Đề tuyển sinh vào 10 môn toán có đáp án số 51

ĐỀ 51
Câu 1: Cho biểu thức :
P=








−−+
−
−








+
+
1
2
1
1
:
1
1

aaaa
a
a
a
a

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu
3819 −=a
Câu 2: Cho phương trình :

( )
021
22
=−+−−− aaxax
a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x
1
và x
2
.Tìm giá trị của a để A=
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị nhỏ
nhất
Câu 3 :

Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10
Km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ
gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?
Câu 4 :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
Câu 5 :
Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) . Tìm giá trị lớn nhất của A =
x
+
y
Hết
ĐÁP ÁN 51
Câu 1: ĐK
0; 1a a≥ ≠
a. P=
1
1
a a
a
+ +
−
b. P-1<0
1 1 1 2
1 0 0 0
1 1 1

a a a a a a
a a a
+ + + + − + +
⇒ − < ⇒ < ⇒ <
− − −
Vì
0 0 2 0a a a≥ ⇒ ≥ ⇒ + >
. Do đó
2
0
1
a
a
+
<
−
khi

1 0 1 1a a a− < ⇒ < ⇒ <
Kết hợp đk đầu bài
0 1a⇒ ≤ <
c.
( )
2
19 8 3 19 8 3 16 2.4. 3 3 4 3 4 3 4 3a a= − ⇒ = − = − + = − = − = −
Do đó P=
( ) ( )
( ) ( )
24 9 3 . 3 3
19 8 3 4 3 1 24 9 3 15 3

2
4 3 1 3 3
3 3 . 3 3
− +
− + − + − −
= = =
− − −
− +
Giải: Câu2 a. Để pt có hai nghiệm trái dấu thì
0
. 0a c
∆ >


<

*
( )
( )
2
2 2
4 1 4.1. 2b ac a a a∆ = − = − − − − + − 
 
=
( )
2
2
3 9 36
5 6 9 5. 2. 5. .
5 5

5
a a a a− + = − + +
=
2
3 36
5. 0
5
5
a
 
− + >
 ÷
 
* a.c= 1. (- a
2
+ a - 2) = - ( a
2
- a + 2) < 0

⇒
Pt luôn có hai nghiệm trái dấu
b. Có A=
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2.x x x x x x+ = + −
(*)
Theo Viet có
1 2

x x+
=
( )
1
1
1
a
b
a
a
− − − 
−
 
= = −

1 2
x x
=
2
2
2
2
1
c a a
a a
a
− + −
= = − + −
Thay vào (*) được
( )

( )
2
2
1 2. 2a a a− − − + −
=
2 2 2
2 1 2 2 4 3 4 5a a a a a a− + + − + = − +
Do đó Amin
2
(3 4 5)a a min⇔ − +


( )
2
2 4 11
3. 2. 3 .
3 3
3
a a⇒ − + +
=
2
2 11 11
3
3 3
3
a
 
− + ≥
 ÷
 

⇒
Amin=
11
3
khi
2
3
3
a −
= 0
3 2 2
0 3 2 0
3
3
a
a a
−
⇒ = ⇒ − = ⇒ =

Giải Câu 3: Gọi thời gian người đi từ A đến chỗ gặp nhau là x giờ (x>0)
Vận tốc của người đi từ A là 10 Km/h do đó qđường người đi từ A đến chỗ gặp nhau là
10x Km
Người đi từ B xuất phát sau 2 giờ lên thời gian người đi từ B đến chõ gặp nhau là x- 2 giờ
và người đó đi với vận tốc là 14 Km/h nên Qđường người đi từ B đến chỗ gặp là 14.(x- 2) Km
Qđường AB dài 56 Km . Ta có PT 10.x + 14.(x-2) = 56
Giải PT được x=3.5 ( T/M đk đầu bài)
Họ gặp nhau lúc 6h45 + 3h30 = 10h15 và cách A 10 . 3,5=35 Km
Lời giải: Câu 4
1. Xét tứ giác CEHD ta có:

∠ CEH = 90
0
( Vì BE là đường cao)
∠ CDH = 90
0
( Vì AD là đường cao)
=> ∠ CEH + ∠ CDH = 180
0

Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 90
0
.
CF là đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 90
0
.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90
0
=> E và F cùng nằm trên đường tròn đường
kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 90
0
; Â là góc chung
=> ∆ AEH ∼ ∆ADC =>
AC
AH
AD
AE
=

=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 90
0
; ∠C là góc chung
=> ∆ BEC ∼ ∆ADC =>
AC
BC
AD
BE
=
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta có ∠C
1
= ∠A
1
( vì cùng phụ với góc ABC)
∠C
2
= ∠A
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> ∠C
1
= ∠ C
2
=> CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
=> ∠C
1

= ∠E
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
 ∠C
1
= ∠E
2
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
 ∠E
1
= ∠E
2
=> EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do
đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Giải câu 5 Vì x>0 , y>0 . Do đó(
x
+
y
) >0 hay A > 0 nên A lớn nhất
⇔
A
2
lớn nhất.
Xét A
2
= (
x
+

y
)
2
= x + y + 2
xy
= 1 + 2
xy
(1)
Ta có:
2
yx +

xy≥
(Bất đẳng thức Cô si)
=> 1 > 2
xy
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: A
2
= 1 + 2
xy
< 1 + 2 = 2
Max A
2
= 2 <=> x = y =
2
1
, max A =
2
<=> x = y =

2
1