Đề tuyển sinh vào 10 môn toán có đáp án số 52

ĐỀ 52
Câu 1 (3 điểm)
1) Giải các phương trình sau:
a)
2
4 0
3
x − =
.
b)
4 2
3 4 0x x− − =
.
2) Rút gọn biểu thức
N 3 . 3
1 1
a a a a
a a
   
+ −
= + −
 ÷ ÷
+ −
   
với
0a ≥
và
1a ≠
.
Câu 2 (2 điểm)
1) Cho hàm số bậc nhất

1y ax= +
. Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục
hoành tại điểm có hoành độ bằng
1 2+
.
2) Tìm các số nguyên m để hệ phương trình
3
2 3
x y m
x y
+ =


− = −

có nghiệm
( ; )x y
thỏa mãn điều
kiện
2
30x xy+ =
.
Câu 3 (1 điểm)
Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian quy
định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số
bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, xưởng đã hoàn thành kế
hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ
quần áo?
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF của tam giác

ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại E’ và F’ (E’ khác B và F’ khác C).
1) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh EF song song với E’F’.
3) Kẻ OI vuông góc với BC (
I BC∈
). Đường thẳng vuông góc với HI tại H cắt đường thẳng
AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh tam giác
IMN
cân.
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn
2 2
1a b+ =
và
4 4
1a b
c d c d
+ =
+
. Chứng minh
rằng
2
2
2
a d
c b
+ ≥
.
Hết
Họ tên thí sinh: ………………………………Số báo danh: ………………….……

Chữ kí của giám thị 1:……………………… Chữ kí của giám thị 2: ……… ……
ĐÁP ÁN ĐỀ 52
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm.
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm.
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a
Giải phương trình
2
4 0
3
x − =
1,00
2 2
4 0 4
3 3
x x− = ⇔ =
(hoặc
2 12 0x − =
)
2 12x =
6x =
0,25
0,25
0,5
b
Giải phương trình
4 2

3 4 0x x− − =
1,00
Đặt
2
, 0t x t= ≥
ta được
2
3 4 0t t− − =
1, 4t t⇔ = − =
1t = −
(loại)
2
4 4 2t x x= ⇒ = ⇔ = ±
0,25
0,25
0,25
0,25
c
Rút gọn
N 3 . 3
1 1
a a a a
a a
   
+ −
= + −
 ÷ ÷
+ −
   
với

0a ≥
và
1a ≠
1,00
( 1)
1 1
a a a a
a
a a
+ +
= =
+ +
( 1)
1 1
a a a a
a
a a
− −
= =
− −
( ) ( )
N 3 . 3 9a a a= + − = −
0,25
0,25
0,5
2 a Xác định hệ số a 1,00
Ra được phương trình
0 ( 2 1) 1a= + +
1
2 1

a
−
⇔ =
+
1 2a = −
Vậy
1 2a = −
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Tìm các số nguyên m để nghiệm
( ; )x y
thỏa mãn
2
30x xy+ =
1,00
Tìm được
1y m= +
,
2 1x m= −
2 2
30 (2 1) (2 1)( 1) 30x xy m m m+ = ⇔ − + − + =
2
2 10 0m m⇔ − − =
2m⇔ = −
hoặc
5
2

m =
Do m nguyên nên
2m = −
0,25
0,25
0,25
0,25
3 Tính số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch 1,00
Gọi số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là
x
bộ (x
nguyên dương).
Số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch là
280
x
Số bộ quần áo may trong một ngày khi thực hiện là
5x +
Số ngày hoàn thành công việc khi thực hiện là
280
5x +
Theo giả thiết ta có phương trình
280 280
1
5x x
− =
+
2
280( 5) 280 ( 5) 5 1400 0x x x x x x⇔ + − = + ⇔ + − =
Giải pt ta được
35, 40x x= = −

(loại)
Số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là 35 bộ
0,25
0,25
0,25
0,25
4 a Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp 1,00
Hình 2 Hình 1
Vẽ được hình 1
Theo giả thiết
· ·
0 0
90 , 90BFC BEC= =
· ·
0
90BFC BEC⇒ = = ⇒
BCEF là tứ giác nội tiếp
0,5
0,25
0,25
b Chứng minh EF song song với E’F’ 1,00
BCEF là tứ giác nội tiếp suy ra
· ·
CBE CFE=
·
·
' 'CBE CF E=
(cùng chắn cung
¼
'CE

)
Suy ra
·
·
' 'CFE CF E=
Suy ra
// ' 'EF E F
0,25
0,25
0,25
0,25
c Chứng minh tam giác
IMN
cân 1,00
TH 1. M thuộc tia BA.
H là trực tâm của tam giác ABC suy ra
AH BC⊥
· ·
CAH CBH=
(cùng phụ với góc
·
ACB
)
A
N
D
M
H
I
C

F'
F
E'
E
O
B
A
H
C
F'
F
E'
E
O
B
·
·
·
·
0 0
90 , 90BHI BHM ANH NHE+ = + =
·
·
BHM NHE=
(vì đối đỉnh)
·
·
BHI ANH⇒ =
ANH⇒ ∆
đồng dạng với

AH HN
BIH
BI IH
∆ ⇒ =
(1)
Tương tự
AHM∆
đồng dạng với
AH HM
CIH
CI IH
∆ ⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) và
BI CI=
suy ra
HM HN
HM HN
IH HI
= ⇒ =
Mà
HI MN⊥
tại H suy ra
IMN∆
cân tại I.
TH 2. M thuộc tia đối của tia BA.
· ·
CAH CBH=
(cùng phụ với góc
·

ACB
)
·
·
0
90ANH NHE= +
(góc ngoài
∆
)
·
·
0
90BHI BHM= +
·
·
BHM NHE=
(vì đối đỉnh)
·
·
ANH BHI ANH= ⇒ ∆
đồng dạng
với
AH HN
BHI
BI IH
∆ ⇒ =
. Đến đây
làm tương tự như TH 1.
* Chú ý. Thí sinh chỉ cần làm 1 trong 2
TH đều cho điểm tối đa.

0,25
0,25
0,25
0,25
5
Chứng minh rằng
2
2
2
a d
c b
+ ≥
1,00
2 2
1a b+ =
và
4 4 4 4 2 2 2
1 ( )a b a b a b
c d c d c d c d
+
+ = ⇒ + =
+ +
4 4 2 2 2
( ) ( ) ( )d c d a c c d b cd a b⇔ + + + = +
4 2 4 2 4 4 4 4 2 2
( 2 )dca d a c b cdb cd a b a b⇔ + + + = + +
2 4 2 4 2 2 2 2 2
2 0 ( ) 0d a c b cda b da cb⇔ + − = ⇔ − =
2 2
0da cb⇔ − =

hay
2 2
a b
c d
=
. Do đó
2 2 2 2
2 2 2
( )
2 2 0
a d b d b d
c b d b db
−
+ − = + − = ≥
. Vậy
2
2
2
a d
c b
+ ≥
0,25
0,25
0,25
0,25
C
F'
E'
E
N

M
I
H
F
B
A