Phân Tích đa thức ra nhân tử Nâng cao

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU trang 02
I. Lí do chọn đề tài trang 02
II. Đối tượng nghiên cứu trang 02
III. Phạm vi nghiên cứu trang 03
IV. Phương pháp nghiên cứu trang 03
B. NỘI DUNG trang 04
I. Cơ sở lí luận trang 04
II. Cơ sở thực tiễn trang 05
III. Giải quyết vấn đề trang 07
C. KẾT LUẬN trang 26
- 1 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
A. MỞ ĐẦU
I . LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là
một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Phương
pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rút
gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bài
toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau
này.
Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học
sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải
những sai sót khi làm bài tập .
Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và đònh hướng được
một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân
tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ
ĐẾN DỄ ” . “Khó” ở đây là cái khó ở học sinh – các em khơng nắm được các dạng tốn
phân tích đa thức thành nhân tử; còn “dễ” ở đây là khi giáo viên đã đưa ra các phương pháp
cụ thể cho học sinh thì với mỗi bài tốn cụ thể các em có thể đưa ra phương pháp giải một

cách chính xác. Đó là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được tơi tích lũy
trong q trình học và dạy tốn, với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng giải các
dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp trong chương trình lớp 8 cũng như
trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp.
Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Mở đầu, Phần II là Nội dung và Phần III là Kết quả,
bài học kinh nghiệm. Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện.
Một số ví dụ nhận đònh một số sai sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh.
II- ĐỐI TƯNG NGHIÊN CỨU:
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- 2 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
- Không gian : Học sinh lớp 8A7 Trường THCS Phan Bội Châu
- Thời gian : 2 giai đoạn trong năm học 2012 – 2013
Giai đoạn 1: Từ tháng 10/ 2012 đến thi học kì I
Giai đoạn 2: Từ tháng 01/ 2013 đến giữa học kì II.
IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1. Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan
+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập.
+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông.
+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán.
+ Đổi mới phương pháp dạy học toán.
+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8.
+ Sách bồi dưỡng năng lực tự học tốn 8.
2. Điều tra:
a. Dự giờ:
- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ.
- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến phương
pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó giúp tôi tích lũy

một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương pháp dạy học .
b. Đàm thoại:
- Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các nguyên
nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở từng dạng toán cụ
thể. Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần nào học sinh chưa biết cách trình bày để có
biện pháp xử lí kòp thời.
- 3 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
- Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện pháp nâng
cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp khác.
c. Thực nghiệm:
- Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành ngay tại
lớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng cố kiến thức ngay tại
lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản một
cách sâu sắc từ đó hình thành kó năng giải toán cho học sinh. Đồng thời giáo viên phải
chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đã
học và vận dụng giải các bài tập ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh. Ngồi ra đối với
học sinh khá giỏi giáo viến nên có thêm những bài tập đỏi hỏi tính tư duy cao.
d.Theo dõi các bài kiểm tra:
- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi
cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp cho từng đối
tượng học sinh.
B- NỘI DUNG
I- CƠ SỞ LÍ LUẬN:
- Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công cụ cho các môn
học khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán trong
chương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thế
được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ
năng và biết ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc rèn cho
học sinh có kỹ năng giải bài tập toán có vai trò quyết đònh trong việc nâng cao chất

lượng học tập của học sinh.
- 4 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
- Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú,
đa dạng và không đơn giản đối với học sinh THCS. Nội dung này được đưa vào chương
trình toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước với dạng bài toán ngược
áp dụng tích chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên các tập hợp số. Với
lượng thời gian phân phối chỉ có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơ sở vận
dụng cho các chương sau và lớp sau trong các phần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu
số các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giải phương trình,…”
- Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt
điều này đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan
sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹ năng giải toán, vận dụng bài toán. Tuỳ
theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các
phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng thêm các cách giải khác nhằm nâng cao
chất lượng học tập bộ môn của học sinh.
II- CƠ SỞ THỰC TIỄN:
- Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phối chương trình chỉ có 6
tiết từ tuần 5 cho đến tuần 7 nên khi học dạng toán này đa số học sinh còn rất lúng túng
trong việc áp dụng phương pháp, đối với học sinh khá giỏi còn nhiều vấn đề chưa được
đề cập đến. Do đó kết quả qua các bài kiểm tra của học sinh còn thấp, còn nhiều học
sinh yếu, kém, số lượng học sinh giỏi thấp.
- Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng của học sinh khi giải toán như sau:
+ Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ?
Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học.
+ Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác
nhau.
+ Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic.
- 5 -

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
- Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có
kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau :
Đối với giáo viên :
Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiều phương pháp đễ dẫn dắt học sinh tìm
hiểu kiến thức nhưng nội dung bài học nhiều không đảm bảo được thời lượng 45 phút nên
chưa có được phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng loại đối tượng học sinh.
Đối với phụ huynh:
Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn
đốc việc học của học sinh. Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường, không kiểm
tra được việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bò bài trước khi đến lớp.
Đối với học sinh :
+ Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học.
+ Đa số học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành
giải toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới cộng thêm việc
không chủ động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến chây lười trong học tập.
+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn
nại khi gặp bài toán khó.
+ Không có thói quen tự học ở nhà : không làm bài, học bài , soạn bài trước khi đến
lớp.
+ Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi.
- Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh có kỹ năng giải
bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinh yếu kém bộ
môn. Để giải quyết các vấn đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra những phương
pháp cơ bản, phương pháp nâng cao cho học sinh khá giỏi thông qua những bài tập cụ thể,
những tiết dạy bòi dưỡng học sinh giỏi, tiết dạy buổi hai giúp các em hiểu rõ và vận dụng
- 6 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
các phương pháp này khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao
chất lượng học tập cho học sinh.

III- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
PHẦN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
- Sắp xếp bài toán theo các mức độtừ dễ đến khó
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
• Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
• Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành.
• Tìm cách giải hay, khai thác bài toán.
3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy
Dạng 5: Kĩ thuật bổ sung hằng đẳng thức
Dạng 6: Kĩ thuật tách hạng tử
Dạng 7: Dạng thêm bớt khi số mũ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2
Dạng 8: Dạng đối xứng vòng quanh
Dạng 9: Dạng
Dạng 10: Đặt biến phụ dạng đa thức
Dạng 11: Đặt biến phụ dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) +e ( với a + b = c + d )
Dạng 12: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp
Dạng 13: Đặt biến phụ dạng hồi quy
Dạng 14: Đặt biến phụ dạng (a
1
x + a
2
)(b
1
x + b

2
)(c
1
x + c
2
)(d
1
x + d
2
)(a
1
b
1
= c
1
d
1
vµ a
2
b
2
= c
2
d
2
)
Dạng 15: Dạng đốn nghiệm
Dạng 16: Đặt biến phụ dạng khác
Dạng 17: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt biến phụ dạng hệ số bất
định

Dạng 18: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng
- 7 -
3 3
A B
±
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Phương pháp: Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
A.B + A.C = A ( B + C).
 Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
 Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất).
 Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)
( ) ( )
2
5 2 15 2x x y x x y− − −
GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số?
HS: Nhân tử chung của các hệ số là 5 vì ƯCLN(5;15) = 5
GV: Tìm nhân tử chung của các biến?
HS: x(x – 2y)
Giải:
( ) ( ) ( ) ( )
2
5 2 15 2 5 2 3x x y x x y x x y x− − − = − −
2)
( ) ( )
10 8x x y y y x− − −
GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ?

HS: 2
GV: Tìm nhân tử chung của x( x – y) và y( y – x)?
HS: ( x – y) hoặc ( y – x).
GV: Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x( x – y) hoặc – 8y( y – x) để có nhân tử chung ( x– y)
hoặc ( y – x)?
HS: Đổi dấu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x)
Hoặc đổi dấu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y).
Giải:
10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y)
= 2( x – y).5x + 2( x – y).4y
= 2( x – y)( 5x + 4y).
3) 9x( x – y) – 10( y – x)
2
.
Cách giải sai:
- 8 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
9x( x – y) – 10( y – x)
2
= 9x( x – y) + 10( x - y)
2
= ( x – y) [9x + 10( x – y)]
= ( x – y)(19x – 10y).
Sai lầm:
- Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)
2
= 9x( x – y) + 10( x - y)
2
- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x)
2

của tích – 10( y – x)
2
Vì – 10( y – x)
2
= - 10( y – x)( y –x).
Cách giải đúng:
9x( x – y) – 10( y – x)
2
= 9x( x – y) - 10( x - y)
2
= ( x – y) [9x - 10( x – y)]
= ( x – y)(10y – x).
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử.
- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
Bài tập áp dụng:
1)
2 2 3 2
2 4 6axy a xy a x− +
6)
( ) ( )
2 3
2 4a b x y a b x y+ − − −
2)
2 5 3 4 3
-7x y -14x y -21y
7)
1m m
x x
+

−
3)
( ) ( )
2
2 1 4 1xy a x y a− − −
8)
2 2m
x x
+
−
4)
( ) ( )
2
5 10a x y a x y− + −
9)
2m m
x x
+
−
5)
( ) ( )
2
2
3 4 9 4ab x a x− + −
10)
1 1m m
x x
+ +
−
Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Phương pháp: Biến đổi để xuất hiện một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1) ( A + B )
2
= A
2
+ 2AB + B
2
2) ( A - B )
2
= A
2
- 2AB + B
2
3) A
2
- B
2
= ( A + B )( A - B )
4) ( A + B )
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
5) ( A - B )
3

= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
- 9 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
6) A
3
- B
3
= ( A - B )( A
2
+ AB + B
2
)
7) A
3
+ B
3
= ( A + B )( A
2
- AB + B
2
)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) ( a – b )

2
– ( a + b )
2
GV: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
HS: Có dạng A
2
- B
2
Cách giải sai:
( a – b )
2
– ( a + b )
2
= ( a – b + a + b ) – ( a – b – a + b ) = 2a.0 = 0.
Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.
Cách giải đúng:
( x – y )
2
– ( x + y )
2
= [( x – y ) + ( x + y )].[( x – y ) – ( x + y )]
= ( x – y + x + y ).( x – y – x – y )
= 2x.( –2y) = –4xy.
Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới
dạng phức tạp hơn.
2)
2
10 25x x− −
3)
3

1
8
8
x −
4)
3 2 2 3
8 12 6x x y xy y+ + +
5)
2 2
1
64
25
x y−
Giải:
2)
( )
( )
2
2 2
10 25 10 25 5x x x x x− − = − − + = − −
3)
( )
3
3
3 2
1 1 1 1
8 2 2 4
8 2 2 4
x x x x x
    

− = − = − + +
 ÷  ÷ ÷
    
4)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 2 3 2 3
8 12 6 2 3. 2 . 3.2 . 2x x y xy y x x y x y y x y+ + + = + + + = +
5)
( )
2
2
2 2
1 1 1 1
64 8 8 8
25 5 5 5
x y x y x y x y
    
− = − = + −
 ÷  ÷ ÷
    
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Quy tắc dấu ngoặc.
- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số mũ của
các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác.
Bài tập áp dụng:
1)
2
25 1a −
6)

3 3
1
8
8
x y+
- 10 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
2)
2
144 81a −
7)
6 3
1
125
64
x y−
3)
( )
2
2
2 4a b b− −
8)
3 2
15 75 125x x x+ + +
4)
2
10 25x x+ +
9)
3 2 2 3
27 54 36 8a a b ab b− + −

5)
2 2
25 20 4x xy y− +
10)
6 6
x x−
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
Phương pháp: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử
chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức.
 Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
 Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
 Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)
2
3 3 5 5x xy x y− − +
2)
2 2
4 4x x y+ − +
3) x
2
– 2x – 4y
2
– 4y
Giải:
1)
2
3 3 5 5x xy x y− − +
Cách giải sai:
( ) ( ) ( )

