Lớp 12 - Luyện thi ĐH Bài tập phương trình đường tròn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.13 MB, 25 trang )
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
M
0
D
R
I
Chuyờn
:
PHNG TR
èNH NG TRềN
I- Lí THUY
T
:
1. Phng trỡnh ng trũn:
Dng 1:
Ph
ng trỡnh
ng
trũn
(
)
C
cú tõm
( ; )I a b
, bỏn kớnh
0R >
:
(
)
(
)
2 2
2
x a y b R
- + - =
D
ng
2:
Ph
ng tr
ỡnh t
ng
qu
ỏt:
2 2
2 2 0x y ax by c+ - - + =
(*)
cú tõm
( ; )I a b
, bỏn kớnh
2 2
R a b c= + -
Lu ý:
i
u
ki
n
(*) l ph
ng trỡnh c
a
m
t
ng
trũn l:
2 2
0a b c+ - >
THUT TON
L
p phng trỡnh ng trũn
Bc 1
: Xỏc
nh
tõm
( ; )I a b
c
a
(
)
C
.
Bc 2:
Xỏc
nh
bỏn kớnh
0
R >
.
Kt lun:
Ph
ng trỡnh
ng
trũn
(
)
C
cú tõm
( ; )I a b
, bỏn kớnh
0R >
:
(
)
(
)
2 2
2
x a y b R- + - =
Nh
n xột
: Ph
ng tr
ỡnh (*)
hon ton xỏc
nh
n
u
bi
t
c
ỏc h
s
, ,
a b c
. Nh
v
y
chỳng ta c
n
3 gi thit
xỏc
nh
, , a b c
.
2. Tip tuyn ca n
g trũn:
2 2
2 2 0x y ax by c+ - - + =
a.
Ti
p tuyn ca
(
)
C
ti
0 0 0
( ; )M x y
(
0
M
:
ti
p im
)
Ti
p
tuy
n
c
a
(
)
C
t
i
0 0 0
( ; )M x y
cú ph
ng trỡnh:
0 0 0 0
( ) ( ) 0
xx yy a x x b y y c+ - + - + + =
(
CT phõn ụi to
)
Nhn xột:
0 0 0 0 0 0
( ; ) ( ; )Rõ ràng tiếp tuyến đi qua và có 1 vectơ pháp M x y IM x a y b
0 0 0 0
: ( ) ( )( ) 0 a x x x b y y y
b.
iu kin tip xỳc:
ng thng
: 0ax by cD + + =
l tip tuyn ca
(
)
(
)
;
C d I R D =
Lu ý:
ti
n
trong vi
c
tỡm ph
ng trỡnh ti
p
tuy
n
c
a
(
)
C
, chỳng ta khụng nờn xột
ph
ng trỡnh
ng
th
ng
d
ng
y kx m= +
(
tn ti h s gúc
k
). V
ỡ nh
th
d
n
n
sút
tr
ng
h
p
ti
p
tuy
n
th
ng ng
x C=
(
khụng cú h
s gúc
)
.
Nhc:
* Đờng thẳng có hệ số góc .
* Đờng thẳng (vuông góc ) không có hệ số góc.
y kx m k
x C Ox
0 0
( ; )
0
Do đó, trong quá trình viết pt tiếp tuyế
n với (C) từ 1 điểm M (ngoài (C)) ta có thể
thực hiện bằng 2 p.pháp:
x y
* Phơng pháp 1:
0 0
( ; )
0
Gọi đờng thẳng bất kì qua M và có h.s.g
k: x y
0 0
( )
y y k x x
R
I
www.buiphan.net
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
0
áp dụng đk tiếp xúc, giải đợc k.
* Nếu kết quả 2 hệ số góc k (tơng ứng 2 t.tuyến), bài toán giải quyết xong.
* Nếu giải đợc 1 h.g.góc k, thì xét
đờng thẳng (đây là tiếp tuyến thứ hai)x x .
* Phơng pháp 2:
2 2
0 0
( ; ) 0 ( ; )
0
Gọi là 1 v.t pháp của đ.thẳng đi qua Mn a b a b x y
0 0
( ) ( 0 ) a x x b y y
, .
áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta đợc 1 phơng trình đẳng cấp bậc hai theo a b
Nhn xột:
Phơng pháp 2 tỏ ra hiệu quả và khoa học hơn.
3. V trớ tng i ca hai ng trũn
-
S tip tuyn chung:
Cho hai
ng
trũn
(
)
1
C
cú tõm
1
I
, bỏn kớnh
1
R
v
(
)
2
C
cú tõm
2
I
, bỏn kớnh
2
R
.
Tr
ng hp
Kt lun
S tip tuyn chung
R
2
R
1
I
2
I
1
1 2 1 2
+ <
R R I I
(
)
1
C
kh
ụng c
t
(
)
2
C
(ngoi nhau)
4
I
1
I
2
R
1
R
2
1 2 1 2
R R I I+ =
(
)
1
C
ti
p xỳc ngoi
v
i
(
)
2
C
3
I
1
I
2
R
1
R
2
1 2 1 2 1 2
R R I I R R+ > > -
(
)
1
C
c
t
(
)
2
C
t
i
hai
i
m
phõn bi
t
2
I
1
I
2
R
1
R
2
1 2 1 2
R R I I
- =
(
)
1
C
ti
p xỳc trong
v
i
(
)
2
C
1
www.buiphan.net
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
I
1
I
2
R
1
R
2
1 2 1 2
R R I I
- <
(
)
1
C
kh
ụng c
t
(
)
2
C
(
l
ng
v
o nhau)
0
V
N
1:
Nhn dng 1 phng trỡnh bc hai l phng trỡnh ng trũn.
Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn.
Phng
phỏp:
Cỏch 1:
a ph
ng trỡnh v
d
ng
2 2
2 2 0x y ax by c+ - - + =
(1)
Ki
m
tra, n
u bi
u
th
c
:
2 2
0a b c+ - >
thỡ (1) l ph
ng trỡnh
ng
trũn
ỡ
ù
ớ
= + -
ù
ợ
2 2
Tâm ( ; )I a b
R a b c
Cỏch 2:
a ph
ng trỡnh v
d
ng
:
- + - =
2 2
( ) ( )x a y b m
v k
t
lu
n
.
LUYN TP:
Bi tp 1:
Trong cỏc ph
ng trỡnh sau, ph
ng trỡnh no bi
u
di
n
ng
trũn. Tỡm tõm v
bỏn hớnh n
u
cú:
+ - + + = + + - - =
+ + + + = + - + - =
+ - = + - + + =
+ + + - =
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
) 6 8 10 0 ) 4 6 12 0
) 2 4 5 0 ) 2 2 4 8 2 0
) 4 0 ) 2 4 8 1 0
) 2 4 5 0
a x y x y b x y x y
c x y x y d x y x y
e x y y f x y x y
g x y xy y
Bi t
p
2: Cho ph
ng trỡnh
+ - + + - =
2 2
2 4 6 1 0x y mx my m
(1)
a. V
i
gi
ỏ tr
n
o c
a
m
thỡ pt(1) l ph
ng tr
ỡnh c
a
ng
tr
ũn?
b. N
u
(1) l ph
ng trỡnh
ng
trũn, hóy tỡm to
tõm v tớnh bỏn kớnh
ng
trũn
ú
theo
m
.
Bi tp
3
: Cho ph
ng trình :
2 2 2
6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m+ + - - + + - =
.
a. Tìm
i
u ki
n c
a
m
pt trên l l phơng trình
ng tròn.
b. Tìm qu
tích tâm
ng tròn.
Bi tp
4: Cho ph
ng trỡnh:
2 2
1) 2(sin 1) 2 02(cosx y x ya a
.
;1
0
a. Với giá trị nào của thì phơng trình
trên là p.trình của một đờng tròn.
b. Tìm giá trị để đờng tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn nhất.
c. Tìm quỹ tích tâm đờng tròn, khi thay đổi trên đoạn 0
a
a
a
0
80 .
Bi tp
5
: Cho ph
ng trình
( )
m
C
:
2 2
2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y+ + - - - + =
.
a. Tìm
m
( )
m
C
l ph
ng trình c
a m
t
ng tròn.
b. Tìm
m
( )
m
C
l
ng tròn tâm
(1; 3).I -
Vi
t ph
ng trình
ng tròn.
c. Tìm
m
( )
m
C
l
ng tròn có bán kính
5 2.R =
Vi
t ph
ng trình
ng tròn.
d. Tìm t
p h
p tâm các
ng tròn
( )
m
C
.
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
VẤN ĐỀ 2:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương
pháp:
Cách 1: Tìm tâm
( ; )
I a b
, b
án kính
> 0R
. Suy ra
(
)
(
)
- + - =
2 2
2
( ) :C x a y b R
Cách 2: G
ọi
ph
ươ
ng trình
đường
tròn:
2 2
2 2 0x y ax by c+ - - + =
- T
ừ
đ
i
ều
ki
ện
c
ủa
đ
ề
b
ài
đư
a
đ
ến
h
ệ
ph
ươ
ng tr
ình v
ới
ẩn
s
ố
, ,
a b c
.
- Gi
ải
h
ệ
ph
ươ
ng trình tìm
, , a b c
.
LUY
ỆN TẬP:
Bài tập 1:
L
ập
p
h
ươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn (C) trong các tr
ư
ờng
h
ợp
sau:
a. (C) có tâm
( 1;2)I -
và
tiếp x
úc v
ới
đường
th
ẳng
: 2 7 0x yD - + =
.
b. (C) có
đư
ờng
k
ính là AB v
ới
(1;1), (7;5)
A B
Bài tập
2: Vi
ết
ph
ươ
ng trình
đường
tròn
đ
i qua ba
đ
i
ểm
v
ới
(1;4), ( 7;4), (2; 5)A B C- -
.
