Giáo án đại số 11 học kì II

Đại số và Giải tích 11_HKII
Ngày dạy: 23/12/2013 – 28/12/2013 (11c1) Tuần: 19
Chương IV: GIỚI HẠN
Tiết 49: § 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
1. Kiến thức: - Nắm được đònh nghóa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới
hạn là vô cực. Ghi nhớ một số giới hạn đặc biệt.
- Nắm được đònh lý về giới hạn hữu hạn để tính các giới hạn thường gặp.
- Nắm được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
2. Kỹ năng:
- Tính được giới hạn của các dãy số thường gặp.
- Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
3.Thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. TRỌNG TÂM :
Giới hạn hữu hạn của dãy số.
III. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:
1.Chuẩn bò của Gv:
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bò một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trò của | u
n
| như trong SGK.
2.Chuẩn bò của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
1. Ổn đònh lớp.
Ổn đònh lớp và kiểm tra só số vắng, vệ sinh của lớp.
2. Kiểm tra bài cũ:
Hãy biểu diễn dãy số (u

n
) với u
n
=
1
n
lên trục số. ( Chia nhóm, mỗi nhóm biểu diễn lên
bảng con của nhóm mình)
3. Bài mới:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS Nội dung bài học ghi bảng
HĐ1:
GV: Xét dãy số ở phần bài cũ. Khoảng cách
từ điểm u
n
đến điểm 0 thay đổi như thế nào
khi n đủ lớn?
HS: Nhìn vào hình biểu diễn để nhận xét.
GV: Yêu cầu HS tìm số hạng u
k
để từ số
hạng đó trở về sau khoảng cách từ nó đến số
0 nhỏ hơn 0.01 ? .nhỏ hơn 0.001? (GV hướng
dẫn hs thực hiện)
HS: Thực hiện theo nhóm
GV: Dựa vào việc thực hiện trên đưa ra
nhận xét rằng khoảng cách từ u
n
đến số 0
nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn số n đủ
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Đònh nghóa dãy số có giới hạn 0:
Xét dãy số(u
n
) với
1
u =
n
n
, tức là dãy số
1 1 1 1 1
1, , , , , , ,
2 3 4 5 n
Khoảng cách
n
-0 = u
1
u =
n
n
từ điểm u
n
đến 0 trở
nên hỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.
Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số
hạng nào đó trở đi, đều có giá trò tuyệt đối nhỏ
hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước. Ta nói
rằng dãy số
1
n
có giới hạn 0 khi n dần tới dương

Trang 1
Đại số và Giải tích 11_HKII
lớn
+Tổng quát hoá đi đến đ\n dãy có giơi hạn
0.
vô cực
Đònh nghóa 1: Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là 0
khi n dần tới dương vơ cực nếu
n
u
có thể hơn một
số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:
0lim
=
+∞→
n
n
u
hay
+∞→→ nkhiu
n
0
Ví dụ: (làm ví dụ 1 SGK- trang 113)
HĐ2:
GV: Đặt vấn đề:Cho dãy số (u
n
) với u

n
=
1
2+
n
-Hãy biểu diễn dãy lên trục số.
-Khi n càng lớn thì u
n
càng gần vối số
nào?
HS: Làm việc theo nhóm sau đó đưa ra nhận
xét u
n
càng gần đến số 2
GV: Dựa vào nhận xét trên liên hệ với phần
1 để đưa ra đònh nghóa 2
GV: Hướng dẫn hs làm

2. Đònh nghóa dãy số có giới hạn là 1 số
Đònh nghóa 2: Ta nói dãy số (v
n
) có giới hạn là số a
(hay v
n
dần tới a) khi
+∞→
n
, nếu
( )
0lim

