Đề tuyển sinh vào 10 môn toán có đáp án số 71

ĐỀ 71
Bài 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
3 1 x 9
A .
x 3 x x 3 x
−
 
= +
 ÷
− +
 
với x > 0, x
≠
9
2. Chứng minh rằng:
1 1
5. 10
5 2 5 2
 
+ =
 ÷
− +
 
Bài 2. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (k - 1)x + n và 2 điểm
A(0; 2) và B(-1; 0)
1. Tìm giá trị của k và n để :
a) Đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B.
b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (
∆

) : y = x + 2 – k
2. Cho n = 2. Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam
giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Bài 3. ( 2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x
2
– 2mx +m – 7 = 0 (1) với m là tham số
1. Giải phương trình với m = -1
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn hệ thức
1 2
1 1
16
x x
+ =
Bài 4 . ( 3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H ( H nằm
giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt
đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau tại E.
1. Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp và
∆
CAE đồng dạng với
∆
CHK
2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh
∆

NFK cân.
3. Giả sử KE = KC. Chứng minh : OK // MN và KM
2
+ KN
2
= 4R
2
.
Bài 5 . ( 0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
3
a 1 b 1 c 1
4
− + − + − ≥ −
1
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Bài 1. (2,0 điểm)
Câu Nội dung Điểm
1
x
x
xxx
A
9
.
3
1
3

3 −








+
+
−
=
3 1 9
.
( 3) 3
x
x x x x
 
−
+
 ÷
− +
 
x
xx
xxx
xxx
A
)3)(3(

.
)3)(3(
393 +−
+−
−++
=
xxxx
xxx
A
)3)(3(
)3)(3).(9(
+−
+−+
=
x
x
A
9+
=
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Biến đổi vế trái:
)
25
1
25
1
(5

+
+
−
=VT

)25)(25(
2525
5
+−
−++
=
=
10
45
52
5 =
−
0,5
0,5
Bµi 2. (2,0 ®iÓm)
C©u Néi dung §iÓm
1a §êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(0; 2)
⇔
n = 2 0,25
Đường thẳng (d) đi qua điểm B (-1; 0)
⇔
0 = (k -1) (-1) + n

⇔
0 = - k + 1 +2

⇔
k = 3
Vậy với k = 3; n = 2 thì (d) đi qua hai diểm A và B
0,25
0,25
1b Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (
∆
) : y = x + 2 – k
⇔




≠−
=−
nk
k
2
11
⇔




≠
=
0
2
n

k
Vậy với



≠
=
0
2
n
k
thì Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (
∆
)
0,25
0,25
0,25
2 Với n = 2 phương trình của (d) là: y = (k - 1) x + 2
đường thẳng (d) cắt trục Ox
⇔
k - 1 ≠ 0
⇔
k ≠ 1 0,25
Giao điểm của (d) với Ox là
)0;
1
2
(
k
C

−
2
(
)
C(
2
1-k
; 0)
B(-1; 0)
A(0;2)
x
y
O
1
2
các
∆
OAB và OAC vuông tại O
OCOAS
OAC
.
2
1
=
;
OBOAS
OAB
.
2
1

=
S
OAC
= 2S
OAB

⇔
OC = 2.OB
⇔

Bc
xx .2=
⇔

1.2
1
2
−=
− k
⇔







=⇔−=
−
=⇔=

−
22
1
2
02
1
2
k
k
k
k
( thoả mãn)
Vậy với k = 0 hoặc k = 2 thì
S
OAC
= 2S
OAB

0,25
Bài 3. ( 2,0 điểm)
Câu Nội dung Điểm
1 Với m = -1 ta có pT: x
2
+ 2x -8 = 0

∆
' = 1
2
- 1(-8) = 9
⇒

x
1
= - 1 +
9
= 2; x
2
= -1 -
9
= -4
Vậy với m = - 1phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
= 2; x
2
= - 4
0,25
0,25
0,25
2
∆
' = m
2
- m + 7

4
27
)
2
1
(
2

+−= m
> 0 với mọi m
Vậy pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
0,25
0,25
0,25
3 Vì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
nên theo Viet ta có:



−=
=+
7
2
21
21
mxx
mxx
Theo bài ra
1 2
1 1
16
x x
+ =

⇔

16
21

21
=
+
xx
xx

⇔

16
7
2
=
−m
m
⇔
m = 8
KL: m = 8
0,25
0,25
Bµi 4 . ( 3,5 ®iÓm)
C©u Néi dung §iÓm
3
F
E
N
M
C
K
O
A

B
H
h1

T
E
N
M
C
K
O
B
A
H
h2
1 Ta cã
∠
AKE = 90
0
(….)
vµ
∠
AHE = 90
o
( v× MN
⊥
AB)
⇒

∠

AKE +
∠
AHE = 180
0

⇒
AHEK lµ tø gi¸c näi tiÕp
0,25
0,25
0,25
0,25
Xét
∆
CAE và
∆
CHK có :

∠
C là góc chung
∠
CAE =
∠
CHK ( cùng chắn cung KE)
⇒

∆
CAE
∞

∆

CHK (gg)
0,25
0,25
2 ta có NF
⊥
AC; KB
⊥
AC
⇒
NF // KB
⇒

∠
MKB =
∠
KFN (1)( đồng vị)
và
∠
BKN =
∠
KNF (2) (slt)
mà MN
⊥
AB
⇒
Cung MB = cung NB
⇒

∠
MKB =

∠
BKN (3)
Từ 1,2,3
⇒

∠
KFN =
∠
KNF
⇒

∆
NFK cân tại K
0,25
0,25
0,25
0,25
3 Nếu KE = KC
⇒

∆
KEC vuông cân tại K
⇒

∠
KEC = 45
0
⇒

∠

ABK = 45
0

⇒
Sđ cung AK = 90
0

0,25
⇒
K là điểm chính giữa cung AB
⇒
KO
⊥
AB
mà MN
⊥
AB nªn OK // MN 0,25
KÎ ®êng kÝnh MT
chøng minh KT = KN 0,25
mà
∆
MKT vuông tại K nên KM
2
+ KT
2
= MT
2

hay KM
2

+ KN
2
= (2R)
2
hay KM
2
+ KN
2
= 4R
2
0,25
Bài 5 . ( 0,5 điểm)
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
3
a 1 b 1 c 1
4
− + − + − ≥ −
Câu Nội dung Điểm
4
Đặt x = a - 1; y = b - 1; z = c - 1
Đ/K x
≥
-1 ; y
≥
- 1; z
≥
- 1
⇒

x + y + z = 0
và VT = x
3
+ y
3
+z
3
= 3xyz
5