Bài tập
3
: Cho 3
đ
i
ểm
(1;2), (5;2), (1; 3)
A B C -
.
a. L
ập
ph
ươ
ng trình
đường
tròn (C) ngo
ại
ti
ếp
tam giác ABC.
b. Xác
đ
ịnh
t
âm và bán kính c
ủa
(C).
Bài tập
4:
Viết phươ
ng trình
đường
tròn ngo
ại
ti
ếp
tam giác ABC v
ới
(1;5), (4; 1),A B -
( 4; 5)
C - -
Bài tập
5: L
ập
ph
ươ
ng trình
đường
tròn (C), có tâm
(2;3)I
trong các tr
ường
h
ợp
sau:
a. (C) có bkính là 5 b. (C) qua
đ
i
ểm
(1;5)A
.
c. (C) ti
ếp
xúc v
ới
tr
ục
Ox d. (C) ti
ếp
xúc v
ới
tr
ục
Oy
e. (C) ti
ếp
xúc v
ới
đường
th
ẳng
: 4 3 12 0x yD + - =
Bài tập
6
: L
ập
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn (C)
đ
i qua hai
đ
i
ểm
( 1;2), ( 2;3)
A B- -
v
à có tâm
ở
tr
ên
đường
th
ẳng
: 3 10 0x yD - + =
.
G
ợi ý:
Cách 1:
Gọi
( ;3 10) ΔI a a + Î
. Do (C) qua A, B nên
(
)
IA IB R= =
Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình đường trung trực
d
c
ủa đoạn AB.
Bư
ớc 2: Tâm I của (C) là giao điểm của
d
và
Δ
.
Bài tập
7: L
ập
ph
ươ
ng trình c
ủa
đường
tròn (C)
đ
i qua 2
đ
i
ểm
(1;2), (3;4)
A B
v
à ti
ếp
xúc v
ới
đường
th
ẳng
: 3 3 0x yD + - =
.
G
ợi ý:
Cách 1:
Gọi
( ; )I a b
là tâm đường tròn.
Theo giả thiết:
(
)
;Δ
IA IB
d I IA
=
ì
ï
Þ
í
=
ï
î
gi
ải ra I.
Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình đường trung trực
d
của đoạn AB.
Bước 2: Gọi tâm của (C) là
I dÎ
(
tọa độ 1 ẩn
).
Do
Δ
ti
ếp xúc với (C) nên
(
)
;Δd I IA= Þ
gi
ải ra I.
Bài tập
8: L
ập
ph
ươ
ng trình
đường
tròn (C)
đ
i
đ
i
ểm
(4;2)M
và
tiếp x
úc v
ới
các tr
ục
to
ạ
độ
.
Gợi ý:
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
Gọi
( ; )I a b
là tâm của (C). Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên
a b R= =
.
TH 1:
( ; ), a b I a a R a= Þ =
Phương trình (C):
(
)
(
)
2 2
2
x a y a a- + - =
Do
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2
(4;2) 4 2 12 20 0
10
=
é
Î Û - + - = Û - + = Û
ê
=
ë
a
M C a a a a a
a
V
ậy có 2 đường tròn:
(
)
(
)
(
)
2 2
1
: 2 2 4 C x y- + - =
và
(
)
(
)
(
)
2 2
2
: 10 10 100 C x y- + - =
.
TH 2:
( ; ),
a b I a a R a= - Þ - =
Phương tr
ình (C):
(
)
(
)
2 2
2
x a y a a
- + + =
Do
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
(4;2) 4 2 4 20 0 v« nghiÖm
Î Û - + + = Û - + =M C a a a a a
Bài tập
9: Cho 3
đường
th
ẳng
:
1 2
: 3 4 1 0, : 4 3 8 0, : 2 1 0D + - = D + - = + - =x y x y d x y
. L
ập
ph
ươ
ng trình
đường
tròn (C) có tâm I n
ằm
trên
đường
th
ẳng
d và (C) ti
ếp
xúc v
ới
1 2
, D D
.
G
ợi ý:
Cách 1:
G
ọi
( ;1 2 )
I a a d- Î
là tâm c
ủa đường tròn (C).
Do
1 2
, D D
là các ti
ếp tuyến của (C) nên suy ra:
(
)
(
)
1 2
; ;D = D Þd I d I
giải ra I.
Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
1
D
và
2
D
.
2 2 2 2
3 4 1 4 3 8
3 4 1 4 3 8
3 4 4 3
+ - + -
= Û + - = + -
+ +
x y x y
x y x y
(
)
1
2
3 4 1 4 3 8
: 7 0
3 4 1 4 3 8
: 7 7 9 0
+ - = + -
- - =
é
é
Û Û
ê
ê
+ - = - + -
- - =
ë
ë
x y x y
T x y
x y x y
T x y
Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của
d
và
1 2
, . T T
Bài tập
10
: L
ập
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờn
g
tròn
đ
i qua hai
đ
i
ểm
(0;1), (2; 3)
A B
v
à có bán kính
5
R
.
Gợi ý:
Cách 1:
Gọi
( ; )I a b
là tâm đường tròn (C). Theo giả thiết
5
IA IB
IA R
=
ì
í
= =
î
Cách 2:
Bư
ớc 1: Lập phương trình đường trung trực
d
của AB.
Bước 2: Gọi
I dÎ
(tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết
5
IA = Þ
gi
ải ra I.
Bài
tập
11: L
ập
ph
ươ
ng trình
đường
tròn (C) có tâm
(1;1)
I
, bi
ết
đường
th
ẳng
: 3 4 3 0
x y
c
ắt
(C) theo d
ây cung AB v
ớ
i
2.AB
Gợi ý:
www.buiphan.net
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
Dễ thấy
(
)
2
2
;Δ
4
AB
R d I= é ù +
ë û
Bài tập 1
2: (
ĐH A
-2007) Cho tam giác ABC có
(0;2), ( 2; 2)A B - -
và
(4; 2)C -
. G
ọi
H là
ch
ân
đư
ờng
cao k
ẻ
t
ừ
B
; M, N l
ần
l
ư
ợt
l
à trung
đ
i
ểm
c
ủa
AB v
à BC. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn qua các
đ
i
ểm
H, M, N.
Gợi ý:
Bước 1: Xác định tọa độ M, N.
Bước 2: Lập phương trình đường trung trực
d
của MN.
D
ễ thấy tâm I của (C) thuộc
d
.
Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và
d
. Suy ra
IM R=
.
Bài tập 1
3
:
Vi
ết phươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn
đ
i qua
đ
i
ểm
(1;1)
A
v
à có bán kính
10
R
, t
âm
(C) n
ằm
tr
ên Ox.
Gợi ý:
Gọi
( ;0)I a OxÎ
là tâm của (C). Theo giả thiết,
10IA =
, từ đây giải ra I.
Bài tập 1
4
:
Vi
ết phươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn
đ
i qua
đ
i
ểm
(2;3)
M
v
à ti
ếp
x
úc
đ
ồng
th
ời
v
ớ
i hai
đường
th
ẳng
1 2
: 3 4 1 0, : 4 3 7 0. x y x y
Gợi ý:
Gọi
( ; )I a b
là tâm của (C). Theo giả thiết
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1 2
;Δ
;Δ ;Δ
IM d I R
d I d I
ì
= =
ï
Þ
í
=
ï
î
giải ra I.
Bài t
ập 1
5:
Viết phươ
ng trình
đường
tròn
đ
i qua g
ốc
to
ạ
độ
, bán kính
5R
và ti
ếp
xúc v
ớ
i
đường
th
ẳng
: 5 0 2x y
.
Gợi ý:
G
ọi
( ; )
I a b
là tâm c
ủa (C). Theo giả thiết
(
)
(
)
5
;Δ 5
OI R
d I
ì
= =
ï
Þ
í
=
ï
î
gi
ải ra I.
Bài tập 1
6: Cho
đường
th
ẳng
: 3 0 d x y
và
đường
tròn
2 2
( ) : 7 0.
C x y x y
Ch
ứn
g minh r
ằ
ng
d
c
ắt
( )C
. Hãy vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn
( ')C
đ
i qua
( 3;0)M
và các
giao
đ
i
ểm
c
ủa
d
v
à
( )C
.
G
ợi ý:
Xét hệ phương trình:
2 2 2 2
3 0 3
7 0 7 0
(1)
(2)
x y y x
x y x y x y x y
Thay (1) vào (2)
:
2
1 2 (1; 2)
7 6 0
6 3 (0; 3)
x y A
x x
x y B
= Þ = - -
é
- + = Û
ê
= Þ = - -
ë
Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm
(1; 2), (0; 3) A B- -
và
( 3;0)
M
.
(
Dùng k
ỹ năng: Gọi phương trình
2 2
2 2 0x y ax by c+ - - + =
và thay t
ọa độ)
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Bi tp 17
: Cho
ng
th
ng
: 3 0 d x y
v
ng
trũn
2 2
( ) : 7 0. C x y x y
Ch
n
g minh r
ng
d
c
t
( )C
t
i
hai
i
m
phõn bi
t
, A B
. Hóy vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn
( ')
C
i qua
, A B
v cú bỏn kớnh
3R
.
Gi ý:
Xỏc nh cỏc giao im A, B ca
d
v (C).
G
i
( ; )I a b
l tõm ca
( ')C
. Theo gi thit:
3
IA IB
IA
=
ỡ
ớ
=
ợ
.
Bi t
p 1
8: Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn (C)
i qua hai
i
m
(1; 1), (3;1) P Q
v ti
p
xỳc v
i
ng
tr
ũn
2 2
( '): 4 C x y
.
G
i ý:
2 2
( '): 4 C x y
cú tõm
(0;0), 1 O R =
.
Lp phng trỡnh ng trung trc
ca PQ. Gi
I ẻ
(ta 1 n) l tõm ca (C)
Xột 2 trng hp:
TH 1:
(C) v (C) ti
p xỳc ngoi, tc l
1 2
1OI R R OI IA= + = + ị
gi
i ra I.
