f(x) có đạo hàm thì
/
f ( ) 0
c
.
2. Định lí Rolle:
Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện:
a, Xác định và liên tục trên
,
a b
.
b, Khả vi trong khoảng (a,b).
c, f(a) = f(b).
Khi đó tồn tại
/
( , ) : ( ) 0
c a b saocho f c
.
3. Định lí Lagrange:
Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện:
a, Xác định và liên tục trên
, .
a b
b, Khả vi trong khoảng (a,b).
Khi đó tồn tại
/
( ) ( )
( , ) : ( )
f b f a
c a b saocho f c
b a
1. Áp dụng công thức Lagrange, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.1
sin sin
a b a b
1.2
arctan - arctan
a b a b
1.3
ln
b a b b a
b a a
2. Tính giới hạn vô định sau:
2.1
2
1
1 ln
lim
x
x
x x
e e
2.2
0
1 osax
lim
xsinx
x
c
2.3
x
lim ( 1)
m
x
x
a
a
2.4
ax ax
0
lim ( 0)
ln(1 )
x
e e
a
x
2.5
1
ln(1 )
lim
cot
x
x
x
2.6
2arctan
lim
1
ln(1 )
x
x
x
2.7
1
lim(1 )tan
2
x
x
x
2.8
0
1
lim cot
x
x
x
2.9
2
lim( tan )
2cos
x
x x
x
2.10
1
1
lim
ln ln
x
x
x x
2.11
4
lim tan 2 .tan( )
4
x
x x
2.12
1
2
1
0
lim 1
x
e x
x
x
2.13
1
lim ln .ln(1 )
x
x x
2.14
os x
2
1
lim(1 )
c
x
x
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
7
2.15
2
1
0
sin
lim
x
x
x
x
2.16
1
0
lim( )
x
x
x
e x
2.17
1
lim( )
x
x
x
e x
2.18
2
lim arctanx
x
x
2.19
2
0
1
lim
sin
x
x
e
x
2.20
0
1 cos
lim
1 cos
x
ax
bx
3. Xác định khoảng tăng, giảm của hàm số:
3.1
2 3
( 1) ( 2)
y x x x
3.2
x
e
y
x
3.3
2
3
2
6 7
3
y x x
3.4
0
ln
lim
lnsin
x
x
x
3.5
2
ln
y x x
4. Tìm cực trị của các hàm số sau:
4.1
sin -
y x x
4.2
ln
x
y
x
4.3
arctanx
2
x
y
4.4
2 2
1 1
( 1)arctan
2 8 2
x
y x x x
4.5
2
2 2
1 1 1
( )arcsin 1
2 2 4 12
x
y x x x x
5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
5.1
2
ln , 1
y x x x e
5.2
1-x
arctan , 0 1
1+x
y x
5.3
2 arcsinx
y x
5.4
2
2
y x x
5.5
2
1
x x
y
x
,
1
2
2
x
6. Xác định các khoảng lồi lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số:
6.1
3
2
2
x
y
x
6.2
3
2
y x
6.3
33
4 12
y x x
6.4
2
1
x
y x e
6.5
arctanx
y e
7. Khai triển Taylor các hàm sau:
7.1
sinx
y
tại x=0
7.2
x
y e
tại x=1
7.3
cos
y x
tại
x
7.4
1
y
x
tại
0
x x
7.5
5
x
y x e
tại x=0
7.6
1
3 4
y
x
tại x=0
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
8
8. Tìm hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên, cho hàm tổng chi phí:
8.1
2
3 7 12
C Q Q
8.2
2 3
35 5 2 2
C Q Q Q
9. Tìm hàm doanh thu bình quân và hàm doanh thu cận biên cho biết hàm tổng doanh
thu:
2
12
R Q Q
.
