Đề tuyển sinh vào 10 môn toán có đáp án số 73

ĐỀ 73
Bài 1 (1,5 điểm)
a) So sánh hai số:
3 5
và
4 3
b) Rút gọn biểu thức:
3 5 3 5
3 5 3 5
A
+ −
= −
− +
Bài 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình:
2 5 1
2 2
x y m
x y
+ = −


− =

( m là tham số)
a) Giải hệ phương trình với
1m
=
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
( )
;x y
thỏa mãn:

2 2
2 1x y
− =
.
Bài 3 (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận
tốc thêm 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của
xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R), dây cung BC cố định (BC < 2R) và điểm A di động
trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao BD và CE của tam
giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Giả sử
·
0
BAC 60
=
, hãy tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC theo R.
c) Chứng minh đường thẳng kẻ qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố
định.
d) Phân giác góc
·
ABD
cắt CE tại M, cắt AC tại P. Phân giác góc
·
ACE
cắt BD tại N, cắt
AB tại Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
Bài 5 (1,0 điểm). Cho biểu thức:
( ) ( )

2 2
2 6 12 24 3 18 36P xy x y x x y y
= − + + − + + +
. Chứng minh
P luôn dương với mọi giá trị
;x y
∈
¡
.
1
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Bài Đáp án Điểm
1
(1,5
điểm)
a) 0,75 điểm
+
3 5 45=

4 3 48
=
+
45 48 3 5 4 3
< → <
0,25
0,25
0,25
b) 0,75 điểm
( ) ( )
( ) ( )

2 2
3 5 3 5
3 5 3 5
A
+ − −
=
− +

( )
(9 6 5 5) 9 6 5 5
9 5
+ + − − +
=
−

12 5
3 5
4
= =
0,25
0,25
0,25
2
(2,0
điểm)
a) 1,0 điểm
Với m
=
1 ta có hệ phương trình:
2 4

2 2
x y
x y
+ =


− =


4 2 8
2 2
+ =

⇔

− =

x y
x y
5 10
2 2
=

⇔

− =

x
x y
2

0
=

⇔

=

x
y
0,25
0,25
0,25
0,25
b) 1,0 điểm
Giải hệ:
2 5 1 4 2 10 2
2 2 2 2
x y m x y m
x y x y
+ = − + = −
 
⇔
 
− = − =
 

5 10 2
2 2 1
x m x m
x y y m

= =
 
⇔ ⇔
 
− = = −
 
Có:
2 2
2 1x y
− =
⇔

( ) ( )
2 2
2 2 1 1m m
− − =

⇔

2
2 4 3 0m m
+ − =
Tìm được:
2 10
2
m
− −
=
và
2 10

2
m
− +
=
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2,0
điểm)
2,0 điểm
Gọi vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là x (km/h, x > 0)
Thời gian để đi từ A đến B là
24
x
(h)
Vận tốc của xe đạp đi từ B đến A là (x+4) (km/h)
0,25
0,25
0,25
2
Thời gian để đi từ B về đến A là
24
4x
+
(h)
Theo bài ra ta có phương trình:
24 24 1
x x 4 2

− =
+

⇔
2
4 192 0 (*)x x
+ − =
Giải phương trình
( )
*
được
( )
12x tm
=
và
16x
= −
(loại)
Vậy vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12 km/h .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3,5
điểm)
Vẽ hình đúng, đủ làm câu a) 0,25
a) 0,75 điểm
BD

⊥
AC (gt)
⇒

·
ADB
=
0
90

CE
⊥
AB (gt)
⇒

·
AEC
=
0
90
Tứ giác ADHE có
µ
µ
0
D + E 180
=
nên là tứ
giác nội tiếp.
0,25
0,25

0,25
b) 1,0 điểm
Kẻ OI
⊥
BC (
I BC
∈
), nối O với B, O với C
Có
·
BAC
=
0
60
⇒
·
BOC
=
0
120
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một
cung)
OBC
∆
cân tại O
⇒
·
0
OCI 30
=

Suy ra OI
R
2
=
0,5
0,25
0,25
c) 1,0 điểm
Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc với DE.
Qua A kẻ tiếp tuyến sAt với đường tròn (O;R)
⇒
AO
⊥

sAt
BEDC
◊
nội tiếp (E, D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông)

·
·
ACB =AED
⇒

(cùng bù với
·
BED
)
Mặt khác

·
·
BAs ACB
=

»
1
sdAB
2
 
=
 ÷
 
⇒
· ·
BAs AED
=

sAt // DE
⇒
(hai góc ở vị trí so le trong)
d sAt⇒ ⊥
Có
d sAt⊥
,
OA sAt
⊥

d OA⇒ ≡
(tiên đề Ơclit)

⇒
Đường thẳng (d) luôn đi qua điểm O cố định.
0,25
0,25
0,25
0,25
d) 0,5 điểm
3
Có
·
·
ABD ACE=
(cùng phụ với góc
·
BAC
).
·
·
·
1
ABP ECQ ABD
2
 
⇒ = =
 ÷
 
QEC
∆
vuông tại E
·

·
0
ECQ EQC 90⇒ + =
CQ BP
⇒ ⊥
Mà BP, CQ là các phân giác nên MP, NQ cắt
nhau tại trung điểm mỗi đường .
Vậy có MNPQ là hình thoi.
0,25
0,25
5
(1,0
điểm)
1,0 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
P x 2x y 6y 12 x 2x 3 y 6y 12= − + + − + + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
x 2x y 6y 12 3 y 6y 12= − + + + + +

( ) ( )
2 2
y 6y 12 x 2x 3
= + + − +

( ) ( )
2 2
y 3 3 x 1 2 0 x, y

  
= + + − + > ∀ ∈
  
¡
Vậy P luôn dương với mọi giá trị x, y
∈
¡
.
0,25
0,25
0,25
0,25
4