Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 13

Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 11
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a. Cos5x = 5Cosx
b. x
2
– 1 = 2x
xx 2
2
−
Câu 2: (5 điểm) Tìm giới hạn sau:
a. A =
1
212
lim
3
1
−
−+−
→
x
xx
x
b. Chứng minh rằng phương trình: 2x+6
3
1 x−
=3 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
(-7, 9).
Câu 3: (5 điểm)
a. Cho hàm số f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-2009). Tìm f’(1005)?

b. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng
20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm K ∈ {1;2;…;n} sao cho số tập con gồm
K phần tử của A là lớn nhất?
Câu 4: (5 điểm)
a. Cho đường tròn (C): x
2
+y
2
=R
2
và điểm M (a,b) nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai
tiếp tuyến MT
1
và MT
2
đến đường tròn (T
1,
T
2
là các tiếp điểm). Viết phương trình
đường thẳng T
1
T
2
.
b. Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một AB=CD; AC=BD;
AD=BC. Chứng minh với mọi điểm M trong không gian ta đều có:
MA
2
+MB

2
+MC
2
≥ MD
2
Câu 5. (1 điểm) Cho dãy số {u
n
} có số hạng tổng quát:
u
n
=
1
1
2
+n
+
2
1
2
+n
+…+
nn +
2
1
. Tìm
n
n
u
∞→
lim

?