TH 2:
(C) v (C) ti
p xỳc trong, tc l
1 2
1OI R R OI IA= - = - ị
gii ra I.
Bi tp 19
: Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn cú bỏn kớnh
2R
,
i qua
(2;0)M
v ti
p
xỳc v
i
ng
tr
ũn
2 2
( '): 1. C x y
Gi ý:
G
i
( ; )I a b
l tõm ca
( )C
. Theo gi thit:
1
IM R
IO R
=
ỡ
ớ
= +
ợ
. T õy, gii ra I.
Bi tp 20
:
Vi
t
ph
ng tr
ỡnh
ng
tr
ũn cú bỏn kớnh
2R
, v ti
p
x
ỳc v
i
ng
tr
ũn
2 2
( '): 1 0
và đờng thẳng C x y y
.
Gi ý:
Gi
( ; )I a b
l tõm ca
( )C
.
Ta cú, (C) ti
p xỳc vi Ox nờn
2
2
2
b
R b b
b
=
ộ
= =
ờ
= -
ở
TH 1:
2 ( ;2)
b I a= ị
. Theo gi thit
1 2
'IO R R= +
. T õy, gii ra I.
TH 2:
2 ( ; 2)b I a= - ị -
. Theo gi
thit
1 2
'IO R R= +
. T õy, gii ra I.
Bi tp 21
: Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn ti
p
xỳc v
i
ng
th
ng
: 2 0 d y
t
i
i
m
(4;2)M
v ti
p
xỳc v
i
ng
trũn
2 2
( '): ( 2) 4.
C x y
G
i ý:
Qua M d
ng ng thng
vuụng gúc v
i
d
.
Lỳc ú, tõm
I ẻ
(ta 1 n). D thy
R IM=
TH 1:
' ' ' 'II R R II IM R= + = +
. T
õy, gii ra I.
TH 2:
' ' ' '
II R R II IM R= - = -
. T õy, gii ra I.
Bi tp 22
: Cho
ng
trũn
2 2
( '): 8 C x y
. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn
( )C
ti
p
xỳc
v
i
ng
th
ng
: 3 0 x
v
ng
tr
ũn (C) t
i
i
m
(2;2)
M
.
Gi ý:
www.buiphan.net
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
Lập phương trình đường thẳng
'I M
.
Tâm
'I I MÎ
(t
ọa độ 1 ẩn).
Ta có:
(
)
' ' ' , 3 'II IM I M II d I x I M= + Û = - +
. Từ đây, giải ra I.
Bài tập 23
:
(
Đ
ề dự bị 2003
) Cho
đư
ờng
th
ẳng
: 7 10 0
d x y- + =
. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn có tâm thu
ộc
đường
th
ẳng
: 2 0x yD + =
và ti
ếp
xúc v
ới
đường
th
ẳng
d
t
ại
đ
i
ểm
(4;2)A
.
G
ợi ý:
Tâm
ΔI Î
(tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết
(
)
,IA d I d=
. Từ đây, giải ra I.
V
ẤN ĐỀ 3:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH
TI
ẾP
TUY
ẾN
C
ỦA
ĐƯỜNG TRÒN
Bài tập 1
: Cho
đường
tròn (C):
(
)
(
)
2 2
2 1 25x y- + - =
. Vi
ết
ph
ươ
ng trình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa
(C)
trong các tr
ường
h
ợp
sau:
a. T
ại
đ
i
ểm
(5; 3)M -
b. Bi
ết
ti
ếp
tuy
ến
song song
: 5 12 2 0x yD - + =
c. Bi
ết
ti
ếp
tuy
ến
vu
ông góc
: 3 4 2 0
x yD + + =
d. Bi
ết
ti
ếp
tuy
ến
đ
i qua
(3;6)A
.
Bài tập 2
: Vi
ết
ph
ươ
ng trình ti
ếp
tuy
ến
v
ới
(C):
2 2
4 2 0x y x y+ - - =
t
ại
giao
đ
i
ểm
c
ủa
(C) và
đường
th
ẳng
: 0
x yD + =
.
Bài t
ập 3
:
Vi
ết phươ
ng tr
ình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa
(C):
2 2
4 2 0x y x y+ - - =
xu
ất
ph
át t
ừ
(3; 2)
A -
.
Gợi ý:
(C) có tâm
(2;1)I
và
5R =
.
Cách 1:
G
ọi
(
)
(
)
2 2
; 0n a b a b= + >
là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm:
: ( 3) ( 2) 0 3 2 0
a x b y ax by a bD - + + = Û + - + =
.
D
là tiếp tuyến của (C)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 3 2
; 5 3 5
a b a b
d I R b a a b
a b
+ - +
Û D = Û = Û - = +
+
(
)
2 2 2 2 2 2
2 2
9 6 5 2 3 2 0
1 1
2 2
b
b a
a
b ab a a b b ab a
b
b a
a
é
= Û =
ê
Û - + = + Û - - = Û
ê
ê
= - Û = -
ê
ë
TH 1:
2b a=
.
Lúc đó:
: ( 3) 2 ( 2) 0 3 2( 2) 0 2 1 0a x a y x y x yD - + + = Û - + + = Û + + =
(do
0a ¹
)
TH 2:
1
2
b a= -
Lúc đó:
1 1
: ( 3) ( 2) 0 3 ( 2) 0 2 8 0
2 2
a x a y x y x yD - - + = Û - - + = Û - - =
(do
0a ¹
)
Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A.
1
: 2 1 0x yD + + =
,
2
: 2 8 0x yD - - =
.
Cách
2:
Xác đ ịnh tọa độ các tiếp điểm.
G
ọi
(
)
0 0 0
;M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C).
Suy ra:
2 2
0 0 0 0
0
0 0
0 0
4 2 0
( )
. 0
x y x y
M C
M A M I
M A M I
ì
+ - - =
Î
ì
ï
Û
í í
^
=
î
ï
î
Từ đây, giải ra hai tiếp điểm…
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
Bài tập 4
: Cho
đường
tròn (C):
2 2
6 2 6 0x y x y+ - + + =
và
đ
i
ểm
(1;3)A
.
a. Ch
ứng
t
ỏ
A n
ằm
ngoài
đường
tròn (C).
b. L
ập
ph
ươ
ng tr
ình ti
ế
p tuy
ến
v
ới
(C) xu
ất
ph
át t
ừ
A.
Bài tập 5
: Cho
đường
tròn (C):
(
)
(
)
2 2
1 2 9x y+ + - =
và
đ
i
ểm
(2; 1)M -
.
a. Ch
ứng
t
ỏ
qua M ta v
ẽ
được
hai ti
ếp
tuy
ến
1
D
và
2
D
v
ới
(C). Hãy
viết phươ
ng trình
c
ủa
1
D
và
2
D
.
b. G
ọi
1
M
và
2
M
l
ần
l
ượt
là hai ti
ếp
đ
i
ểm
c
ủa
1
D
và
2
D
v
ới
(C), hãy
viết phươ
ng trình
1 2
M M
.
Gợi ý:
(C) có tâm
( 1;2)
I -
và
3R =
.
a. Ta có
(3; 3) 3 2 3IM IM R- Þ = > =
nên M nằm ngoài (C).
Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C).
Cách 1:
Gọi
(
)
(
)
2 2
; 0n a b a b= + >
là m
ột vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên)
Cách 2:
G
ọi
(
)
0 0 0
;M x y
là ti
ếp điểm.
Lúc đó, tiếp tuyến của (C) tại
0
M
có dạng
:D
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
1 1 2 2 9x x y y+ + + - - =
.
M
ặt khác do
D
qua
(2; 1)M -
nên:
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
2 1 1 1 2 2 9 0x y x y+ + + - - - = Û - =
(1)
Do
(
)
(
)
(
)
2 2
0 0 0 0 0
; ( ) 1 2 9 (2)M x y C x yÎ Û + + - =
Từ (1) và (2), giải hệ:
(
)
(
)
0 0
0 0
2 2
0 0
0 0
0
1, 1
2, 2
1 2 9
x y
x y
x y
x y
- =
ì
= - = -
é
ï
Û
í
ê
= - = -
+ + - =
ë
ï
î
Suy ra hai ti
ếp điểm
1 2
( 1; 1), ( 2; 2)M M- - - -
TH 1:
Tiếp tuyến
1
D
qua
(2; 1)M -
và
1
( 1; 1)
M - -
có phương trình:
1y = -
.
TH 2:
Tiếp tuyến
2
D
qua
(2; 1)M -
và
2
( 2; 2)M - -
có phương trình:
2 1
4 6 0
2 2 2 1
x y
x y
- +
= Û - - =
- - - +
.
b) Theo trên, hai tiếp điểm là
1 2
( 1; 1), ( 2; 2)M M- - - -
.
Cách 1:
Phương trìn
h
1 2
2 2
: 0
1 2 1 2
x y
M M x y
+ +
= Û - =
- + - +
.
Cách
2: (
Không c
ần xác định tọa độ
1 2
, M M
)
G
ọi
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
; , ;
M x y M x y
.
Tiếp tuyến của (C) tại
1
M
:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1 2 2 9
x x y y+ + + - - =
.
Mặt khác do
D
qua
(2; 1)
M -
nên:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 9 0
x y x y+ + + - - - = Û - =
(3)
Tương tự, tiếp tuyến của (C) tại
1
M
:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2 9x x y y+ + + - - =
.
M
ặt khác do
D
qua
(2; 1)
M -
nên:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 1 1 1 2 2 9 0x y x y+ + + - - - = Û - =
(4)
T
ừ (
3
), (4)
d
ễ thấy:
1 2
, : 0M M x yÎD - =
hay đường thẳng
1 2
: 0M M x y- =
.