2
3 3 3 3x xy x y x x y x y x y x− − + = − − − = −
Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.
Cách giải đúng:
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3 5 5 3 5 3 5x xy x y x x y x y x y x− − + = − − − = − −
2)
2 2
4 4x x y+ − +
Sai lầm: HS khơng biết nhóm các hạng tử nào với nhau.
GV: Nếu như nhóm 2 hạng tử khơng được ta nhóm ba hạng tử.
Cách giải đúng:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
4 4 4 4 2 2 2x x y x x y x y x y x y+ − + = + + − = + − = + − + +
3) x
2
– 2x – 4y
2
– 4y
Cách giải sai:
x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y

2
) – ( 2x – 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )
= ( x – 2y )( x + 2y – 2 )
Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.
Cách giải đúng:
x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) – ( 2x + 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )
- 11 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
= ( x + 2y )( x – 2y – 2 )
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức.
Bài tập áp dụng:
1)
2 2ax ay x y+ + +
6)
2 2
3 3 5 5ax bx ax bx a b+ + + + +
2)
2

2 2x xy x y− − +
7)
2 2
2 2 3 3ax bx ax bx a b− − + − +
3)
10 5 5 2ax ax ay x y− − + −
8)
2 2
5 5 5ax x õ x a− − + + −
4)
2 2
2 5 5 2a x by a y bx− − +
9)
2 2 2ax bx cx a b c
+ + − − −
5)
2
2 6 5 15x xy x y− + −
10)
2 2 2 4ax bx cx a b c
− − − + +
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp: Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:
 Phương pháp đặt nhân tử chung
 Phương pháp dùng hằng đẳng thức
 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) x
4
– 9x

3
+ x
2
– 9x 2)
( )
3
3
8xy x x y+ −
Giải:
1) x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x
Cách giải ch ưa hồn chỉnh:
Cách 1: x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9 )
Cách 2: x
4

– 9x
3
+ x
2
– 9x = ( x
4
– 9x
3
) + ( x
2
– 9x)
= x
3
( x – 9 ) + x( x – 9 )
= ( x – 9 )( x
3
+ x )
Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để.
Cách giải đúng:
x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x( x
3
– 9x
2
+ x – 9 )

= x[(x
3
– 9x
2
) + ( x – 9 )]= x[x
2
( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]= x( x – 9 )(x
2
+ 1)
2)
( )
3
3
8xy x x y+ −
Cách giải ch ưa hồn chỉnh:
- 12 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
( ) ( )
3 3
3 3
8 8xy x x y x y x y
 
+ − = + −
 
Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để.
Cách giải đúng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )

( )
3 3 2
3 3 2
2 2 2 2 2 2
8 8 2 4 2
4 2 2 2 3
xy x x y x y x y x y x y y y x y x y
x x y y xy y x xy y x x y y x
   
+ − = + − = + − + − + −
   
= + + − + − + = + +
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Khi số mũ của phần biến lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta vẫn có thể phân tích được nữa.
- Củng cố các cơng thức:
( A + B )
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3


= A
3
+ B

3
+ 3AB( A + B)

⇒
A
3
+ B
3
= ( A + B )
3
– 3AB( A + B)
Bài tập áp dụng:
1)
( )
2
2 2 2 2
4 16a b a b+ −
6)
( )
2 2
2 2x a b xy aby− + +
2)
2 2
2 25x xy y+ + −
7)
( ) ( )
2 2 2 2
ab x y xy a b+ + +
3)
2 2 2

2 1 2x x a ab b− + − − −
8)
2 2
6 12 6x xy y+ +
4)
( ) ( )
2 2 2
2x a b xy a b ay by− − − + −
9)
4 3 2 2 3
12 12 3x y x y x y− + −
5)
3 2 2
2 9x x y xy x+ + −
10)
2 2 2 2
4 4 2x xy y a ab b+ + − + −
Dạng 5: Kĩ thuật bổ sung hằng đẳng thức
Phương pháp: Thªm, bít cïng mét h¹ng tư ®Ĩ nhãm víi c¸c h¹ng tư ®· cã trong ®a thøc
nh»m xt hiƯn nh©n tư chung míi hc xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc, ®Ỉc biƯt lµ xt hiƯn hiƯu
cđa hai b×nh ph¬ng.
Đây là một kỹ thuật rất quan trọng liên quan đến dạng tốn tìm Min, Max, do đó GV
cần phải hướng dẫn thật kỹ phương pháp này cho HS.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)
2
2 3x x− −
2)
2 2
4 5x xy y+ −

Giải:
1)
2
2 3x x− −
GV: Đối với phương pháp này các em nên tách để đưa về dạng
2 2
2A AB B± +
GV: Theo em ở câu 1 chúng ta nên tách hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức?
HS: Tách hạng tử –3 = 1 – 4.
GV: Khi đó ta được
2
2 1 4x x− + −
. Tới đây ta đưa về dạng nhóm hạng tử để xuất hiện hằng
đẳng thức.
HS :
( )
2
2 2
2 1 4 1 2x x x− + − = − −
GV: Biểu thức thu được thuộc hằng đẳng thức nào?
- 13 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
HS:
2 2
A B−
Cách giải đúng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 3 2 1 4 1 2 1 2 1 2 3 1x x x x x x x x x− − = − + − = − − = − − − + = − +

2)
2 2
4 5x xy y+ −
Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1
Cách giải đúng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
4 5 4 4 9 2 3 2 3 2 3 5x xy y x xy y y x y y x y y x y y x y x y+ − = + + − = + − = + − + + = − +
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức.
- Biết cách nhóm ba hạng tử để xuất hiện hàng đẳng thức.
Bài tập áp dụng:
Dạng 6: Kĩ thuật tách hạng tử
Phương pháp: Cho đa thức :
2
ax bx c+ +
- Tìm tích ac
- Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số ngun bằng mọi cách
1 1 2 2 3 3

j j
ac a c a c a c a c= = = = =
- Chọn hai thừa số mà tổng bằng (
j j
b a c= +
)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)
2