10. Tìm hàm lợi nhuận bình quân, hàm lợi nhuận cận biên, cho biết hàm tổng lợi nhuận:
2
13 78
Q Q
11. Tìm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu:
36 2
Q p
12. Tìm hàm chi phí cận biên cho biết hàm chi phí bình quân:
46
1,5 4AC Q
Q
13. Cho biết hàm tổng chi phí:
3 2
5 60
TC Q Q Q
. Hãy xác định mức sản lượng Q để
chi phí bình quân nhỏ nhất.
14. Cho biết hàm tổng chi phí TC và hàm tổng doanh thu TR, hãy xác định mức sản
lượng cho lợi nhuận tối đa:
14.1
3 2 2
6 140 750; 1400 7,5
TC Q Q Q TR Q Q
2
3 7 12
C Q Q
14.2
3 2 2
5,5 150 675; 4350 13
TC Q Q Q TR Q Q
15. Cho hàm cầu:
20 5
Q p
, hãy tính hệ số co dãn ở các mức giá
2, 3
p p
16. Cho hàm tổng chi phí
2
5
5000
3
Q
TC
Q
.
16.1 Tìm hàm chi phí cận biên MC.
16.2 Tính chi phí trung bình AC tại Q=100.
16.3 Tính hệ số co dãn của TC theo Q tại Q= 17.
17. Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm tổng chi phí:
3 2
700 30
TC Q Q Q
Hàm doanh thu trung bình:
2000
AR Q
17.1 Hãy xác định Q sao cho hàm chi phí bình quân nhỏ nhất.
17.2 Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.
18. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược:
490 2
p Q
và hàm tổng chi phí:
2
1,5
TC Q
. Trong đó, Q là sản lượng.
18.1 Xác định hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên của doanh nghiệp.
18.2 Xác định sản lượng và giá bán để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
19. Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với
1
656
2
d
Q p
. Hàm tổng chi
phí:
3 2
77 1000 100
TC Q Q Q
. Tìm Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất.
20. Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh
doanh loại hàng nào đó là:
300
d
Q p
. Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là:
3 2
19 333 10
TC Q Q Q
. Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa.
21. Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của
loại hàng đó trên thị trường là:
2340
d
Q p
. Hàm chi phí
2
1000 100
TC Q Q
.
Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại.
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
9
§6. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Tính tích phân
1.1
1
, 0
x
dx x
x
1.2
2
1
1 , 0
x xdx x
x
1.3
3
3
1
, 0
x
dx x
x x
1.4
2
2 3
x x
dx
1.5
3.2 2.3
2
x x
x
dx
1.6
1 1
2 5
10
x x
x
dx
1.7
2
2
1
x
dx
x
1.8
2
2
3
, 1
1
x
dx x
x
1.9
2
cot , ,
xdx x k k Z
1.10
2
tan , ,
2
xdx x k k Z
1.11
2
,
5
2 5
dx
x
x
1.12
2
2 3
dx
x
1.13
2
2 3
,
3
2 3
xdx
x
x
1.14
32 3
1 ,
x x dx
1.15
3
1 ln
dx
x x
1.16
, 2 ,
1 osx
dx
x k k Z
c
1.17
2
sin2xdx
, ,
cos 2 2
x k k Z
x
1.18
2
os 1 tan
dx
c x x
1.19
sin
cos
x
e xdx
1.20
2
2 ln
x
x
e dx
2. Tính tích phân (Sử dụng phương pháp biến đổi biến)