Bài t
ập 6
:
L
ập
ph
ươ
ng tr
ình ti
ếp
tuy
ến
chung c
ủa
hai
đư
ờng
tr
òn:
a)
2 2
1
( ) : 6 5 0C x y x+ - + =
và
2 2
2
( ) : 12 6 44 0C x y x y+ - - + =
.
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
b)
2 2
1
( ) : 2 3 0C x y x+ - - =
v
2 2
2
( ) : 8 8 28 0C x y x y+ - - + =
c)
2 2
1
( ) : 2 2 3 0
C x y x y+ + - - =
v
2 2
2
( ) : 4 4 16 20 21 0
C x y x y+ - - + =
d)
2 2
1
( ) : 1
C x y+ =
v
2 2
2
( ) : 4 5 0
C x y y+ - - =
Gi ý:
6b)
2 2
1
( ) : 2 3 0C x y x+ - - =
v
2 2
2
( ) : 8 8 28 0C x y x y+ - - + =
Ta cú
(
)
1
C
cú
(
)
1
1
1;0
2
I
R
ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ
Tâm
Bán kính
v
(
)
2
C
cú
(
)
2
2
4;4
2
I
R
ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ
Tâm
Bán kính
Ta cú:
1 2 1 2 1 2
(3;4) 5 4I I I I R R= ị = > = +
. Vy
(
)
1
C
v
(
)
1
C
ngoi nhau nờn tn ti 4 tip
tuyn chung cn tỡ
m.
Gi
(
)
2 2
: 0 0ax by c a bD + + = + >
l tip tuyn chung ca
(
)
1
C
v
(
)
2
C
.
Lỳc ú, theo gi
thit:
(
)
(
)
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2
2
;
;
4 4
4 4 2
2
a c
a c a b
d I R
a b
d I R
a b c
a b c a b
a b
ỡ
+
=
ù
ỡ
+ = +
ỡ
D =
+
ù ù ù
ớ ớ ớ
D =
+ +
ù
+ + = +
ù ù
ợ
ợ
=
ù
+
ợ
(1)
(2)
T
(1) v (2) suy ra:
(
)
3 4 0
4 4
4 4
5 4
4 4
2
a b
a c a b c
a c a b c
a b
a c a b c
c
+ =
ộ
+ = + +
ộ
ờ
+ = + +
- -
ờ
ờ
+ = - + +
=
ở
ở
TH 1:
4
3 4 0
3
a b a b+ = = -
.
Lỳc ú, (1) tr thnh:
2 2
14
4 16 4 10
2
3
3 9 3 3
2
c b
b
c b b b c b
c b
ộ
=
ờ
- = + - =
ờ
= -
ở
* Vi
14 4
,
3 3
c b a b= = -
ti
p tuyn
1
4 14
: 0 4 3 14 0
3 3
bx by b x yD - + + = - + + =
.
* V
i
4
2 ,
3
c b a b= - = -
tip tuyn
2
4
: 2 0 4 3 6 0
3
bx by b x yD - + - = - + - =
.
TH 2:
5 4
2
a b
c
- -
=
.
Lỳc ú, (1) tr thn
h:
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
5 4
2 3 4 4 3 4 4
2
0 2
9 24 16 16 16 7 24 0
24 74
7 7
a b
a a b a b a b a b a b
a c b
a ab b a b a a b
a b c b
- -
+ = + + = + + = +
= ị = -
ộ
ờ
+ + = + - =
ờ
= ị = -
ở
* V
i
2 , 0c b a= - =
tip tuyn
3
: 2 0 2 0by b yD - = - =
.
* V
i
74 24
,
7 7
c b a b= - =
tip tuyn
4
24 74
: 0 24 7 74 0
7 7
bx by b x yD + + = + - =
.
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Kt lun: Vy tn ti 4 tip tuyn tha món yờu cu bi toỏn:
1
: 4 3 14 0
x yD - + + =
,
2
: 4 3 6 0
x yD - + - =
,
3
: 2 0
yD - =
,
4
: 24 7 74 0
x yD + - =
Bi tp 7
:
Vi
t
ph
ng tr
ỡnh ti
p
tuy
n
c
a
ng
tr
ũn
2 2
( ): 25 C x y
, bi
t
r
ng
ti
p
tuy
n
ú
h
p
v
i
ng
th
ng
: 2 1 0
2
một góc mà cos =
5
x y
a a
.
Gi ý:
(C) cú tõm
(0;0)O
v
5R =
.
Gi
(
)
(
)
2 2
; 0
d
n a b a b= + >
l m
t vect phỏp ca ng thng
d
c
n tỡm.
ng thng
D
cú mt vect phỏp l
(1;2)
n
D
.
Do gúc gia ng thng
d
v
D
l
a
vi
2
5
cosa
nờn suy ra:
2 2
2 2
.
2
2
cos 2 2
.
5
5
d
d
n n
a b
a b a b
n n
a b
a
D
D
+
= = + = +
+
(
)
2 2 2 2
0
4 4 4 (4 3 ) 0
3
4
a
a ab b a b a b a
b a
=
ộ
ờ
+ + = + - =
ờ
=
ở
TH 1:
(
)
0 (0; ) 0
d
a n b b
= ị = ạ
, ch
n
(0;1) : 0
d
n d y mị + =
.
Mt khỏc,
d
ti
p xỳc vi (C) nờn:
(
)
5
; 5
5
1
m
m
d O d R
m
=
ộ
= =
ờ
= -
ở
V
y trng hp ny cú 2 tip tuyn:
1 2
: 5 0, : 5 0d y d y+ = - =
.
TH 2:
(
)
3 3
; 0
4 4
d
b a n a a a
ổ ử
= ị = ạ
ỗ ữ
ố ứ
, chn
(4;3) : 4 3 0
d
n d x y n
ị + + =
.
Mt khỏc,
d
ti
p xỳc vi (C) nờn:
(
)
25
; 5
25
5
n
n
d O d R
n
=
ộ
= =
ờ
= -
ở
V
y trng hp ny cú 2 tip tuyn:
3 4
: 4 3 25 0, : 4 3 25 0d x y d x y+ + = + - =
.
MT S THI I HC
1)
(
H A
-
2002) Cho tam giỏc ABC vuụng t
i
A, ph
ng tr
ỡnh
ng
th
ng
BC
l:
3 3 0x y- - =
, cỏc
nh
A v B thu
c
tr
c
honh v bỏn kớnh
ng
trũn n
i
ti
p
b
ng
2.
Tỡm to
tr
ng
tõm G c
a
tam giỏc ABC.
Gi ý:
(
)
(
)
(
)
(1;0). ( ;0) 3 3
; 3 3 .
1
2 1 3( 1)
3
;
1
3 3
3
ầ = = = ị = -
-
ỡ
= + +
ù
ổ ử
+ -
ù
ỗ ữ
ớ
ố ứ
ù
= + +
ù
ợ
A C C
G A B C
G A B C
BC Ox B x a A a x a y a
C a a
x x x x
a a
G
y y y y
Ta có Đặt ta có: và
Vậy
Từ công thức Ta có
www.buiphan.net
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Cỏch 1:
1 , 3 1 , 2 1= - = - = -AB a AC a BC aTa có:
(
)
(
)
2
2
1 3
. 1 .
2 2
1
3 1
2
2.
3 1 3 1 3 1
1 2 3 2
= = -
-
-
= = = =
+ +
- + - +
- = +
ABC
S AB AC a
a
a
S
r
AB AB BC
a a
a
Do đó:
Ta có:
Vậy
TH 1:
1 1
7 4 3 6 2 3
2 3 3 ;
3 3
ổ ử
+ +
= + ị
ỗ ữ
ố ứ
a G
TH 1:
2 2
1 4 3 6 2 3
2 3 3 ;
3 3
ổ ử
- - - -
= - - ị
ỗ ữ
ố ứ
a G
Cỏch 2:
2 2.= ị =
I
r y
Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ABC. Vì
(
)
(
)
0
1
tan30 . 1 1 2 3
3
-
= - = ị =
I
x
y x xPhơng trình BI:
TH 1:
(
)
1 2 3. ; 2
= + =
I
x d I ACNếu A và O khác phía đối với B thì Từ
1
7 4 3 6 2 3
2 3 2 3 ;
3 3
ổ ử
+ +
ị = + = + ị
ỗ ữ
ố ứ
I
a x G
TH 2:
(
)
1 2 3. ; 2= - =
I
x d I ACNếu A và O cùng phía đối với B thì Từ
2
1 4 3 6 2 3
2 1 2 3 ;
3 3
ổ ử
- - - -
ị = - = - - ị
ỗ ữ
ố ứ
I
a x G
2)
(
H B
-2002) Cho hỡnh ch
nh
t
ABCD cú tõm
1
;0
2
I
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
, ph
ng trỡnh
ng
th
ng
AB l:
2 2 0x y- + =
v AB= 2AD. Tỡm to
cỏc
nh
A, B, C, D bi
t
nh
A cú honh
õm.
G
i ý:
5
5
2 2
5
2
2
ị = = =
=
-
AD IA IB
R
x
5
Khoảng cách từ I đến đờng thẳng AB bằng và
Do đó A, B là các giao điểm của đờng th
ẳng AB với đờng tròn tâm I và bán kính .
Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ phơng trình:
2 2
2
2 0
( 2;0), (2;2) 0)
1 5
2 2
(3;0), ( 1; 2).
+ =
ỡ
ù
- <
ớ
ổ ử ổ ử
- + =
ỗ ữ ỗ ữ
ù
ố ứ ố ứ
ợ
ị - -
A
y
A B x
x y
C D
. Giải hệ đợc (vì
Lu
ý:
y
x
I
B
A
C
O
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Hoàn toàn có thể xác định tọa độ H là hình chiếu của I trên đờng thẳng AB.
Sau đó tìm A, B là giao điểm của đờng tròn tâm H bán kính HA với đờng thẳng AB.