3 7 6x x+ −
2)
2
10 11 6x x− −
3)
2
8 10 3x x+ −
Giải:
1)
2
3 7 6x x+ −
GV: Hãy tìm tích ac.
HS: ac = 3.(-6) = -18.
GV: Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số ngun bằng mọi cách
HS:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3. 6 18 3 .6 2 .9 2. 9 1 .18 1. 18− = − = − = − = − = − = −
GV: Hãy chọn hai thừa số a,c mà có tổng bằng 7
HS: 7 = -2 + 9
GV: Như vậy ta có: 7x = -2x + 9x
Cách giải đúng:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 7 6 3 2 9 6 3 2 3 3 2 3 2 3x x x x x x x x x x+ − = − + − = + + + = + +
2)
2
10 11 6x x− −
Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1
Cách giải đúng:

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
10 11 6 10 15 4 6 5 2 3 2 2 3 2 3 5 2x x x x x x x x x x− − = − + − = − + − = − +
3)
2
8 10 3x x+ −
Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1
- 14 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ
Cách giải đúng:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
8 10 3 8 2 12 3 2 4 1 3 4 1 4 1 2 3x x x x x x x x x x+ − = − + − = − + − = − +
Lưu ý:
- Có nhiều cách tách để đi đến kết quả như tách hạng tử thứ nhất, tách hạng thử thứ ba.
Tuy nhiên tách hạng tử thứ hai là dễ dàng giải quyết bài tốn.
- Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc
điểm của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng được
các phương pháp phân tích cơ bản đã học.
Dạng 7: Dạng thêm bớt khi số mũ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2
Phương pháp: Ta biến đổi giảm dần số mũ của đa thức để xuất hiện nhân tử chung
2
1x x+ +

hoặc
2
1x x− +
Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)
5

1x x+ +
2)
4 2
2005 2004 2005x x x+ − +
Giải:
1)
( ) ( ) ( )
5 5 4 3 4 3 2 2
1 1x x x x x x x x x x+ + = + + − + + + + +
GV: Bước đầu tiên các em biến đổi giảm dần số mũ như sau:
5 4 3
x x x+ +
GV: Như vậy khi ta thêm
4 3
x x+
thì ta sẽ bớt
4 3
x x+
ở phía sau, ta được:
5 4 3 4 3
x x x x x+ + − −
GV: Ta lại tiếp tục thêm bớt như vậy cuối cùng ta được:
5 5 4 3 4 3 2 2
1 1x x x x x x x x x x+ + = + + − − − + + +
GV: Ta nhóm 3 hạng tử tạo thành một bộ, sau đó sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung ta
có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2 2 2 2 3 2
1 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x= + + − + + + + + = + + − +
Cách giải đúng:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 5 4 3 4 3 2 2 5 4 3 4 3 2 2
3 2 2 2 2 2 3 2
1 1 1
1 1 1 1 1
x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
+ + = + + − − − + + + = + + − + + + + +
= + + − + + + + + = + + − +
2)
4 2
2005 2004 2005x x x+ − +
GV: Đối với câu 2 này các em cũng vẫn thực hiện theo cách trên.
Cách giải đúng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 2 4 3 2 3 2 2
4 3 2 3 2 2 2 2 2 2
2 2
2005 2004 2005 2005 2005 2005
2005 2005 2005 1 1 2005 1
1 2005
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
+ − + = − + + − + + − +
= − + + − + + − + = − + + − + + − +
= − + + +
Lưu ý:

- Thêm bớt các hạng tử một cách chính xác.
- Nếu như thêm bớt để xuất hiện đa thức chung là
2
1x x+ +
mà khơng được thì ta thêm
bớt để xuất hiện đa thức chung là
2
1x x− +
.
- 15 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ
Bài tập áp dụng:
1)
10 8
1x x+ +
6)
11 10
1x x+ +
2)
8 7
1x x+ +
7)
4 2
2002 2001 2002x x x+ + +
3)
11 4
1x x+ +
8)
4 2
2007 2006 2007x x x+ − +

4)
11 7
1x x+ +
9)
4 2
1996 1995 1996x x x+ − +
5)
8
1x x+ +
10)
4 2
1999 1998 1999x x x+ − +
Dạng 8: Dạng đối xứng vòng quanh
Phương pháp:Dựa trên hai nhận xét sau:
 Nhận xét 1: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a,
b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó. Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b,
c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) F(a, b, c) = a
2
(b - c) + b
2
(c - a) + c
2
(a - b).
Nhận xét : Khi a = b ta có :
F(a, b, c) = a
2
(a - c) + a
2

(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b.
Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đó F(a,
b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a).
Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : 1 + 1 = k.1.1.(-2) => k = -1.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a).
2) F(a, b, c) = a
3
(b - c) + b
3
(c - a) + c
3
(a - b).
Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b - c, c - a.
Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậy
F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c. Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số
này có dạng k(a + b + c). Do đó :
F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).
 Nhận xét 2: Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c
nhưng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu
không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử
b + c, c + a.
- 16 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ
3) F(x, y, z) = x
3
+ y
3
+ z

3
- 3xyz.
Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nhưng nếu thay x = -(y + z)
thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z. Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta được
thương x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - yz - zx và dư là 0. Do đó :
F(x, y, z) = (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - yz - zx).
Bài tập áp dụng:
1)
( ) ( ) ( )
ab a b bc b c ca c a− + − + −
2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b b c c a b c c a a b c a a b b c+ + − + + + − + + + −
3)
( ) ( ) ( )
ab a b bc b c ac a c+ − + + −
4)
( ) ( ) ( )

