Đề tuyển sinh vào 10 môn toán có đáp án số 47

ĐỀ 47
Bài 1. (1,5 điểm)
Không dùng máy tính, hãy rút gọn, tính giá trị của các biểu thức sau:
1) A =
14 7 15 5 1
:
2 1 3 1 7 5
 
− −
+
 ÷
 ÷
− − −
 
2) B =
2
1
x x x
x x x
−
−
− −

( )
0; 1x x≥ ≠
Bài 2. (1,5 điểm)
1) Cho hai đường thẳng d
1
: y = (m+1)x + 5 ; d
2
: y = 2x + n. Với giá trị nào của

m, n
thì d
1
trùng với d
2
?
2) Trên cùng mặt phẳng tọa độ, cho hai đồ thị (P): y =
2
3
x
; d: y = 6 – x. Tìm tọa
độ
giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán.
Bài 3. (2 điểm)
Cho phương trình: x
2
+ 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0 (m là tham số)
1) Tìm m để phương trình có nghiệm kép? Hãy tính nghiệm kép đó.
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
– x
2
= 2
Bài 4. (1,5 điểm)

Giải các phương trình sau:
1)
1 3
2
2 6x x
+ =
− −
2) x
4
+ 3x
2
– 4 = 0
Bài 5. (3,5điểm).
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau ( CA <
CB).
Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H; EH cắt
CA ở
F. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác CDFE nội tiếp được trong mốt đường tròn.
2) Ba điểm B , D , F thẳng hàng.
3) HC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

BÀI GIẢI
Bài 1: (1,5 điểm) Không dùng máy tính, hãy rút gọn, tính giá trị của các biểu thức sau:
1) A =
14 7 15 5 1
:
2 1 3 1 7 5
 
− −

+
 ÷
 ÷
− − −
 
=
( ) ( )
7 2 1 5 3 1
1
:
2 1 3 1 7 5
 
− −
 
+
 
− − −
 
=
( ) ( )
7 5 . 7 5+ −
=
( ) ( )
2 2
7 5−
= 7 – 5 = 2
2) B =
2
1
x x x

x x x
−
−
− −
=
( )
( )
2 1
1
1
x x
x
x
x x
−
−
−
−
=
( )
2 1
1
x x
x
− −
−

=
2 1
1

x x
x
− +
−
=
( )
2
1
1
x
x
−
−
=
1x −

( )
0; 1x x≥ ≠
Bài 2. (1,5 điểm)
1) d
1

≡
d
2

1 2
5
m
n

+ =

⇔

=


1, 5m n⇔ = =
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là:

2
6
3
x
x= −

2
3 18 0x x⇔ + − =

∆
= b
2
– 4ac = 3
2
– 4 . 1. (– 18) = 81
9⇒ ∆ =
1
3 9
3
2 2

b
x
a
− + ∆ − +
= = =
,
2
3 9
6
2 2
b
x
a
− − ∆ − −
= = = −
Suy ra: y
1
= 3 ; y
2
= 12
Vậy d cắt (P) tại hai điểm: (3; 3) và (– 6; 12)
Bài 3. (2điểm)
PT: x
2
+ 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0 (1)
1) Phương trình (1) có nghiệm kép
'
0⇔ ∆ =

( )
( )
2
2
3 3 0m m⇔ + − + =

6 6 0m
⇔ + =

1m
⇔ = −
Vậy với m = – 1 phương trình (1) có nghiệm kép .
Nghiệm kép của PT (1) :
( )
( )
'
1 2
3
1 3 2
1
m
b
x x
a
− +
= = − = = − − + = −

2) Phương trình (1) có hai nghiệm x
1

; x
2

'
0⇔ ∆ ≥

6 6 0m
⇔ + ≥

1m
⇔ ≥ −
Theo hệ thức Vi-ét ta có: S= x
1
+ x
2
= – 2(m + 3) ; P = x
1
. x
2
= m
2
+ 3
Từ x
1
– x
2
= 2 suy ra: ( x
1
– x
2

)
2
= 4
⇔
( x
1
+ x
2
)
2
– 4x
1
x
2
= 4 (*)
Thay S và P vào (*) ta được:
( )
( )
2
2
2 3 4 3 4m m− + − + = 
 

( )
2 2
4 6 9 4 12 4m m m⇔ + + − − =

24 24 4m
⇔ + =

5
6
m⇔ = −
( thoả mãn điều kiện
1m ≥ −
)
E
H
F
O
D
C
B
A
Vậy x
1
– x
2
= 2
5
6
m⇔ = −

Bài 4. (1,5 điểm) Giải các phương trình:
1)
1 3
2
2 6x x
+ =
− −

(1) ĐK: x ≠ 2 ; x ≠ 6
(1)
( ) ( ) ( )
6 3 2 2 2 6x x x x⇔ − + − = − −

2
6 3 6 12 24 2 4x x x x x⇔ − + − = − − +

⇔
2x
2
– 14x + 24 = 0

2
' '
b ac∆ = −
= 49 – 48 = 1
x
1
=
' '
7 1
4
2
b
a
− + ∆ +
= =
( TMĐK), x
2

=
' '
7 1
3
2
b
a
− − ∆ −
= =
( TMĐK),
Tập nghiệm của phương trình:
{ }
3;4S =
2) x
4
+ 3x
2
– 4 = 0
Đặt t = x
2
( t
≥
0) , ta có phương trình ẩn t: t
2
+ 3t – 4 = 0
Vì a + b + c = 1 + 3 + (– 4 ) = 0 nên t
1
= 1 (nhận) , t
2
= – 4 < 0 (loại)

Vậy x
2
= 1
⇔
x
1
= 1; x
2
= – 1.
Tập nghiệm của phương trình:
{ }
1;1S = −
Bài 5. (3,5 điểm)
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp:
CD // FE (cùng vuông góc AB)
·
·
EFC FCD⇒ =
(so le trong)
AB
⊥
CD nên AB đi qua trung điểm dây CD (tính chất
đường kính vuông góc với dây cung) nên C và D đối xứng
nhau qua AB. Do đó
·
·
ACD ADC=
Suy ra:
·
·

EFC EDC=
.
Tứ giác CDFE có hai đỉnh F, D liên tiếp nhìn CE dưới một góc bằng nhau nên
nội
tiếp được trong một đường tròn.
2) Chứng minh ba điểm B , D , F thẳng hàng.
Ta có:
·
0
ACB 90=
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·
0
90ECF⇒ =
(kề bù với
·
ACB
)
Tứ giác CDFE nội tiếp nên
·
·
0
90ECF EDF= =
. Mà
·
0
90ADB =
nên
·
·

0
180EDF EDB+ =
Vậy ba điểm B , D , F thẳng hàng.
3) Chứng minh HC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Ta có
·
·
0 0
90 90 180EHA ECA+ = + =
nên tứ giác AHEC nội tiếp
Suy ra:
·
·
HCA HEA=
(cùng chắn cung AH)
Mà
·
·
HEA ADC=
(so le trong của EH // CD) và
·
·
ADC ABC=
(cùng chắn cung
AC).
Do đó:
·
·
HCA ABC=
=

1
2
sđ
»
AC
. Vậy HC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Lưu ý: Rất nhiều HS sai lầm ở câu 1:
·
·
0
90= =ECF EDF
và kết luận tứ giác CDFE nội
tiếp.
Câu 3 có thể chứng minh
·
·
0
90HCA ACO+ =
rồi suy ra HC là tiếp tuyến.