3) (
d b 2002
)
Cho hai
ng
trũn:
(
)
(
)
2 2 2 2
1 2
: 10 0, : 4 2 20 0C x y x C x y x y+ - = + + - - =
a. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn
i qua giao
i
m
c
a
(
)
(
)
1 2
, C C
v cú tõm n
m
trờn
ng
th
ng
6 6 0x y+ - =
.
b.
Vi
t
ph
ng tr
ỡnh ti
p
tuy
n
chung c
a
hai
ng
tr
ũn
(
)
(
)
1 2
, C C
.
4) (
d b 2002
)
Cho hai
ng
trũn:
(
)
(
)
2 2 2 2
1 2
: 4 5 0, : 6 8 16 0C x y y C x y x y+ - - = + - + + =
Vi
t
ph
ng tr
ỡnh ti
p
tuy
n
chung c
a
hai
ng
tr
ũn
(
)
(
)
1 2
,
C C
.
5) (
d b 2002
)
Cho
ng
th
ng
: 1 0d x y- + =
v
ng
trũn
(
)
2 2
: 2 4 0C x y x y+ + - =
. Tỡm to
i
m
M thu
c
d
m qua
ú
ta k
c
hai
ng
th
ng
ti
p
xỳc v
i
ng
trũn
(
)
C
t
i
A v
B sao cho gúc AMB b
ng
0
60
.
6) (
H B
-2003) Cho tam giỏc ABC vuụng t
i
A v AB= AC. Bi
t
(1; 1)M -
l trung
i
m
c
nh
BC v
2
;0
3
G
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
l tr
ng
tõm tam giỏc ABC. Tỡm to
cỏc
nh
A, B, C.
7) (
d b 2003
) Cho
ng
th
ng
: 7 10 0d x y- + =
. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn cú tõm
thu
c
ng
th
ng
: 2 0
x yD + =
v
ti
p
x
ỳc v
i
ng
th
ng
d
t
i
i
m
(4;2)
A
.
8) (
H D
-
2003) Cho
ng
th
ng
: 1 0d x y- - =
v
ng
tr
ũn
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 2 4C x y- + - =
.
Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn
(
)
/
C
i
x
ng
v
i
ng
trũn
(
)
C
qua
ng
th
ng
d
. T
ỡm to
giao
i
m
c
a
(
)
/
C
v
(
)
C
.
G
i ý:
(
)
(
)
2 2
1 2 4 (1;2) 2.
(1; 1).
1 2
(1;2) 3 0.
1 1
- + - = =
= -
- -
= + - =
-
x y I R
d n
x y
I d x y
Từ (C): suy ra (C) có tâm và bán kính
Đờng thẳng có vectơ pháp tuyến Do đó đờng thẳng đi qua
và vuông góc với có phơng trình:
Tọa độ
1 0 2
(2;1)
3 0 1
(1;2) .
2 3
(3;0)
2 0
- - = =
ỡ ỡ
ị
ớ ớ
+ - = =
ợ ợ
= - =
ỡ
ị
ớ
= - =
ợ
J H I
J H I
d
x y x
H
x y y
J I d
x x x
J
y y y
giao điểm H của và là nghiệm của hệ phơng trình:
Gọi là điểm đối xứng với qua Khi đó:
Vì (C') đối xứng v (3;0) 2.=d J Rới (C) qua nên (C') có tâm là và bán kính
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2
2
2
2
*
1 0
1 2 4
1
1, 0
3, 2
2 8 6 0
3 4
3 4
ỡ
- - =
ỡ
- + - =
= -
= =
ỡ
ộ
ù ù
ớ ớ ớ
ờ
= =
- + =
- + =
ở
- + = ù
ợ
ù
ợ
ợ
x y
x y
y x
x y
x y
x x
x y
x y
Tọa độ các giao điểm của (C) và (C') là nghiệm của hệ phơng trình:
Vậy tọa độ giao điểm của (C) và (C') là (1;0), (3;2).A B
9) (
H A
-2004) Cho hai
i
m
(0;2), ( 3; 1)A B - -
. Tỡm to
tr
c
tõm v to
tõm c
a
ng
tr
ũn ngo
i
ti
p
c
a
tam gi
ỏc OAB.
G
i ý:
( 3;3) 3 0.
(0;2) 1.
( 3;1)
+ =
= -
x y
y
+ Đờng thẳng qua O, vuông góc với BA có phơng trình 3
Đờng thẳng qua B, vuông góc với OA có phơng trình
Đờng thẳng qua A, vuông góc với BO có phơng trình
(
)
3 2 0
; 1).
1.
2 0.
+ - =
-
+ =
+ + =
x y
y
x y
Giải hệ hai (trong ba) phơng trình trên ta đợc trực tâm H( 3
Đờng trung trực cạnh OA có phơng trình
Đờng trung trực cạnh OB có phơng tr
ình 3
Đờng trung trực cạnh AB
(
)
0
;1).
+ =
-
x ycó phơng trình 3 3
Giải hệ hai (trong ba) phơng trình trên
ta đợc tâm đờng tròn ngoại tiếp
OAB là I( 3
10) (
H A
-
2005) Cho hai
ng
th
ng
1 2
: 0, : 2 1 0d x y d x y- = + - =
. T
ỡm to
c
ỏc
nh
c
a
hỡnh vuụng ABCD bi
t
r
ng
nh
A thu
c
1
d
,
nh
C thu
c
2
d
v cỏc
n
h B, D thu
c
tr
c
honh.
Gi ý:
(
)
; .
( ; ).
2 1 0 1. (1;1), (1; 1).
1
(1;0).
1
ẻ ị
ẻ -
ẻ - - = = -
= =
ỡ
ớ
= =
ợ
ẻ
A t t
C t t
t t t A C
IB IA
I
ID IA
B O
1
2
Vì A d
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B, D Ox nên
Vì C d nên Vậy
Trung điểm AC là Vì I là tâm của hình vuông nên:
Mặt khác:
1 1
( ;0) 0, 2
( ;0) 0, 2
1 1
(0;0) (2;0) (2;0) (0;0).
(1;1), (0;0), (1; 1), (2;0)
(1;
ỡ
- =
= =
ỡ ỡ ỡ
ù
ị
ớ ớ ớ ớ
ẻ = =
- =
ợ ợ ợ
ù
ợ
-
b
x B b b d
D Ox D d d d
d
B D B D
A B C D
A
Suy ra, và hoặc và
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là:
hoặc
1), (2;0), (1; 1), (0;0)-B C D
Chun
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền
11) (
ĐH B
-
2005) Cho hai
đ
i
ểm
(2;0), (6;4)
A B
. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn
(
)
C
ti
ếp
x
úc
v
ới
tr
ục
hồnh t
ại
A và kho
ảng
cách t
ừ
tâm c
ủa
(
)
C
đến
đ
i
ểm
B b
ằng
5.
Gợi ý:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2 2
( ; )
.
1
5 6 2 4 25 8 7 0
7
* 2, 1 : 2 1 1
* 2, 7
Þ =
=
é
= Û - + - = Û - + = Û
ê
=
ë
= = - + - =
= =
I a b
R
b
IB b b b
b
a b x y
a b
1
Gäi t©m cđa (C) lµ vµ b¸n kÝnh cđa (C)
lµ R.
Ta cã: (C) tiÕp xóc víi Ox t¹i A a=2 vµ b
Víi ta cã ®êng trßn C
Víi ta cã
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 7 49- + - =x y
1
®êng trßn C
12) (
Đề dự bị
2005) Cho
đường
tròn
(
)
2 2
: 12 4 36 0C x y x y+ - - + =
. Vi
ết
ph
ươ
ng trình
đường
tròn
(
)
1
C
ti
ếp
xúc hai tr
ục
to
ạ
độ
Ox, Oy
đồng
th
ời
ti
ếp
ngồi v
ới
(C).
Gợi ý:
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
12 4 36 0 6 2 4C x y x y x + - - + = Û - + - =
Vậy (C) có tâm
(
)
I 6,2
và R=2
Vì đường tròn
(
)
1
C
tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm
1
I
nằm trên 2 đường thẳng
y x
= ±
vàvì (C) có tâm
(
)
I 6,2
,R = 2
nên tâm
1
( ; )
I x x±
với x > 0.
TH 1: Tâm
1
I Ỵ
đường thẳng y = x
Þ
(
)
,I x x
, bán kính
1
R x=
(
)
1
C
tiếp xúc ngoài với (C)
Û
1 1
I I R R= +
(
)
(
)
2 2
6 2 2x x xÛ - + - = +
(
)
(
)
2 2
2 2
6 2 4 4 16 4 36 0x x x x x x xÛ - + - = + + Û - - + =
2
2
20 36 0
18
x
x x
x
=
é
Û - + = Û
ê
=
ë
.Ứng với
1 2
2 hay 18
R R= =
Có 2 đường tròn là:
(
)
(
)
2 2
2 2 4x y- + - =
;
(
)
(
)
2 2
18 18 18x y- + - =
TH 2: Tâm
1
I
Ỵ
đường thẳng
(
)
,
y x I x x= - Þ -
;
1
R x
=
Tương tự như trên, ta có x= 6
Có 1 đường tròn là
(
)
(
)
2 2
6 6 36x y- + + =
Kết luận:
Tóm lại ta có 3 đường tròn thỏa ycbt là:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
2 2 4; 18 18 18; 6 6 36x y x y x y- + - = - + - = - + + =
Chun
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền
13) (
Đ
ề dự bị 200
5
)
Cho hai
đường
tròn
(
)
(
)
2 2 2 2
1 2
: 9, : 2 2 23 0C x y C x y x y+ = + - - - =
. Vi
ết
ph
ươ
ng trình
tr
ục
đẳng
ph
ươ
ng
d
c
ủa
(
)
1
C
v
à
(
)
2
C
. Ch
ứng
minh r
ằng
n
ếu
K thu
ộc
d
thì kho
ảng
cách t
ừ
K
đến
t
âm c
ủa
(
)
1
C
nh
ỏ
h
ơ
n kho
ảng
c
ách t
ừ
K
đ
ến
t
âm c
ủa
(
)
2
C
.