2 2 2
a b c b c a c a b− + − + −
5)
( ) ( ) ( )
4 4 4
a b c b c a c a b− + − + −
6)
( ) ( ) ( )
3 2 2 3 2 2 3 2 2
a b c b c a c a b− + − + −
7)
( ) ( ) ( )
( )
3 2 3 2 3 2
1x y z y z x z x y xyz xyz+ + + + + + +
8)
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3
4x y z y z x z x y x y z xyz− + − + − − − − +
9)
( ) ( ) ( )
2ab a b bc b c ca c a abc+ + + + + +
10)
2 2 2 2 2 2
3 3 9 9 6a b ab b c bc c a ca abc+ + + + + +
Dạng 9: Dạng
Phương pháp: Đối với dạng toán có chứa bậc ba ta có thể sử dụng hằng đẳng thức
( )
( )

( )
( )
3 3 2 2
3 3 2 2
A B A B A AB B
A B A B A AB B
+ = + − +
− = − + +
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)
3 3 3
3a b c abc+ + −
2)
( )
3
3 3 3
x y z x y z+ − − − +
Giải:
1)
( )
3
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 6 3a b c abc a b c a b ab a c ac b c bc abc abc+ + − = + + − − − − − − − −
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3

2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
3
2
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3
a b c a b ab abc a c ac abc b c bc abc
a b c a b ab abc a c ac abc b c bc abc
a b c ab a b c ac a b c bc a b c
a b c a b c ab ac bc a b c a b c ab bc ca
= + + − − − − − − − − −
= + + − + + − + + − + +
= + + − + + − + + − + +
 
= + + + + − − − = + + + + − − −
 
2)
( )
3
3 3 3
x y z x y z+ − − − +
( )
( )
3
3 3 3
x y z x y z

 
= + − − − −
 
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2y z x y z xy yz zx x xy xz x y z y yz z= − + + + − − + + − + − − + +
- 17 -
3 3
A B
±
3 3
A B
±
PHN TCH A THC THNH NHN T T KHể N D
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
3 3 3 3 3y z x xy yz zx y z x x y z x y= + = + +

( ) ( ) ( )
3 y z x y x z= +
Bi tp ỏp dng:
1)
( ) ( ) ( )
3 3 3
a b b c c a + +

2)
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c+ + +
3)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
a b c a b c b c a c a b + + + +
4) Cho
4a b c
+ =
. Tớnh
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
3a b c abc
B
a b b c c a
+ +
=
+ + + +
5) Chng minh rng:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2
x y y z z x
x y z xy yz zx
+ +

+ + =
v
2 2 2
0x y z xy yz zx
+ + =
6) Cho a, b, c khỏc 0 tho:
3 3 3
3a b c abc
+ + =
Tớnh
1 1 1
a b c
E
b c a

= + + +
ữ ữ ữ

7) Cho a, b, c khỏc 0 tho:
3 3 3
8 27 18a b c abc+ + =
Tớnh
2 3
1 1 1
2 3
a b c
K
b c a

= + + +

ữ ữ ữ

Dng 10: t bin ph dng a thc
Phng phỏp: Trong mt s bi toỏn, ta nờn a mt bin ph vo vic gii bi toỏn
c gn gng, trỏnh nhm ln. t n ph a v dng tam thc bc hai ri s dng cỏc
phng phỏp c bn khỏc v tip tc phõn tớch.
Xét Q(x) = ay
2
+ by + c. Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay
2
+ by + c =
ay
2
+ (m +n)y + m.n/a hay y
2
+ by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).Nếu a = 1 thì y
2
+ by + c =
(y + m)(y + n). Trong trờng hợp này a, b, c nguyên thì trớc hết phân tích hai số nguyên m.n
sao cho giá trị tuyệt đối của m và n nhỏ hơn b. Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b.
Vớ d 10: Phõn tớch a thc thnh nhõn t:
1) 6x
4
+ 19x
2
+ 15 2)
( ) ( )
2
2 2
4 12x x x x+ + +

3)
( ) ( )
2 2
2 1 2 4 10x x x x
Gii:
1) P(x) = 6x
4
+ 19x
2
+ 15
Đặt y = x
2
, ta có:
Q(y)

= 6y
2
+ 19y + 15
Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19
Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:
6y
2
+ 19y + 15 = 6y
2
+ 9y + 10y + 15
= 3y(2y + 3) + 5(2y +3)
- 18 -
PHN TCH A THC THNH NHN T T KHể N D
= (2y + 3)(3y + 5)
Do đó : P(x) = 6x

4
+ 19x
2
+ 15
= ( 2x
2
+ 3)(3x
2
+ 5)
2)
( ) ( )
2
2 2
4 12x x x x+ + +
t
2
x x t+ =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 12 4 12 2 6 12 2 6 2 2 6 2 6
2 2 6 1 2 1 6 1 2 6

x x x x t t t t t t t t t t x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
+ + + = + = + = + = + = + + +
= + + + = + + + = + + +

3)
( ) ( )
2 2
2 1 2 4 10x x x x
t
2
2 1x x t =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 4 10 3 10 3 10 5 2 10 5 2 5 5 2
2 1 5 2 1 2 2 6 2 1
2 4 3 6 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 3 2 1
x x x x t t t t t t t t t t t t
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
= = = + = + = +

= + = +
= + + = + + = + +


Bi tp ỏp dng:
1)
4 2
4 37 9x x +
6)
2 2
4 4 10 5 6x xy y x y+ + + +
2)
( )
2
2 2
3 7 21 10x x x x+ + + +
7)
( ) ( )
2 2
1 2 12x x x x+ + + +
3)
2 2
2 2 2 15x xy y x y+ + + +
8)
( ) ( )
2 2
3 2 4x x x x + +
4)
2 2
8 16 2 8 3x xy y x y+ + + +

9)
( ) ( )
2 2
2 2 2 3 12x x x x+ +
5)
2 2
4 4 7 14 6x xy y x + + +
10)
( ) ( )
2 2
2 1 2 4 10x x x x
Dng 11: t bin ph dng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) +e
( vi a + b = c + d )
Phng phỏp: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc y
2
= x
2
+ (a
+ b) x.
Vớ d 11: Phõn tớch a thc thnh nhõn t:
1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) 15 2)
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5 24x x x x+ + + +
Gii:
1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) 15
Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d.
Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) 15
= (x
2
+ 5x + 4)(x