2.1
3
, 2
1 1
dx
x
x
2.2
32
, 0
dx
x
x x
2.3
1
1
x
x
e
dx
e
2.4
1 , ( 0)
x
e dx x
2.5
2
1
dx
x x
2.6
2
, 1,1 \ 0
1
dx
x
x x
2.7
2
16 , 4,4
x dx x
2.8
5
2
, 1,1
1
x
dx x
x
2.9
2 2
4 , 2,2
x x dx x
2.10
3 2
sin cos
x xdx
3. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân:
3.1
2
os2
x c xdx
3.2
2
sin
x xdx
3.3
2x
xe dx
3.4
2 3x
x e dx
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
10
3.5
2
,
sin
xdx
x k
x
3.6
3
osx
,
sin
xc dx
x k
x
3.7
2
tan
x xdx
3.8
2
ln , 0
xdx x
3.9
2
ln( 1) , 1
x x dx x
3.10
arcsin
, 1
1
x
dx x
x
4. Tích phân các phân thức hữu tỉ, lượng giác :
4.1
2
2 1 1
,
2 1 2
x x
dx x
x
4.2
2
1
dx
x x
4.3
2
2 1
, 2, 3
5 6
x
dx x x
x x
4.4
2
2
2 1
2 5
x x
dx
x x
4.5
3
4 2
2
1
x
dx
x x
4.6
sin 3 .cos
x xdx
4.7
5
sin
xdx
4.8
3 4
sin cos
x xdx
4.9
3
sin
, ,
cos 2
x
dx x k k Z
x
4.10
5 3cos
dx
x
§7. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Tính các tích phân xác định sau:
1.1
1
0
1
1 2
dx
x
1.2
2
3
0
sin 2 cos
x xdx
1.3
1
10
2 3
0
1 3
x x dx
1.4
1
0
1
x
dx
x
1.5
29
3
3
3
2
3 2
x
dx
x
1.6
4
3 2
0
9
x x dx
1.7
ln 2
0
1
x
e dx
1.8
ln 5
0
1
3
x x
x
e e
dx
e
1.9
13
3
0
1
1 2 1
dx
x
1.10
2
0
2cos 3
dx
x
1.11
7
3
2 2
0
a
x
dx
a x
1.12
5
0
3 1
xdx
x
1.13
2 2
0
a
x a x dx
1.14
2 2 2
0
a
x a x dx
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
11
50.15
0
sin
2
x
x dx
1.16
2
0
os2x
x c dx
1.17
1
0
ln 1
x x dx
1.18
2
1
ln
e
x x dx
1.19
1
0
x
e dx
1.20
1
ln
e
e
xdx
1.21
3
0
arctan
x xdx
1.22
2
2
0
arcsin
x xdx
1.23
3
0
arcsin
1
x
dx
x
1.24
1
2
0
1
x
xe
dx
x
1.25
1
2
2
0
2
x
x e
dx
x
2. Cho hàm số
( )
f x
là hàm số liên tục trên đoạn
,
a a
.Hãy chứng minh:
a,
Nếu
( )
f x
là hàm số chẵn thì :
a a
-a 0
( ) x 2 ( ) x
f x d f x d
b, Nếu
( )
f x
là hàm số lẽ thì :
a
-a
( ) x 0
f x d
3. Cho
( )
f x
là hàm liên tục trên R và là hàm tuần hoàn với chu kì T, chứng minh với
mọi số a ta luôn có:
a+T T
a 0
( ) x ( ) x
f x d f x d
4. Cho
( )
f x
là hàm liên tục
0,1
.Hãy chứng minh :
4.1
2 2
0 0
sinx cosx
f dx f dx
4.2
2
0 0
sinx 2 sinx
f dx f dx
5. Tính tích phân suy rộng
5.1
0
x
xe dx
5.2
2
0
2
dx
x x
5.3
2
0
ln
a
dx
a
x x
5.4
0
2x
xe dx
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
12
5.5
2 2
1 4
dx
x x
5.6
4 2
2 1
a
xdx
x x
5.7
2
0
x
xe dx
5.8
2
0
1
dx
x x
5.9
2
4 9
dx
x x
5.10
6
2
3
2
4
dx
x
5.11
0
cos
x
e xdx
5.12
1
0
dx
x x
5.13
2
3
0
1
x
dx
x
5.14
1
0
1
x
dx
e
§8. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
1. Cho biết hàm đầu tư:
3
5
40
I t
và quỹ vốn tại thời điểm t=0 là 75. Hãy cho biết hàm
quỹ vốn đầu tư?
2. Cho biết hàm đầu tư
1
3
60
I t
và quỹ vốn tại thời điểm t
= 1 là 85. Hãy cho biết hàm
quỹ vốn đầu tư?
3. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q:
2
32 18 12
MC Q Q
và chi phí cố
định
43
FC
. Hãy tính hàm tổng chi phí và hàm chi phí khả biên.
4. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q:
0,5
12
Q
MC e
và chi phí cố định
36
FC
. Hãy tính hàm tổng chi phí.
5. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q
0,4
16
Q
MC e
và chi phí cố định
100
FC
. Hãy tính hàm tổng chi phí.
6. Cho biết hàm doanh thu cận biên
2
84 4
MR Q Q
. Hãy cho biết hàm tổng doanh thu
TR(Q) và hàm cầu?
7. Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên
0,8
MPC
ở mọi mức thu nhập Y là
40
C
khi
0
Y
. Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y)?
8.
Cho biết hàm cầu:
2
42 5
p Q Q
. Giả sử giá cân bằng là
0
6
p
. Hãy tính thặng dư
của người tiêu dùng.
9. C
ho biết hàm cầu và hàm cung:
113 , 1
d s
Q p Q p
. Hãy tính thặng dư của nhà
sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
13
Chương 2
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Cho hàm số:
2 2
,
x y
f x y
xy
. Hãy tính
2, 3 , 1,0
f f
2.
Cho hàm số
4 4 2 2
, 2 4 2
f x y x y x xy y
. Hãy tính
0,0 , 2, 2
f f .
3. Cho hàm số
,
y
f x y xy
x
.
Hãy tìm biểu thức các hàm số sau:
, , ,
f y x f x y
,
1, , 1,
y
f t f
x
.
4. Cho hàm số:
2 2
2
,
xy
f x y
x y
, hãy chứng minh:
,
f x y
là hàm thuần nhất cấp 0?
5. Tìm miền xác định của hàm số:
5.1
2 2
,
f x y y x
5.2
2
, ln 4 4
f x y y x
5.3
2 2 2 2
, 1 ln 4
f x y x y x y
5.4
x
, arcsin
f x y xy
y
5.5
2 2 2
1
,f x y
a x y
§2. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC
1. Cho hàm số
,
x y
f x y
x y
. Tìm các giới hạn
0 0 0 0
lim lim , ,lim lim ,
x y y x
f x y f x y
.
2. Cho hàm số:
2 2
2
2 2
,
x y
f x y
x y x y
. Chứng minh rằng
0 0 0 0
lim lim , lim lim ,
x y y x
f x y f x y
nhưng không tồn tại
0
0
lim ,
x
y
f x y
.
3. Tìm các giới hạn lặp
lim lim , , lim lim ,
x a y b y b x a
f x y f x y
3.1
2 2
4 4
, , ,
x y
f x y a b
x y
3.2
, , , 0
1
y
y
x
f x y a b
x
3.3
, sin , ,
2
x
f x y a b
x y
3.4
1 2
, tan , 0,
1
xy
f x y a b
xy xy
3.5
cos
, , 0, 0
2
x y y
f x y a b
x y
4. Tìm các giới hạn
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
14
4.1
2 2
0
0
sin
lim
x
y
xy
x y
4.2
2
3
1
lim 1
x
x y
x
y
x
4.3
2
2 2
x
lim
x
x
y
y
x y
4.4
0
0
sin
lim
x
y
xy
xy
4.5
0
0
lim
1 1
x
y
xy
xy
5. Cho hàm số:
2 2
2 2
2 2
0
( , )
0 0
xy
khi x y
x yf x y
khi x y
. Chứng minh hàm số
,
f x y
liên tục
tại
0,0
.
6. Chứng minh rằng hàm số
2 2
2 2
0
( , )
0 0
xy
khi x y
x y
f x y
khi x y
liên tục theo từng biến
riêng lẻ, nhưng không liên tục theo cả 2 biến tại điểm
0,0
.