Gợi ý:
Đường tròn
(
)
1
C
có tâm
(
)
O 0,0
bán kính
1
R 3=
Đường tròn
(
)
2
C
có tâm
(
)
I 1,1
, bán kính
2
R 5=
Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn
(
)
1
C
,
(
)
2
C
là
(
)
(
)
2 2 2 2
9 2 2 23 0x y x y x y+ - - + - - - =
7 0x + + =
(d)
Gọi
(
)
(
)
, 7
k k k k
K x y d y xỴ Û = - -
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 2 2 2 2
0 0 7 2 14 49
k k k k k k k k
OK x y x y x x x x
= - + - = + = + - - = + +
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
1 1 1 8 2 14 65
k k k k k k
IK x y x x x x= - + - = - + - - = + +
Ta xét
(
)
(
)
2 2 2 2
2 14 65 2 14 49 16 0
k k k k
IK OK x x x x
- = + + - + + = >
Vậy
2 2
(đpcm)IK OK IK OK> Û >
(
Đề dự bị 2005
)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy cho (C): x
2
+ y
2
4 6 12 0x y- - - =
. Tìm tọa
độ điểm M thuộc đường thẳng d :
2 3 0x y- + =
s
ao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán
kính c
ủa đường tròn (C).
Gợi ý:
Đường tròn (C) có tâm
(
)
I 2,3
, R=5
(
)
(
)
M M M M M M
M x ,y d 2x y 3 0 y 2x 3Ỵ Û - + = Û = +
(
)
(
)
2 2
M M
IM x 2 y 3 10= - + - =
(
)
(
)
(
)
2 2
2
M M M M
M M
M M
x 2 2x 3 3 10 5x 4x 96 0
x 4 y 5 M 4, 5
24 63 24 63
x y M ,
5 5 5 5
Û - + + - = Û - - =
= - Þ = - Þ - -
é
ê
Û
ỉ ư
ê
= Þ = Þ
ç ÷
ê
è ø
ë
(
Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phương
trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính
10=R
.
Gợi ý:
Gọi
(
)
I a,b
là tâm của đường tròn (C)
Pt (
C), tâm I, bán kính
R 10
=
là
(
)
(
)
2 2
x a y b 10- + - =
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
A C 0 a 5 b 10 a b 10b 15 0Ỵ Û - + - = Û + - + =
(1)
www.buiphan.net
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
(
)
(
)
(
)
ẻ - + - = + - - + =
2 2
2 2
B C 2 a 3 b 10 a b 4a 6b 3 0
(2)
(1) v ( 2)
ỡ
= - =
ỡ ỡ
+ - + =
ù
ớ ớ ớ
= =
- + =
ù
ợ ợ
ợ
2 2
a 1 a 3
a b 10b 15 0
hay
b 2 b 6
4a 4b 12 0
Vy ta cú 2 ng trũn tha ycbt l
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
x 1 y 2 10
x 3 y 6 10
+ + - =
- + - =
14) (
H D
-
2006) Cho
ng
t
rũn
(
)
2 2
: 2 2 1 0C x y x y+ - - + =
v
ng
th
ng
: 3 0d x y- + =
. Tỡm to
i
m
M trờn
d
sao cho
ng
trũn tõm M, cú bỏn kớnh g
p
ụ
i
bỏn kớnh
ng
trũn
(
)
C
, ti
p
xỳc ngoi v
i
ng
trũn
(
)
C
.
Gi ý:
(
)
(
)
2
2
1
(1;1) 1.
( ; 3).
1
2 1 2 9
2
(1;4), ( 2;1
I R
M d M x x
x
MI R R x x
x
M M
=
ẻ +
=
ộ
= + - + + =
ờ
= -
ở
-
Đờng tròn (C) có tâm và bán kính
Vì nên
Yêu cầu của bài toán tơng đơng với:
Vậy, có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ).
15) (
d b 2006
) Cho
ng
th
ng
: 1 2 0d x y- + - =
v
i
m
( 1;1)A -
. Vi
t
ph
ng
trỡnh
ng
trũn
(
)
C
i qua A, g
c
to
O v ti
p
xỳc v
i
ng
th
ng
d
.
Gi ý:
2 2
2 2
2
Vì (C) qua O nên phơng trình (C): 2 2 0
Mặt khác, do ( 1;1) (C): 2 2 2 0 1.
Lúc đó, phơng trình (C), viết lại: 2 2( 1
) 0
(C) có tâm ( ;1 ) và bán kính 2 2 1
Do (C) ti
+ + + =
- ẻ - + = = -
+ + + - =
ị - - = - +
x y ax by
A a b b a
x y ax a y
I a a R a a
(
)
2
2
2 2 2 2
1 2
ếp xúc với đờng thẳng : 1 2 0 nên ;
(1 ) 1 2
2
2 2 1 1.
2 2
0
2 2 0 .
1
Vậy có hai đờng tròn thỏa y.c.b.t là (C ) : 2 0, (C ) : 2 0,
- + - = =
- - - + -
- + = = =
=
ộ
- =
ờ
=
ở
+ - = + + =
d x y R d I d
a a
a a
a
a a
a
x y y x y x
16)
(
H B
-2006) Cho
ng
trũn
(
)
2 2
: 2 6 6 0
C x y x y+ - - + =
v
i
m
( 3;1)M -
. G
i
1 2
, T T
l cỏc ti
p
i
m
c
a
cỏc ti
p
tuy
n
k
t
M
n
(
)
C
. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
th
ng
1 2
TT
.
Gi ý:
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
(
)
0
2, 2 5
;
( ) ( )
. 0
R MI R
y
T C T C
MT IT MT IT
MT
= = >
ẻ ẻ
ỡ ỡ
ù ù
ị
ớ ớ
^ =
ù ù
ợ ợ
0
Đờng tròn (C) có tâm I(1;3) và bán kính
nên M nằm ngoài (C).
Nếu T x là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì:
Ta có:
( ) ( )
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
0 0
2 2
0 0 0 0
1 2
3; 1 , 1; 3 .
2 6 6 0
2 3 0
2 4 0
x y IT x y
x y x y
x y
x y x y
T T
= + - = - -
ỡ
+ - - + =
ù
ị + - =
ớ
+ + - =
ù
ợ
Do đó, ta có:
(1)
Vậy, tọa độ các tiếp điểm và của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) đều thỏa mãn đẳng
t
1 2
: 2 3 0.T T x y+ - =hức (1). Do đó, phơng trình đờng thẳng
17)
(
H A
-
2007) Cho tam giỏc ABC cú
(0;2), ( 2; 2)
A B - -
v
(4; 2)
C -
. G
i
H l
chõn
ng
cao k
t
B; M, N l
n
l
t
l trung
i
m
c
a
AB v BC. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn qua cỏc
i
m
H, M, N.
G
i ý:
Ta có Giả sử , ta có:
Giả sử phơng trình đờng tròn cần tìm l
à: (1)
Thay
2 2
( 1;0), (1; 2), (4; 4). ( ; )
4( 2) 4( 2) 0 1
(1;1)
4 4( 2) 0 1
2 2 0
M N AC H x y
x y x
BH AC
H
x y y
H AC
x y ax by c
- - = -
ỡ
+ - + = =
ỡ ỡ
^
ù
ị
ớ ớ ớ
+ - = =
ẻ
ù
ợ ợ
ợ
+ + + + =
tọa độ của M, N, H vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:
Vậy phơng trình đờng tròn cần tìm là:
2 2
1
2
2 1
1
2 4 5
2
2 2 2
2
2 0.
a
a c
a b c b
a b c
c
x y x y
ỡ
= -
ù
- =
ỡ
ù
ù ù
- + = - =
ớ ớ
ù ù
+ + = -
ợ
= -
ù
ù
ợ
+ - + - =
18) (
H D
-2007) Cho
ng
trũn
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 2 9C x y- + + =
v
ng
th
ng
:3 4 0d x y m- + =
. Tỡm
m
trờn
d
c
ú duy nh
t
m
t
i
m
P m t
P cú th
k
c
hai ti
p
tuyờn PA, PB (A, B l cỏc ti
p
i
m
) sao cho tam giỏc PAB
u
.
Gi ý:
(1; 2) 3 2 2 6
' 6.
R IP IA R
R
- = D = = =
=
(C) có tâm I và bán kính . Ta có PAB đều nên P thuộc
đờng tròn (C') tâm I bán kính
Nhn xột: im P l im chung ca (C) v
d.
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
(
)
19
; 6
41
m
d I d
m
=
ộ
=
ờ
= -
ở
Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với (C') tại P
19) (
d b 2007
)
Trong mt phng Oxy cho ng trũn (C)
:
2 2
1x y+ =
. ng trũn (C')
tõm I (2,2) ct (C) ti cỏc im A, B sao cho
AB 2=
. Vit phng trỡnh ng thng AB.
Gi ý:
Cỏch 1:
ng thng OI ni 2 tõm ca 2 ng trũn (C), (C') l ng phõn giỏc
y x=
. Do
ú, ng AB
^
ng
y x=
ị
h
s gúc ca ng thng AB bng
1
-
.
Vỡ AB
2=
ị
A, B phi l giao im ca (C) vi O
x, Oy.
Suy ra
A(0,1); B(1,0)
A'( 1,0); B'(0, 1)
ộ
ờ
- -
ở
Suy ra phng trỡnh AB
:
1y x= - +
hoc
1y x= - -
.