2
+ 5x + 6) 15
Đặt y = x
2
+ 5x + 4 thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y + 2) 1 = y
2
+2y 15 = y
2
3y + 5y 15
= y(y 3) + 5( y 3) = (y 3)(y + 5)
Do đó: P(x) = (x
2
+5x + 1)(x
2
+ 5x + 9)
Tổng quát: Nếu đa thức dạng P(x) = (a
1
x + a
2
)(b
1
x + b
2
)(c
1
x + c
2
)(d
1

x + d
2
) thoả mãn a
1
b
1
= c
1
d
1
và a
1
b
2
+ a
2
b
1
= c
1
d
2
+c
2
d
1
thì đặt y =(a
1
x + a
2

)(b
1
x + b
2
) rồi biến đổi nh trên.
Bi tp ỏp dng:
1)
( ) ( ) ( )
4 6 10 128x x x x+ + + +
6)
( ) ( )
2 2
4 3 6 8 24x x x x+ + + +
- 19 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ
2)
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 5 7 20x x x x− − − − −
7)
( ) ( )
2 2
6 5 10 21 20x x x x− + − + −
3)
( ) ( ) ( )
1 1 2 3x x x x− + + −
8)
( ) ( )
2 2
2 9 18 28x x x x+ − + + −
4)

( ) ( ) ( ) ( )
7 5 4 2 72x x x x− − − − −
9)
( ) ( )
2 2
5 6 15 56 144x x x x− + − + −
5)
( ) ( )
2 2
8 12 12 32 16x x x x+ + + + +
10)
( ) ( )
2 2
11 28 7 10 72x x x x− + − + −
Dạng 12: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp
Phương pháp: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc thấp hơn
để thuận tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tích ra nhân tử đối với đa thức mới,
thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ.
Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)
( ) ( )
2
2 2 2
1 3 1 2x x x x+ + + +
2)
( ) ( )
4 2
2 2 2 4
10 2 3 9 2 3x x x x x x− + − − + −
Giải:

1)
( ) ( )
2
2 2 2
1 3 1 2x x x x+ + + +
Đặt
2
1x t+ =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 3 1 2 3 2 2 2
2 2 2 1 2 1 1 2 1 1
x x x x t xt x t xt xt x
t t x x t x t x t x x x x x x x x x x
+ + + + = + + = + + +
= + + + = + + = + + + + = + + + + = +
2)
( ) ( )
4 2
2 2 2 4
10 2 3 9 2 3x x x x x x− + − − + −
Đặt
2
2 3x x t− + =

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 2
2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
10 2 3 9 2 3 10 9 10 10
10 10
10 2 3 2 3 10 2 3
3 3 3 10 2 3
x x x x x x t x t x t x t x t x
t t x x t x t x t x
t x t x t x x x x x x x x x x
x x x x x x x
− + − − + − = − − = − + −
= − + − = − +
 
= + − + = − + + − + − − + +
 
 
 
= − + − + − + +
 
 

Bài tập áp dụng:
1)
( ) ( )
2
2 2 2
4 8 3 4 8 2x x x x x x+ + + + + +
6)
( ) ( )
2
2 2 2
1 5 1 4x x x x x x− + − − + +
2)
( ) ( )
4 2
2 2 2 4
3 2 3 26 2 3 9x x x x x x− + + − − + + −
7)
( ) ( )
4 2
2 2 2 4
2 3 2 2x x x x x x− + − − + +
3)
( ) ( )
2
2 2 2
1 1 2x x x x− + − −
8)
( ) ( )
4 2
2 2 2 4

3 2 3 26 2 3 9x x x x x x− + + − − + + −
4)
( ) ( )
2
2 2 2
4 8 3 4 8 2x x x x x x+ + + + + +
9)
( ) ( )
4 2
2 2 2 4
6 1 1 5x x x x x x− − − + + − − + +
5)
( ) ( )
2
2 2 2
4 1 5 1x x x x x x+ + + + + +
10)
( ) ( )
4 2
2 2 2 4
1 7 1 12x x x x x x− − + − − +
Dạng 13: Đặt biến phụ dạng hồi quy
Ví dụ 13: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)
4 3 2
6 11 6 1x x x x+ + + +
2)
4 3 2
2 5 27 25 50x x x x− − + +
Giải:

1)
4 3 2
6 11 6 1x x x x+ + + +
Giả sử
0x
≠
, ta viết dưới dạng:
- 20 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ
4 3 2 2 2 2 2
2 2
6 1 1 1
6 11 6 1 6 11 6 11A x x x x x x x x x x
x x x x
 
     
= + + + + = + + + + = + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
Đặt
1
x t
x
+ =
thì
2 2
2
1

2x t
x
+ = −
. Do đó
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2 2 2 2
1
2 6 11 3 3 3 3 1A x t t x t xt x x x x x x
x
 
 
= − + + = + = + = + + = + +
 ÷
 
 
 
2)
4 3 2
2 5 27 25 50x x x x− − + +
Giả sử
0x
≠
, ta viết dưới dạng:
4 3 2 2 2 2 2
2 2

25 50 25 5
2 5 27 25 50 2 5 27 2 5 27A x x x x x x x x x x
x x x x
 
     
= − − + + = − − + + = + − − −
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
Đặt
5
x t
x
− =
thì
2 2
2
25
10x t
x
+ = +
. Do đó
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 10 5 27 2 20 5 27 2 5 7 1 2 7
5 5

1 2 7 5 2 7 10
A x t t x t t x t t x t t
x x x x x x x
x x
 
= + − − = + − − = − − = + −
 
 
   
= − + − − = + − − −
 ÷  ÷
 
   
 
Bài tập áp dụng:
1)
4 3 2
4 1x x x x+ − + +
5)
4 3 2
7 14 14 4x x x x+ + + +
2)
4 3 2
6 7 6 1x x x x+ + + +
6)
4 3 2
10 26 10 1x x x x− + − +
3)
4 3 2
5 12 5 1x x x x+ − + +

