Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8 năm 2014 2015 quận long biên, hà nội

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ
MÔN HỌC EM YÊU THÍCH CẤP QUẬN
Môn: TOÁN
Năm học 2014-2015
Ngày thi: 27/05/2014
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức
2
2 2 2 4 3 1
3 :
3 1 1 3
x x x x
A
x x x x
   
 
   
 
 
 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn:
2014 2 1 2013x  
c) Tìm giá trị của x để A < 0.
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên.
Bài 2 (3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
3

(x
2
- 7 )
2
- 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A= n
3
(n
2
- 7 )
2
- 36n

210 với mọi số tự nhiên n.
Bài 3 (3 điểm)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A
lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày và đi với vận tốc theo thứ tự lần lượt là
10km/giờ, 30km/giờ và 50km/giờ. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe
máy ?
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường
thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và


EAD ECB
b) Cho

0
120BMC 

và
2
36
AED
S cm
. Tính
EBC
S
?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có
giá trị không đổi.
d) Kẻ
DH BC
 
H BC
. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh
CQ PD
.
Bài 5: (3điểm).
a) Chứng minh rằng số n
2
+2014 với n nguyên dương không là số chính phương.
b) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a
3
+ b
3
= a
5
+ b

5
.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2

1 + ab
Hết
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Ý Nội dung Điểm
1
5 đ
a)
ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 .
Rút gọn được A=
1
3
x 
.
0.5
1.5
b
Từ
2014 2 1 2013x  
Tìm được x=1; x=0 (loại x=0 do không thỏa mãn ĐK)
Thay x=1 vào biểu thức . tính được A= 0.

0.5
0.5
c A< 0 suy luận được x<1 và : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 . 1.0
d
Lập luận để khẳng định được x-1 là bội của 3 suy ra , x = 3n+1 (n

Z)
1.0
2
3 đ
a)
Phân tích được x
3
(x
2
- 7 )
2
– 36x
= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
1.5
b)
Theo phần a ta có :
A = n
3
(n
2
- 7)
2
- 36n
= n(n + 1)(n - 1) (n - 3)(n + 2)(n - 2)(n + 3)

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp. Trong 7 số nguyên liên tiếp có:
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3.
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7.
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A

(2, 3, 5, 7)
Hay A

210.
0.75
0.75
3
3 đ
Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x >
0
=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)
Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)
=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)
0,25
0,75
Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km)
Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)
Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp
và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:
50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x
<=> x =
5
6

(h) = 50 phút (TMĐK)
Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy .
0,5
0,5
0,5
0,5
4
6đ
Hình vẽ:
IP
Q
H
E
D
A
B C
M
0,5
a
* Chứng minh EA.EB = ED.EC
- Chứng minh

EBD đồng dạng với

ECA (gg)
- Từ đó suy ra
. .
EB ED
EA EB ED EC
EC EA

  
* Chứng minh


EAD ECB
- Chứng minh

EAD đồng dạng với

ECB (cgc)
- Suy ra


EAD ECB
0,5
0,5
0,5
0,5
b
- Từ

BMC
= 120
o


AMB
= 60
o



ABM
= 30
o
0.5
- Xét

EDB vuông tại D có

B
= 30
o

ED =
1
2
EB

1
2
ED
EB

- Lý luận cho
2
EAD
ECB
S
ED
S EB

 

 
 
từ đó

S
ECB
= 144 cm
2
c
- Chứng minh

BMI đồng dạng với

BCD (gg)
- Chứng minh CM.CA = CI.BC
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC
2
có giá trị không đổi
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB
2
+ AC
2
= BC
2
0.25
0.25
0.5
d

- Chứng minh

BHD đồng dạng với

DHC (gg)
2
2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC
     
- Chứng minh

DPB đồng dạng với

CQD (cgc)




` 90
o
BDP DCQ
CQ PD
ma BDP PDC

 

 

 



0,25
0,25
0,5
5
3đ
a
Nếu n
2
+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n
2
+2014 =k
2

k
2
–
n
2
= 2014
 (k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n)

4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n

2
+ 2014 là số chính phương
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Với 2 số a, b dương:
Xét:
  
2 2
a b 1 ab

a
2
+ b
2
– ab

1
0,5
0.5

(a + b)(a
2
+ b
2
– ab)


(a + b) ( vì a + b > 0)

a
3
+ b
3

a + b

(a
3
+ b
3
)(a
3
+ b
3
)

(a + b)(a
5
+ b
5
) (vì a
3
+ b
3
= a
5

+ b
5
)

a
6
+ 2a
3
b
3
+ b
6

a
6
+ ab
5
+ a
5
b + b
6

2a
3
b
3

ab
5
+ a

5
b

ab(a
4
– 2a
2
b
2
+ b
4
)

0
 
  
2
2 2
ab a b 0
đúng

a, b > 0 .
Vậy:
  
2 2
a b 1 ab
với a, b dương và a
3
+ b
3

= a
5
+ b
5
0,5
0,25
0,25
Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.