Cỏch 2:
Phng tr
ỡnh AB cú dng:
y x m
= - +
Pt honh giao im ca AB l
:
2 2 2 2
1 2 2 1 0 (2)( )x x m x mx m+ - + = - + - =
(2) cú
/ 2
2
mD = -
, g
i
1 2
,
x x
l nghim ca (2) ta cú :
2 2 2
1 2 1 2
2 2( ) 2 ( ) 1AB x x x x= - = - =
/
2
2
1
4
1 2 1
1
m
m
m
a
=
ộ
D
= - =
ờ
= -
ở
Vy phng trỡnh AB :
1y x= - +
hoc
1y x= - -
.
Cỏch
3:
Phng tr
ỡnh AB cú dng:
y x m= - +
G
i H l trung im AB. Suy ra:
(
)
2
2 2 2
d ;
4
AB
OI O AB R AH R
= = - = -
T ú gii phng trỡnh
(
)
d ;
OI O AB=
.
20) (
d b 2007
)
Cho
ng trũn (C):
2 2
8 6 21 0x y x y+ - + + =
v
ng thng d:
01y
x
=-+
. Xỏc nh ta cỏc nh hỡnh vuụng ABCD ngoi tip (C) bit A
ẻ d.
Gi ý:
ng trũn (C) cú tõm I(4,
3), bỏn kớnh R = 2
Ta ca I(4,
3) tha phng trỡnh (d):
01yx
=-+
.
Vy I
ẻ d
Vy AI l mt ng chộo ca hỡnh vuụng ngoi tip ng trũn, cú bỏn kớnh
R = 2 , x = 2
v
6x =
l 2 tip tuyn ca (C
) nờn
-
Hoc l A l giao im cỏc ng (d) v
2x =
ị A(2, 1)
-
Hoc l A l giao im cỏc ng (d) v
6
x =
ị
A(6, 5)
- Khi A(2, 1) ị B(2, 5); C(6, 5); D(6, 1)
- Khi A(6, 5) ị B(6, 1); C(2, 1); D(2, 5)
R
H
O
B
A
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
21) (
d b 2007
)
Cho ng trũn (C):
2 2
2 4 2 0x y x y+ - + + =
. Vit phng trỡnh ng
trũn (C'
) tõm M(5, 1) bit (C') ct (C) ti cỏc im A, B sao cho
3AB
=
.
G
i ý:
Phng tr
ỡnh ng trũn (C):
2 2
2 4 2 0x y x y+ - + + =
cú tõm I(1, 2)
3R
=
ng trũn (C') tõm M ct ng trũn (C) ti A, B nờn AB
^
IM t
i trung im H ca on
AB. Ta cú
2
3
2
AB
BH
AH
===
.
Cú 2 v trớ cho AB i xng qua tõm I.
Gi A'B' l v trớ th 2 ca AB
.
G
i H' l trung im ca A'B'
Ta cú:
2
2 2
3 3
' 3
2 2
IH IH IA AH
ổ ử
= = - = - =
ỗ ữ
ố ứ
Ta cú:
(
)
(
)
2 2
5 1 1 2 5MI = - + + =
v
2
7
2
3
5
HI
MI
MH
=-=-=
3 13
' ' 5
2 2
MH MI H I= + = + =
Ta cú:
2 2 2 2
1
3 49 52
13
4 4 4
R MA AH MH= = + = + = =
43
4
172
4
169
4
3
'
MH
'
H
'
A
'
MA
R
2222
2
=
=
+=+==
V
y cú 2 ng trũn (C') tha ycbt l:
(
)
(
)
2 2
5 1 13
x y- + - =
hay
(
)
(
)
2 2
5 1 43
x y- + - =
.
22) (
H
A
-2009)
Trong m
t phng Oxy cho ng trũn
(
)
2 2
: 4 4 6 0C x y x y+ + + + =
v
ng thng
: 2 3 0x my m+ - + =
. Gi I l tõm ng trũn (C), tỡm
m
c
t (C) ti hai
i
m phõn bit A, B sao cho
IAB
cú din tớch ln nht.
Gi ý:
ng trũn
(
)
C
cú
(
)
2; 2
2
I
R
ỡ
- -
ù
ớ
=
ù
ợ
Tâm
Bán kính
.
* Ta cú:
(
)
2 3 0 2 3+ - + = = - - +x my m x my m
thay vo phng trỡnh
(
)
C
, ta c:
(
)
(
)
2
2
2 3 4 2 3 4 6 0 (*)
- + + - - + + + =my m y my m y
v ch
rừ lỳc ú, phng trỡnh
(*)
cú 2 nghim phõn bit.
Hai giao im
(
)
2 3;- + -
A A
A my m y
v
(
)
2 3;- + -
B B
B my m y
, vi
A
y
,
B
y
l nghim ca
phng trỡnh (*).
* ý rng,
2
1 1
. .sin sin 2sin
2 2
IAB
S IA IB AIB R AIB AIB= = =
Lp lun
(
)
0
2sin sin 1 90
IAB
S AIB AIB AIB IA IB = = ^ max max
(**)
Ta cú:
(
)
(
)
2 1; 2 , 2 1; 2
A A B B
IA my m y IB my m y= - + - + = - + - +
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
Từ (**) suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
. 0 2 1 2 1 2 . 2 0
A B A B
IA IB my m my m y y= Û - + - - + - + + + =
Sử dụng định lí Vi
-
et đ
ối với phương trình (*), suy ra kết quả.
23) (
ĐH
B-2009
) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
(
)
(
)
2
2
4
: 2
5
C x y
- + =
và hai
đường thẳng
1 2
Δ : 0, Δ : 7 0 x y x y- = - =
. Xác định tâm K và bán kính của đường tròn
(
)
1
C
,
biết đường tròn
(
)
1
C
tiếp xúc với
1 2
Δ , Δ
và tâm K thuộc đường tròn (C).
Gợi ý:
G
ọi tâm của
(
)
1
C
là
(
)
(
)
2
2
4
( ; ) 2
5
K a b C a bÎ Û - + = (1)
Theo giả thiết, đường tròn
(
)
1
C
tiếp xúc với
1 2
Δ , Δ
(
)
(
)
(
)
1 2 1
; ;
d K d K RÛ D = D =
1
5 5 7
7
5 7
2
5 5 7
2 50
2
a b a b
a b a b
a b
a b a b
a b b a
a b
é
- = -
- -
= -
é
ê
Û = Û - = - Û Û
ê
ê
- = -
ë
=
ë
Thay vào (1), giải ra kết quả.
24) (
ĐH
D-2009
) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
(
)
(
)
2
2
: 1 1C x y- + =
. Gọi I là
tâm của (C). Xác định điểm M thuộc (C) sao cho
0
30IMO =
.
G
ợi ý:
Cách 1:
G
ọi
(
)
(
)
(
)
2
2
; : 1 1M x y C x yÎ - + = (1)
Xét tam giác
IAB
:
2 2 2 2 2
2 . . 1 1 2
OM IM OI IM OI MIO x y= + - Û + = + -
0
cos cos120
2 2
3x yÛ + = (2)
Giải hệ (1) và (2), đưa ra kết quả bài toán.
Cách
2:
Đ
ể ý rằng, với các giả thiết đã cho của bài toán, thấy được
0
30MOI =
.
Lúc đó, đi
ểm
M
là giao điểm của 2 đường thẳng
1
D
,
2
D
qua O và có các hệ số góc tương ứng
0
1
1
tan30
3
k = =
và
0
1
1
tan150
3
k = = -
.
Ta có
1
D
:
1
3
y x=
và
1
D
:
1
3
y x= -
Kết hợp với giả thiết
(
)
(
)
(
)
2
2
; : 1 1
M x y C x yÎ - + = (1)
, giải hệ và đưa ra kết quả.
25) (
ĐH
A
-2010)
Trong m
ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
1
: 3 0d x y+ =
và
2
: 3 0d x y- =
. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với
1
d
tại A, cắt
2
d
tại hai điểm B, C sao cho
tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T) biết tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
Gợi ý:
Để ý rằng:
1 3
.
2 2
ABC
S AB BC= =
(*)
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Do
(
)
1
: 3 0 ; 3ẻ + = ị -A d x y A a a
. M
t khỏc, (T) ct
2
d
ti hai im B, C nờn gi
(
)
(
)
; 3 , ; 3
B b b C c c
.
Ta cú:
(
)
; 3 3AC c a c a= - +
v
1
d
cú 1 vect ch phng
(
)
1
1; 3
d
a
= -
.
Do
ABC
D
vuụng ti B nờn tõm I ca
(T) l
trung im AC.
V (T) l ng trũn tip xỳc vi
1
d
ti A nờn suy ra:
(
)
(
)
1
. 0 3 3 3 0 2
d
AC a c a c a c a
= - - + = = -
.
Lỳc ú:
(
)
2 ; 2 3C a a- -
.
T
(*) gii ra c ta A, chn honh dng.
XEM LI T!!!!
26) (
H
B
-2010
) Trong m
t phng ta Oxy, cho im
(
)
2; 3A
v elip
(
)
2 2
: 1
3 2
x y
E
+ =
.
Gi
1 2
,
F F
l cỏc tiờu im ca (E) (
1
F
cú honh õm); M l giao im cú tung dng
ca ng thng
1
AF
vi (E), N l im i xng ca
2
F
qua M. Vit phng trỡnh ng
trũn ngoi tip tam giỏc
2
ANF
.
Gi ý:
Nhận thấy và Đờng thẳng có phơng trình:
là giao điểm có tung độ dơng của với (E), suy ra:
Do N là điểm đối xứng của qua M nên
1 2 1
1
2
2 2
1
( 1;0) (1;0).
3
3
2 3 2 3
1;
3 3
,
x y
F F AF
M AF
M MA MF
F MF MN
+
- =
ổ ử
ị = =
ỗ ữ
ố ứ
=
( )
suy ra:
Phơng trình (T):
2
2
2
.