=−
+∞→
av
n
n
Kí hiệu:
av
n
n
=
+∞→
lim
hay
+∞→→
nkhiav
n
Ví dụ : Cho dãy số (v
n
) với v
n
=
3n+1
n
, CMR:
n
n +
lim v
→ ∞
= 3
Ta có:

n
n +
lim (v 3)
→ ∞
−
=
n +
3n+1
lim ( 3)
n
→ ∞
−
=
n +
1
lim
n
→ ∞
= 0
Vậy
n
n +
lim v
→ ∞
= 3
GV: cho dãy số u
n
=
4
1

n
, v
n
=
n
2
( )
5
, w
n
= 3, hãy
biểu diễn lên trục số sau đó dự đoán giới hạn
các dãy này,
HS: Làm việc theo nhóm
GV: ghi lên bảng , yêu cầu hs nắm kỹ
3. Một vài giới hạn đặc biệt
a).
n +
1
lim
n
→ ∞
= 0 ;
n +
1
lim
k
n
→ ∞
= 0 (k ∈ N

*
);
b).
n
n +
lim q
→ ∞
= 0 nếu q<1
c). Nếu u
n
= c (hằng số) thì
n
n +
lim u = c
→ ∞
HĐ3
GV: Yêu cầu HS đọc đ lý sgk và ghi lên
bảng Nội dung bài học của đònh lý đó
HĐ 4
GV: Hướng dẫn hs biến đổi các giới hạn đã
cho về các tổng, hiệu, tích, thương các giới
hạn đặc biệt
HS: Biến đổi theo hướng dẫn của gv sau đó
áp dụng đ lý 1 để tìm giới hạn
II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
1.Đònh lý 1.
)lim ;lim :
n n
a u a v b= =
lim( ) ;lim( )

n n n n
u v a b u v a b+ = + − = −
lim( . ) . ;lim ( 0)
n
n n
n
u
a
u v a b b
v b
= = ≠
) 0, ,lim : 0,lim
n n n
b u n u a a u a≥ ∀ = ≥ =
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Tìm lim
2
2
2n +3
1-3n
Ta có: lim
2
2
2n +3
1-3n
= lim
2
2
3
2+

n
1
-3
n
=
2
3
−
Ví dụ 2: Tìm lim
2
5n-2
3+4n
Ta có lim
2
5n-2
3n+4n
= lim
2
2
n(5- )
n
3
n ( +4)
n

Trang 2
Đại số và Giải tích 11_HKII
= lim
2
n(5- )

n
3
n ( +4)
n
= lim
2
(5- )
n
3
( +4)
n
=
5
2
4. Câu hỏi củng cố và luyện tập :
- Ghi nhớ các giới hạn đặc biệt.
- Đònh lý về giới hạn hữu hạn, áp dụng tính các giới hạn thường gặp.
- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
5. Hướng dẫn học ở nhà :
Bài tập về nhà:1,2,3,5,7,8 (tr121,122)
V. Rút kinh nghiệm
- Nội dung:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- Phương pháp:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:
……………………………………………………………………………………………………………
Ngày dạy: 30/12/2013 – 04/01/2014 (11c1) Tuần: 20

Tiết 50: § 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt)
I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
1.Kiến thức:
- Nắm được đònh nghóa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô
cực. Ghi nhớ một số giới hạn đặc biệt.
- Nắm được đònh lý về giới hạn hữu hạn để tính các giới hạn thường gặp.
- Nắm được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
2.Kỹ năng:
- Tính được giới hạn của các dãy số thường gặp.
- Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
3.Thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. TR ỌNG TÂM :
Giới hạn vơ cực của dãy số.
III. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:
1.Chuẩn bò của Gv:
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bò một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trò của | u
n
| như trong SGK.
2.Chuẩn bò của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
1.Ổn đònh lớp.
Trang 3
Đại số và Giải tích 11_HKII
Ổn đònh lớp và kiểm tra só số vắng, vệ sinh của lớp.
2. Kiểm tra bài cũ:

Nêu định nghĩa 1, định nghĩa 2, 1 vài giới hạn đặc biệt của dãy số.
Đònh nghóa 1: Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vơ cực nếu
n
u
có thể
hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:
0lim
=
+∞→
n
n
u
hay
+∞→→ nkhiu
n
0
Đònh nghóa 2: Ta nói dãy số (v
n
) có giới hạn là số a (hay v
n
dần tới a) khi
+∞→
n
, nếu
( )
0lim
=−

+∞→
av
n
n

Kí hiệu:
av
n
n
=
+∞→
lim
hay
+∞→→
nkhiav
n
Một vài giới hạn đặc biệt
a).
n +
1
lim
n
→ ∞
= 0 ;
n +
1
lim
k
n
→ ∞

= 0 (k ∈ N
*
);
b).
n
n +
lim q
→ ∞
= 0 nếu q<1
c). Nếu u
n
= c (hằng số) thì
n
n +
lim u = c
→ ∞
3. Tiến trình bài học:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS Nội dung bài học ghi bảng
HĐ 5
GV: Yêu cầu hs nhắc lại công thức tính tổng
của n số hạng đầu của cấp số nhân.
HS: Đứng tại chổ trả lời
GV: Biến đổi công thức thành S=
n
1 1
u u
-( ).q
1-q 1-q
sau đó yêu cầu học sinh
tính giới hạn lim S, từ đó có được công thức

GV: yêu cầu hs nhận xét các CSN có phải là
CSN lùi vô hạn hay không sau đó yêu cầu hs
tính.
HS: Làm việc theo nhóm
HĐ6
GV: Hướng dẫn hs thực hiện h động 2 sgk từ
II. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ
HẠN.
1. Đònh nghóa: CSN vô hạn có công bội q với
q<1 gọi là CSN lùi vô hạn
2. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi
vô hạn:
1
u
S= ( q <1)
1-q

3. Ví dụ
a)Tính tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn (u
n
)
với u
n
=
1
5
n
Ta có u
1
=

1
5
và q =
1
5
nên CSN đã cho là 1 CSN
lùi vô hạn : S =
1
5
1
1
5
−
=
1
4
b) Tính S= 1+
2 3 4 n
1 1 1 1 1

2 2 2 2 2
+ + + + + +
Các số hạng của tổng tạo thành 1 CSN lùi vô hạn
có u
1
= 1 và q=
1
2
nên S =
1

2
1
1
2
=
−
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Đònh nghóa : Dãy số (u
n
) có giới hạn +∞ khi
n → +∞ , nếu u
n
có thể lớn hơn một số dương bất kỳ,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim u
n
= +∞ hay u
n
→ +∞ khi n → +∞
*Dãy số (u
n
) có giới hạn -∞ khi n → +∞ , nếu
lim (-u
n
)

= +∞
Trang 4
Đại số và Giải tích 11_HKII
đó dẫn tới đònh nghóa

GV: Cho dãy u
n
= n
3
, hãy biểu diễn dãy lên
trục số.Khi n càng lớn, có nhận xét gì về các
số u
n
?.Từ đó tổng quát hóa thành các giới
hạn ở phần 2.
HS: Làm việc theo nhóm, đưa ra nhận xét.

GV: Ghi lên bảng các gh đặc biệt, yêu cầu
hs nhớ
GV: Hướng dẫn hs đặt thừa số chung (hoặc
chia tử và mẫu cho n) để đưa về tổng, hiệu,
tích, thương của các giới hạn đặc biệt,sau đó
áp dụng đly 1.
HS: Làm sau đó lên bảng giải
Kí hiệu: lim u
n
= - ∞ hay u
n
→ - ∞ khi n → +∞
Nhận xét: lim u
n
= +∞ ⇔ lim(- u
n
) = - ∞
VD: a) Tính tổng của CSN lùi vơ hạn (u

n
): u
n
=
1
3
n

Ta có:
1
1
1 1 1 1 1
3

1
3 9 27 3 1 2
1
3
n
u
S
q
= + + + + + = = =
−
−
b) Tính tổng:
1
1 1 1 1
1
2 4 8 2