§3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN
1. Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau:
1.1
, ln tan
y
f x y
x
1.2
y
, arctan
x
f x y
1.3
2 2
, ln
f x y x xy y
1.4
sin
,
y
x
f x y e
1.5
2 2
1
w
x y x
1.6
z
x
w
y
1.7
3 3 3
ln 2
w x y z
1.8
arctan -
z
w x y
1.9
arctan
yz
w
x
1.10
2 2 2
ln
w x y z
2. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số:
2.1
arctan
y
w
x
2.2
x y
w
x y
2.3
3
2 2
1
3
w x y
2.4
sin
x
w e y
2.5
ln
w x xy
3. Tính vi phân toàn phần của hàm số:
3.1
2 2
3
w x y y x
3.2
3
2 2
w x y
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
15
3.3
ln tan
w xy
3.4
sin
x
w e y
3.5
2
ln
w x y
4. Tính giá trị gần đúng của các hàm số sau:
4.1
;
f x y xy
tại
1,1; 2,03
M
4.2
2 2
;
f x y x y
tại
2,1; 1;03
M
4.3
1
;f x y
xy
tại
2,04; 1,2
M
4.4
2
;
f x y x y
tại
3,1; 2,1
M
4.5
2 2
; ln
f x y x y
2,1;1,2
M
4.6
;
y
f x y x
tại
1,01; 2,04
M
§4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tìm cực trị của hàm số:
1.1
3 2
3 15 12
z x xy x y
1.2
4 4 2 2
1 2 4 2
z x y x xy y
1.3
2 2
1 6
z x x xy y
1.4
2 2
2 2
2
x y
z e x y
1.5
4 4 2 2
2
z x y x xy y
1.6
4 4 2 2
2 4 2
z x y x xy y
1.7
2 2
2 3
z x xy y x y
1.8
4 4 2 2
2 2
z x y x y
1.9
2 2
2
z x xy y x y
1.10
50 20
z xy
x y
2. Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm:
2
2 2
1 1 1 2 2
160 3 2 2 120 18
Q Q Q Q Q Q
. Hãy tìm
1 2
,
Q Q
để đạt lợi nhuận tối đa.
3. Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm
đó như sau:
1 1 2 2
25 0,5 , 30
Q p Q p
. Với hàm chi phí kết hợp:
2 2
1 1 2 2
2 20
C Q Q Q Q
, hãy cho biết mức sản lượng
1 2
,
Q Q
để đạt lợi nhuận tối đa.
4. Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm
đó như sau:
1 1 2 2
50 0,5 , 76
Q p Q p
.
Với hàm chi phí kết hợp:
2 2
1 1 2 2
3 2 2 55
C Q Q Q Q
, hãy cho biết mức sản lượng
1 2
,
Q Q
để đạt lợi nhuận tối đa.
5. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền và kinh doanh hàng hóa trên 2 thị trường tách
biệt với hàm cầu:
1 1 2 2
840 2 ; 1230 3
Q p Q p
.
Hàm chi phí:
2
20 150
TC Q Q
với
1 2
Q Q Q
. Tìm lượng hàng phân phối trên từng
thị trường để lợi nhuận cực đại.
6. Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá
1 2
60; 75
p p
. Hàm chi phí:
2 2
1 1 2 2
C Q Q Q Q
. Tìm các mức sản lượng
1 2
,
Q Q
để đạt
lợi nhuận tối đa.
7. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. Biết hàm cầu của 2 loại trên là:
1 1 2 2 1 2
400 2 ; 480
Q p p Q p p
.
Hàm chi phí:
1 2
160 240 150
TC Q Q
với
1 2
Q Q Q
. Tìm lượng hàng phân phối trên
từng thị trường để lợi nhuận cực đại.
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
16
§5. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC
1.