2 3 4
1
3 3
MA MF MN
x y
= =
ổ ử
- + - =
ỗ ữ
ố ứ
27) (
H
D-2010
) Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh
(3; 7)A -
, trc tõm
(3; 1)
H -
, tõm ng trũn ngoi tip
( 2;0)I -
. Xỏc nh ta nh C bit nh C cú honh
dng.
Gi
ý:
L
y im A i xng vi im A qua I. Gi
(
)
/
; : . 0
C x y AC A C =
(1)
.
ý rng, BHCA l hỡnh bỡnh hnh nờn
IA IC=
(2)
T (1) v (2) suy ra, kt lun bi toỏn.
28) (
HDLHV
) Cho
i
m
(
)
8; 1
A -
v
ng
trũn
(
)
2 2
: 6 4 4 0C x y x y+ - - + =
a. Vi
t
c
ỏc ph
ng tr
ỡnh cỏc ti
p
tuy
n
c
a
(
)
C
k
t
A.
b. G
i
M, N l
cỏc ti
p
i
m
. T
ớnh
d
i MN.
29
) (
CMGTW3
-2004) Cho
ng
trũn
(
)
2 2
: 2 4 0
C x y x y+ + - =
v
ng
th
ng
: 1 0d x y- + =
a. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
th
ng
vuụng gúc v
i
d
v
ti
p
xỳc
(
)
C
.
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
b. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình
đ
u
ờng
th
ẳng
song song v
ới
d
và c
ắt
đư
ờng
tr
òn t
ại
hai
đ
i
ểm
M, N
sao cho
độ
dài MN b
ằng
2.
c. Tìm to
ạ
đ
ộ
đ
i
ểm
T tr
ên
d
sao cho qua T k
ẻ
đư
ợc
hai
đư
ờng
th
ẳng
ti
ếp
x
úc v
ới
(
)
C
t
ại
hai
đ
i
ểm
A, Bvà góc ATB b
ằng
0
60
.
30) (
CĐCNHN 2004
)
Cho tam giác ABC, hai c
ạnh
AB, AC theo th
ứ
t
ự
c
ó ph
ươ
ng tr
ình
2 0x y+ - =
v
à
2 6 3 0
x y+ + =
, c
ạnh
BC c
ó trung
đ
i
ểm
( 1;1)
M -
. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờng
tròn ngo
ại
ti
ếp
tam giác ABC.
31) (
CĐCNHN 2005
) Cho tam gi
ác ABC, bi
ết
ph
ươ
ng tr
ình các c
ạnh
AB, BC,
CA l
ần
l
ư
ợt
l
à
2 5 0, 2 2 0, 2 9 0x y x y x y+ - = + + = - + =
. Tìm to
ạ
độ
tâm
đường
tròn n
ội
ti
ếp
tam giác
ABC.
32
)(
CĐSPQB 2005
) Vi
ết phươ
ng trình
đường
tròn
(
)
C
qua 3
đ
i
ểm
(2;3), (4;5), (4;1)A B C
Ch
ứng
t
ỏ
đ
i
ểm
(5;2)K
thu
ộc
mi
ền
trong c
ủa
(
)
C
. Vi
ết
ph
ươ
ng trình
đường
th
ẳng
d
qua
đ
i
ểm
K sao cho
d
c
ắt
(
)
C
theo dây cung AB nh
ận
K làm trung
đ
i
ểm
.
33) Cho
đường
tròn
(
)
2 2
: 2 8 8 0C x y x y+ - - - =
a. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa
(
)
C
đ
i qua
đ
i
ểm
(4;0)M
.
b. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa
(
)
C
đ
i qua
đ
i
ểm
(4;6)
N
.
34) Cho
đường
tròn
(
)
(
)
(
)
2 2
: 2 4 9
C x y- + - =
và
đ
i
ểm
(3;4)M
a. Vi
ết
ph
ươ
ng trình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa
(
)
C
đ
i qua
đ
i
ểm
M
.
b. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa
(
)
C
, bi
ết
ti
ếp
tuy
ến
đó
h
ợp
v
ới
chi
ều
d
ư
ơ
ng c
ủa
tr
ục
Ox m
ột
g
óc
0
45
.
35
) (
ĐHGTVT
) Cho
đường
tròn
(
)
2 2
: 2 4 4 0C x y x y+ - - - =
và
đ
i
ểm
(2;2)A
. Vi
ết
ph
ươ
ng
trình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa
(
)
C
đ
i qua
đ
i
ểm
A
. Gi
ả
s
ử
hai ti
ếp
đ
i
ểm
là MN, tính
AMN
S
.
Gợi ý:
Cách
1:
Vi
ết phương trình tiếp tuyến
1 2
,D D
của (C) qua A như trên.
Xác đ
ịnh tọa độ M, N tương ứng là các tiếp điểm của
1 2
,D D
và (C).
Tính
AMN
S
.
Cách 2: Dùng
công th
ức phân đôi tọa độ, suy ra phương trình MN là:
4 0+ =x
.
Xét
(
)
2
2
: ;IMH MH IM d I MN
é ù
D = -
ë û
(
)
2
2
2
;R d I MN MN MH
é ù
= - Þ =
ë û
Từ đó suy ra:
(
)
1
; .
2
=
AMN
S d A MN MN
Cách
3:
Dùng công th
ức
2
1
. .sin sin
2 2
AMN
R
S MA NA MAN MAN
D
= =
Với
2MAN MAI=
. Tính
MAI
:
sin
IM
MAI
IA
=
36) Cho hai
đường
tròn
(
)
2 2
1
: 4 8 11 0C x y x y+ - - + =
và
(
)
2 2
2
: 2 2 2 0C x y x y+ - - - =
DDDD
2
DDDD
1
I
A
N
M
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
a. Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đối
c
ủa
hai
đường
tròn
b. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình ti
ếp
tuy
ến
chung c
ủa
hai
đư
ờng
tr
òn.
37) (
Đề thi đề xuất 2010
) Cho
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 3 9
C x y- + + =
và đường thẳng
: 1 0d x y- + =
.
Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên
d
sao cho O
là trung điểm MN. Tìm M, N.
Gợi ý:
Gọi
( ; 1)N t t d+ Î
. Do M, N đối xứng nhau qua O nên
( ; 1)M t t- - -
.
Mặt khác,
(
)
(
)
2 2
2
1
( ) 1 1 3 9 2 0
2
t
M C t t t t
t
= -
é
Î Û - - + - - + = Û - - = Û
ê
=
ë
Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán
(1;0), ( 1;0) M N -
và
( 2; 3), (2;3) M N- -
38) (
Đề thi đề xuất 2010
) Cho
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 1 1
C x y+ + - =
và đường thẳng
: 1 0d x y- - =
.
Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên
d
sao cho M, N đối xứng nhau qua Ox. Tìm M, N.
Gợi ý:
G
ọi
( ; 1)N t t d- Î
. Do M, N đối xứng nhau qua Ox nên
( ; 1)M t t- +
.
Mặt khác,
(
)
(
)
2 2
2
1
( ) 1 1 1 1 0
0
t
M C t t t t
t
= -
é
Î Û + + - + - = Û + = Û
ê
=
ë
Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán
( 1;2), ( 1; 2)
M N- - -
và
(0;1), (0; 1)
M N -
39) (
Toán
học Tuổi trẻ 2010
) Cho tam giác ABC có
(1;0)
A
, hai đường thẳng tương ứng chứa
đư
ờng cao kẻ từ B, C của tam giác thứ tự có phương trình:
2 1 0x y- + =
và
3 1 0
x y+ - =
.
Viết phương trình đường tròn ngoại tiế
p tam giác ABC.
Gợi ý:
Phương trình
: 3 1 ( 5; 2)
AB x y B- = Þ - -
.
Phương trình
: 2 ( 1;4) 2AC x y C+ = Þ -
.
Sử dụng kỹ năng gọi đường tròn đi qua 3 điểm
(1;0)
A
,
( 5; 2)B - -
và
( 1;4)C -
ta tìm
được
phươ
ng trình
(
)
2 2
36 10 43
: 0
7 7 7
C x y x y+ + - - =
.
40) (
Toán h
ọc Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn
(
)
2 2
3
:
2
C x y+ =
và parabol
2
( ) :P y x=
. Tìm
trên (P) đi
ểm M sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C) và hai tiếp
tuyến này tạo với nhau một góc 60
0
.
Gợi ý:
Cách
1:
G
ọi
(
)
2
0 0
; ( )
M x x PÎ
và A, B là hai tiếp điểm. Dễ thấy yêu cầu bài toán khi và chỉ khi
0
60 2 6.AMB OM OA= Û = =
Từ đó ta tìm được
{ }
0
2; 2
x Î -
.
V
ậy có hai điểm thỏa y.c.b.t là
(
)
(
)
1 2
2; 2 , 2; 2
M M -
.
Cách 2:
Tương tự cũng tính được
0
60 2 6.AMB OM OA= Û = =
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY
Luy
ện thi ĐẠI HỌC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
Suy ra
(
)
(
)
/
; 6
M C OÎ º
v
ậy điểm M là giao điểm của hai đường:
(
)
/ 2 2
: 6C x y+ =
và
2
( ) :P y x=
….
41) (
Toán h
ọc Tuổi trẻ 2010) Cho đường trò
n
(
)
2 2
: 6 4 8 0
C x y x y+ - - + =
và đường thẳng
: 2 6 0d x y- + =
. Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d
có giá tr
ị nhỏ nhất.
Gợi ý:
Đường tròn (C) có tâm
(3;2)I
, bán kính
5R =
. Hai tiếp tuyến của (C) song song với
d là
1
Δ : 2 1 0 x y- + =
và
2
Δ : 2 9 0 x y- - =
.
Xác đ
ịnh các tiếp điểm
1 2
, M M
tương ứng
1
Δ
và
2
Δ
với (C). So sánh
(
)
1
;
d M d
và
(
)
2
;d M d
.
Đáp số:
(
)
1
1;3M
www.buiphan.net
