Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 22

S GD&ĐT VĨNH PHÚCỞ
—————————
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
KỲ THI CH N HSG L P 11 THPT NĂM H C 2010-2011Ọ Ớ Ọ
Đ THI MÔN: TOÁNỀ
(Dành cho h c sinh THPT không chuyên)ọ
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao đ .ờ ể ờ ề
————————————
Câu I (2 đi m)ể
Gi i ph ng trình:ả ươ

3 1
3 2 2 2cos 2 0
cos 2 1
cotx
tan x x
x cotx
−
− − + =
+
Câu II (2,5 đi m)ể
1. Cho khai tri nể :
( )
2011

2 3 2010 2 3 4042110
0 1 2 3 4042110
1 x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + +
a. Tính t ng ổ
0 2 4 4042110
a a a a+ + + +
b. Ch ng minh đ ng th c sau:ứ ẳ ứ
0 1 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0
2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = −
2. G i ọ A là t p h p các s t nhiên có chín ch s đôi m t khác nhau. Ch n ng u nhiên m t s tậ ợ ố ự ữ ố ộ ọ ẫ ộ ố ự
nhiên thu c vào t p ộ ậ A. Tính xác su t đ ch n đ c m t s thu c ấ ể ọ ượ ộ ố ộ A và s đó chia h t cho ố ế 3.
Câu III (2,5 đi m)ể
1. Cho dãy s ố
( )
n
u
đ c xác đ nh nh sauượ ị ư
( )
2
1 1 1
2011;
n n n
u u n u u
− −
= = −
,
v i m i ớ ọ
*
, 2n n∈ ≥¥

. Ch ng minh r ng dãy s ứ ằ ố
( )
n
u
có gi i h n và tìm gi i h n đó.ớ ạ ớ ạ
2. Tính gi i h n:ớ ạ
3
2
1
2 1 3 2 2
1
x
x x x
A lim
x
→
− + − −
=
−
Câu IV (3 đi m)ể
Cho hình h p ộ ABCD.A’B’C’D’ có t t c các m t đ u là hình vuông c nh ấ ả ặ ề ạ
a
.
1. Ch ng minh r ng ứ ằ
'AC
vuông góc v i m t ph ng ớ ặ ẳ
( )
'A BD
và đ ng th ng ườ ẳ
'AC

đi qua tr ng tâmọ
c a tam giác ủ
'A BD
.
2. Hãy xác đ nh các đi m ị ể M, N l n l t n m trên các c nh ầ ượ ằ ạ A’D, CD’ sao cho MN vuông góc v i m tớ ặ
ph ng ẳ (CB’D’). Tính đ dài đo n ộ ạ MN theo
a
.
H t ế
Chú ý: Giám th coi thi không gi i thích gì thêmị ả .
H và tên thí sinhọ : ……………………………………………SBD: …………………
Tham kh o đáp án: ả />