Tìm cực trị có điều kiện của hàm số theo phương pháp nhân tử Lagrange:
1.1
,
f x y xy
với điều kiện:
1
x y
1.2
, 2
f x y x y
với điều kiện
2 2
5
x y
1.3
2 2
,
f x y x y
với điều kiện
1
2 3
x y
1.4
2 2
, os os
f x y c x c y
với điều kiện
4
y x
1.5
2 2
, 5 4 10
f x y x y xy x y
với điều kiện
4
x y
2. Cho hàm lợi ích tiêu dùng:
1 2 1 2
U x x x x
. Gỉa sử giá của các mặt hàng tương ứng
là:
1 2
2, 5
p p
và thu nhập cho tiêu dùng là M= 51. Hãy xác định lương cầu đối với mỗi
mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
3. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng:
1
0,6 0,25
2
U x x
. Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là:
1 2
8$, 5$
p p
và thu nhập dành cho tiêu dùng là:
680$
M
. Hãy xác định lượng cầu
đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu ùng tối đa hóa lợi ích của mình.
4. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:
0,3 0,5
Q K L
a, Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất?
b, Giả sử giá thuê tư bản là 6$, giá thuê lao động là 2$ và doanh nghiệp tiến hành sản
xuất với ngân sách cố định 384$. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị
tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?
5. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:
0,7 0,1
10
Q K L
a, Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất?
b, Giả sử giá thuê tư bản là 28$, giá thuê lao động là 10$ và doanh nghiệp tiến hành
sản xuất với ngân sách cố định 4000$. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu
đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?
6.
Một công ti có hàm sản xuất:
0,8 0,5
Q K L
a, Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất?
b, Giả sử giá thuê tư bản là
5
K
w
, giá thuê lao động là
6
L
w
. Hãy tính mức sử dụng
K, L để sản xuất sản lượng
0
100
Q Q
có chi phí nhỏ nhất.
7. Hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng hóa A, B có dạng:
0,25 0,5
40
A B
U X X
.
Trong đó
,
A B
X X
là mức tiêu dùng hàng hóa A, B. Giá hàng hóa như sau:
4, 10
A B
p p
.
Tìm mức tiêu thụ hai hàng hóa A, B để hộ gia đình đạt lợi ích cao nhất nếu phần
thu nhập chi tiêu hai loại hàng hóa này của hộ gia đình là 600.
8. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. Biết hàm cầu của 2 loại trên là:
1 1 2 2 1 2
400 2 ; 480
Q p p Q p p
.
Hàm chi phí:
1 2
160 240 150
TC Q Q
với
1 2
Q Q Q
. Tìm lượng hàng phân phối trên
từng thị trường để lợi nhuận cực đại với với ngân sách cố định 41750$.
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
17
Chương 3:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
§1. CÁC KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Chứng minh rằng hàm số:
5
1 2
1
12
y C x C x
x
là nghiệm của phương trình:
2 // /
1
5 5x y xy y
x
2. Chứng minh rằng hàm số
3 2
1 2
1
6
x
y C C x x e
là nghiệm của phương trình:
// / 2
4 4
x
y y y xe
.