7)
4 3 2
10 15 20 4x x x x− − + +
4)
4 3 2
6 5 38 5 6x x x x+ − + +
8)
4 3 2
3 6 33 24 48x x x x+ − − +
Dạng 14: Đặt biến phụ dạng P(x) = (a
1
x + a
2
)(b
1
x + b
2
)(c
1
x + c
2
)(d
1
x + d
2
)
víi a
1
b
1

= c
1
d
1
vµ a
2
b
2
= c
2
d
2
Phương pháp:Mục đích của phương pháp này là đưa về dạng đặt biến phụ dạng đẳng cấp.
Qua ví dụ cụ thể các em sẽ thấy được phương pháp của dạng này.
Ví dụ 14: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x
2
Giải:
DÔ thÊy a
1
b
1
= 3.3 = 9.1 = c
1
d
1
vµ a
2
b
2

= 2.(-5) =(-1).10 =c
2
d
2
P(x) = (9x
2
– 9x – 10)(9x
2
+ 9x – 10) + 24x
2
§Æt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x
2
– 9x – 10 th× P(x) trë thµnh:
Q(y) = y(y + 10x) = 24x
2
T×m m.n = 24x
2
vµ m + n = 10x ta chän ®îc m = 6x , n = 4x
Ta ®îc: Q(y) = y
2
+ 10xy + 24x
2
= (y + 6x)(y + 4x)
Do ®ã: P(x) = ( 9x
2
– 3x – 10)(9x
2
– 5x – 10).
Bài tập áp dụng:
1)

( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 3 6 32x x x x x− + + − +
5)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 4 5 10 54x x x x x− − − − −
2)
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 4 2 8 4x x x x x+ − + − +
6)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 4 6 12 36x x x x x+ − + − +
3)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3 6 4 72x x x x x− − − − −
7)
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 5 6 10 12 3x x x x x+ + + + −
4)
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 1 5 15 64x x x x x+ − − + +
8)
( ) ( ) ( ) ( )
2

2 3 8 12 4x x x x x+ + + + −
- 21 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ
Dạng 15: Dạng đoán nghiệm
Phương pháp:
 Nếu đa thức
( )
1 1 0
1

n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + +
có nghiệm nguyên là
0
x x=
thì
0
x
là một
ước của hệ số tự do
0
a
, khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử
0
x x=
. Vì vậy

đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy một nghiệm của nó để định hướng
cho việc phân tích ra nhân tử.
 Nếu đa thức
( )
1 1 0
1

n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + +
có nghiệm hữu tỉ là
p
x
q
=
(dạng tối giản)
thì p là một ước của hệ số tự do
0
a
còn q là ước dương của hệ số cao nhất
n
a
. Khi phân tích
f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx – p.
Ví dụ 15: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) f(x) = x
3

- x
2
– 4 2) f(x) = 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5
Giải:
1) f(x) = x
3
- x
2
- 4
Ta lần lượt kiểm tra với x = ±1; ±2; ±4 ta thấy f(2) = 0.
Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x – 2.
Từ đó: f(x) = x
3
- x
2
- 4 = (x
3
- 2x
2
) + (x
2
- 2x) + (2x - 4)
= x
2
(x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2)
= (x - 2)(x

2
+ x + 2).
2) f(x) = 3x
3
– 7x
2
+ 17x – 5
Theo ví dụ 4, ta thấy các số ±1; ±5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy đa thức không có
nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác.
Xét các số
3
5
;
3
1
±±
, ta thấy
3
1
là nghiệm của đa thức, do đó khi phân tích ra nhân tử, đa thức
chứa nhân tử 3x – 1.
Từ đó: f(x) = 3x
3
– 7x
2
+ 17x – 5 = (3x
3
– x
2
) – (6x

2
– 2x) + (15x – 5)
= x
2
(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(x
2
– 2x + 5).
Bài tập áp dụng:
1) f(x)=x
3
– 6x
2
+11x – 6
2) g(x) =
5 4 3 2
x + 6x +13x +14x +12x + 8
3) h(x) =
4 3 2
2x + 7x - 2x -13x + 6
.
Dạng 16: Đặt biến phụ dạng khác
Phương pháp: Đối với dạng này chúng ta cần biến đổi thêm một số bước để đưa về dạng
trên.
Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)
( ) ( ) ( )
2
2 1 1 2 3 18x x x+ + + −
2)

( ) ( ) ( ) ( )
4 1 12 1 3 2 1 4x x x x+ − + + −
Giải:
1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 1 1 2 3 18 2 1 2 3 1 18 4 8 3 2 1 18A x x x x x x x x x x= + + + − = + + + − = + + + + −
- 22 -
PHN TCH A THC THNH NHN T T KHể N D
t
2
2 1x x t+ + =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
4 1 18 4 18 2 4 9 2 1 2 4 2 1 9
2 3 4 8 4 9 2 3 4 8 5
A t t t t t t x x x x
x x x x x x x x

= = = + = + + + + +

= + + + + = + + +
2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 1 12 1 3 2 1 4 4 1 3 2 12 1 1 4A x x x x x x x x= + + + = + + +

( ) ( )
2 2
12 11 2 12 11 1 4x x x x= + + +
t
2
12 11 2x x t+ + =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
3 4 3 4 1 4 12 11 2 1 12 11 2 4
12 11 3 12 11 2
A t t t t t t x x x x
x x x x
= = = + = + + + + +
= + + +
Bi tp ỏp dng:
1)
( ) ( ) ( )
2
6 5 3 2 1 35x x x+ + +
2)
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 3 2 3 9x x x x+ +
Dng 17: Phõn tớch a thc thnh nhõn t bng phng phỏp t bin ph
dng h s bt nh
Phng phỏp: Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng nhất với
nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) và g(x) luôn có
các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau.