§2. PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LI
2. Giải các phương trình sau:
2.1
1 0
xydx x dy
2.2
2
4 1
y dx xydy
2.3
2 / 2
1 2 0
x y xy
với
0 1
y
2.4
/
cot 2
y x y
với
0 1
y
2.5
2 / 2
2 2
x yy y
2.6
/ 2
2
y xy xy
2.7
1 1
x
dx
e
dt
2.8
/
x y
y e
2.9
0
dx
x t
dt
2.10
2 2
1 1 0
x y dx y x dy
2.11
/
x y
y e
2.12
/
1
1
y
y
x
§3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHÂN LI BIẾN SỐ
1 . Giải các phương trình sau:
1.1
/
cos -
y y x
1.2
/
2 3
y y x
1.3
4 2 1
y x y
1.4
0
x y dx x y dy
1.5
2 2 / /
y x y xyy
1.6
2 0
x y dx xdy
1.7
2 2 /
2
x y y xy
1.8
/
y
xy y xtg
x
1.9
/
y
x
xy y xe
1.10
/
ln
x y
xy y x y
x
1.11
/
cosln
y
xy y
x
1.12
y xy dx xdy
1.13
/ 2 2
xy x y y
1.14
2 4 6 3 0
x y dx x y dy
1.15
/
2 1
2 4 3
x y
y
x y
1.16
2
/
8 2 1
y x y
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
18
§4. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1 . Giải các phương trình sau:
1.1
/ 4
2 2
xy y x
1.2
/
2 1 4 2
x y x y
1.3
/
x
x y y e
1.4
2 /
1 0
x y xy
1.5
/
cos
y x y x x
1.6
/ 2
2
y x x y
1.7
/
1 ln 2
xy x y
1.8
2
x y dx ydx
1.9
/ 2
1 3
x
xy x y x e
1.10
/
2 1
y
e x y
1.11
2 /
sin cot 1
y x y y
1.12
/
y x y
2. Giải phương trình Bernoulli:
Ghi chú:
Phương trình Bernoulli có dạng:
/
y p x y y q x
Để giải PT: đặt :
1
y z
đưa về phương trình tuyến tính
2.1
2
dy y
xy
dx x
2.2
2
2 0
dy
xy y x
dx
2.3
2
3 1 sin 3 sin
xdy y x x y x dx
2.4
/ 3
2
y xy y
2.5
2
2 0
xy y dx xdy
2.6
/ 3 2
2 3
y xy x y
§5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN
Ghi chú:
Phương trình có dạng:
, , 0
M x y dx N x y dy
(1)
được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của phương trình là vi
phân toàn phần của một hàm
,
x y
nào đó, có nghĩa là:
, , ,
M x y dx N x y dy d x y
Lúc đó nghiệm của phương trình (1) có dạng:
0 0
0
, , ,
y
x
x y
x y M t y dt N x t dt
Hay :
0 0
0
, , ,
y
x
x y
x y M t y dt N x t dt
Trong đó
0 0
,
x y
được chọn sao cho đoạn
0 0
, , ,
x x y y
thuộc trong miền
xác định
2
D R
của hàm số
, , ,
M x y N x y
1 . Giải các phương trình sau:
1.1
2 0
x y dx x y dy
1.2
2 2
2 2 0
x y x dx xydy
Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh
19
1.3
3 2 2 2
3 2 3 0
x xy dx x y y dy
1.4
2 2
xdy ydx
xdx ydy
x y
1.5
2 2
3 4
2 3
0
x y x
dx dy
y y
1.6
2 1 2 1 0
x y dx y x dy
1.7
2
1
0
x
dx dy
y y
1.8
2 2
2 0
xydx x y dy
Phương pháp thừa số tích phân:
+ Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc vào biến x được xác định như sau:
M N
y x
x
N
, (biểu thức chỉ phụ thuộc vào biến x)
Lúc đó thừa số tích phân:
x dx
p x e
+ Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc vào biến y được xác định:
M N
y x
x
M
(biểu thức chỉ phụ thuộc vào biến y)
Lúc đó thừa số tích phân theo y:
y dy
p y e
2. Dùng phương pháp thừa số tích phân để giải các phương trình vi phân sau:
2.1
2 2
1 0
x y dx x y x dy
2.2
2
x y dx xdy
2.3
2
2 0
x y dx xydy
2.4
1 0
y xy dx xdy
2.5
3
ln 0
y
dx y x dy
x
2.6
2 2
0
x y x dy xy y dx
2.7
1 1 0
x x
dx dy
y y
2.8
cos - sin sin cos 0
x y y y dy x y y y dx
§6. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO
1 . Giải các phương trình sau:
1.1
// 3
9 6
x
y y e
1.2
./ //
sin 2 0
x y y
1.4
// /
1 0
x
y e y
1.5
/
// /
ln
y
xy y
x
1.6
// /
3 2 6
y y x
1.7
// / 2 4
9 20
x
y y y x e
1.8
//
osx
x
y y e c
1.10
// /
13sin 2
y y y x
1.11
//
4 2sin 2
y y x
1.12
// / 2x x
y y e e x