1
1 1 0
1
1 1 0
1 1 1 1 0 0
( )
( )
( ) ( ) ; ; ; ;
n n
n n
n n
n n
n n n n
f x a x a x a x a
g x b x b x b x b
f x g x a b a b a b a b





= + + + +
= + + + +
= = = =
Vớ d 17: Phõn tớch a thc thnh nhõn t:
1) f(x) = x
2
+ 3x + 2
2) g(x) = x
3

19x 30
3) h(x) = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1
4) f(x) = x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3
Gii:
1) f(x) = x
2
+ 3x + 2
Vì hệ số của hạng tử có bậc cao nhất là (x
2
) là 1 nên f(x) có thể phân tích thành hai
nhân tử x + a, x + b, ta có:
x
2
+ 3x + 2 = (x + a)(x + b)

x
2
+ 3x + 2 = x

2
+ (a + b)x + ab

3
2
a b
ab





+ =
=
Từ a + b = 3 => a = 3 - b. Đem thế vào ab = 2, ta đợc:
ab = 2 => b(3 - b) = 2

-b
2
+ 3b - 2 = 0


-b
2
+ b + 2b -2 = 0


-b(b - 1) + 2(b - 1) = 0
- 23 -
PHN TCH A THC THNH NHN T T KHể N D

(b - 1)(b - 2) = 0


1
2
b
b




=
=
Cho b = 1 => a = 2 hoặc b = 2 => a = 1.
Trong cả hai trờng hợp này ta đều đợc kết quả:
f(x) = x
2
+ 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
Vậy f(x) = (x +1)(x + 2).
Chú ý: Có thể phân tích đa thức trên thành nhân tử bằng cách tách và nhóm các hạng tử:
x
2
+ 3x + 2 = x
2
+ x+ 2x + 2
= x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x + 2).
2) g(x) = x

3
- 19x - 30
Kết quả phải tìm có dạng:
(x + a)(x
2
+ bx + c = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoả mãn:
x
3
- 19x - 30 = x
3
+ (a +b)x
2
+ (ab +c)x + ac
Vì hai đa thức đồng nhất, nên ta có:
0
19
30
+ =


+ =


=

a b

ab c
ac
Vì a,c thuộc số nguyên và tích ac = -30, do đó a, c là ớc của -30 hay a, c ={

1,

2,

3,

5,

6,

10,

15,

30 }
a = 2, c = 15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ trên.
Vậy g(x) = x
3
- 19x - 30 = (x + 2)(x
2
- 2x - 15)
3) h(x) = x
4
+ 6x
3
+ 7x

2
+ 6x + 1
Dễ thấy

1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm
nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỷ. Nh vậy nếu đa thức đã cho phân tích thành nhân tử
thì phải có dạng:
(x
2
+ ax + b)( x
2
+ cx + d) = x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad +bc)x +bd
Đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho, ta có:
x
4
+ 6x
3
+7x
2
+ 6x + 1 =x
4
+(a + c)x
3
+ (ac + b +d)x

2
+ (ad + bc)x +bd
6
7
6
1
+ =


+ + =


+ =


=

a c
ac b d
ad bc
bd
Từ hệ phơng trình trên ta tìm đợc: a = b = d = 1, c = 5
Vậy h(x) = x
4
+ 6x
3
+7x
2
+ 6x + 1 = (x
2

+ x + 1)(x
2
+ x + 5).
4) f(x) = x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3
Nhn xột: Cỏc s 1; 3 khụng phi l nghin ca a thc f(x) nờn a thc khụng cú
nghim nguyờn, cng khụng cú nghim hu t. Nh vy nu f(x) phõn tớch c thnh nhõn
t thỡ phi cú dng: (x
2
+ ax + b)( x
2
+ cx + d), vi a, b, c, d Z.
- 24 -
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ
Khai triển dạng này ra ta được đa thức: x
4
+ (a+c)x
3
+ (ac+b+d)x
2
+ (ad+bc)x + bd.
Đồng nhất đa thức này với f(x) ta được hệ điều kiện:








=
−=+
=++
−=+
.3
14
12
6
bd
bcad
dbac
ca
Xét bd = 3, với b, d ∈ Z, b ∈ {±1; ±3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trở thành:





−=+
=
−=+
.143
8
6
ca
ac

ca
Từ đó ta tìm được: a = -2; c = -4. Vậy f(x) = (x
2
- 2x + 3)( x
2
- 4x + 1).
Ta trình bày lời giải như sau:
f(x) = x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3 = (x
4
- 4x
3
+ x
2
) - (2x
3
+ 8x
2
- 2x) + (3x
2
-12x +3)
= x
2
(x
2

- 4x + 1) - 2x(x
2
- 4x + 1) + 3(x
2
- 4x + 1)= (x
2
- 4x + 1)(x
2
- 2x +3).
Bài tập áp dụng:
1) f(x) =
− + −
3 2
9 26 24x x x
2) g(x) =
− + − +
4 3 2
6 12 14 3x x x x
3) h(x) =
− +
4
8 63x x
Dạng 18: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng
Phương pháp: Áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học.
Ví dụ 18: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z

2
(x - y).
2) Q = a(b + c - a)
2
+ b(c + a - b)
2
+ c(a + b - c)
2
+ (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b).
Giải:
1) P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y).
Nhận xét: Nếu thay x bởi y thì P = 0, nên P chia hết cho x - y
Hơn nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi ( Ta nới đa thức P có thể
hoán vị vòng quanh). Do đó: P chia hết cho x - y thì P cũng chia hết cho y - z và z - x.
Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3 đối với
tập hợp các biến.
Ta có: P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) đúng với mọi x, y,
z ∈ R nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong.

Chú ý: Các giá trị của x, y, z ta có thể chọ tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để tránh
P = 0 là được.
Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*), ta tìm được a = - 1
Vậy: P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z).
2) Q = a(b + c - a)
2
+ b(c + a - b)
2
+ c(a + b - c)
2
+ (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b).
- 25 -