n−
 
− + − + + − +
 ÷
 

1
1 2
1
1 3
1
2
u
S
q
= = =
−
 
− −
 ÷
 
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim n
k
= +∞ với k ngun dương .
b) limq
n
= +∞ nếu q > 1
3. Đònh lý : Đònh lý 2
)lim ,lim lim 0

n
n n
n
u
a u a v
v
= = ±∞ ⇒ =
)lim 0,lim 0, 0( ) lim
n
n n n
n
u
b u a v v n
v
= > = > ∀ ⇒ = +∞
)lim ,lim 0 lim .
n n n n
c u v a u v= +∞ = > ⇒ = +∞
Các ví dụ: a). Tìm lim
n
7-2n
(n-3).5
lim
n
7-2n
(n-3).5
= lim
n
7
n( -2)

n
3
n(1- ).5
n
=lim
n
7
( -2)
n
3
(1- ).5
n
= 0
b) Tìm lim (2n
2
+3n – 4)
Ta có lim (2 +3n – 4n
2
) = lim
2
2
2 3
n ( + -4)
n n
= limn
2
. lim
2
2 3
( + -4)

n n
= - ∞
4. Câu hỏi củng cố và luyện tập :
- Ghi nhớ các giới hạn đặc biệt.
- Đònh lý về giới hạn hữu hạn, áp dụng tính các giới hạn thường gặp.
- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
5. Hướng dẫn học ở nhà :
Bài tập về nhà:1,2,3,5,7,8 (tr121,122)
V. Rút kinh nghiệm
- Nội dung:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- Phương pháp:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:
……………………………………………………………………………………………………………
Trang 5
Đại số và Giải tích 11_HKII
Ngày dạy: 06/01/2014 – 11/01/2014 (11c1) Tuần: 21
Tiết 51 LUYỆN TẬP
I. Mục tiêu: HS cần nắm được:
1. Về kiến thức:
 Vận dụng đònh nghóa giới hạn của dãy số vào việc giải một số bài toán đơn giản liên
quan đến giới hạn .
 Vận dụng các đònh lý về giới hạn trình bày trong sách để tính giới hạn của các dãy số
đơn giản.
 Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài
toán liên quan có dạng đơn giản.
2. Về kỷ năng:

 Nắm được các bước cơ bản giải một bài toán về giới hạn .
3. Thái độ:
 Hiểu được khái niệm giới hạn 0.
 Hiểu được khái niệm là số a.
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .
 Giới hạn vô cực .
II. TRỌNG TÂM:
Nắm được đònh nghóa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực. Ghi
nhớ một số giới hạn đặc biệt.
III. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:
1.Chuẩn bò của Gv: - Soạn giáo án.
- Chuẩn bò một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
2.Chuẩn bò của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
IV. Tiến trình d ạ y học
1. Ổ n đị nh t ổ ch ứ c : kiểm diện sĩ số
2. Ki ể m tra mi ệ ng :
Nêu định nghĩa giới hạn vơ cực ( 8 đ)
Dãy số (u
n
) có giới hạn +∞ khi n → +∞ , nếu u
n
có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một
số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim u
n
= +∞ hay u
n
→ +∞ khi n → +∞
*Dãy số (u
n

) có giới hạn -∞ khi n → +∞ , nếu lim (-u
n
)

= +∞ Kí hiệu: lim u
n
= - ∞ hay u
n
→ - ∞
khi n → +∞
Nhận xét: lim u
n
= +∞ ⇔ lim(- u
n
) = - ∞
3. Ti ế n trình bài họ c :
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS NỘI DUNG BÀI HỌC
* hoạt động 1 :
Bài 1 :
Học sinh hiểu được ứng dụng thực tế của khái
niệm giới hạn trong một môn học khác
Bài tập này củng cố khái niệm giới hạn của
dãy số .
Học sinh hiểu rõ hơn ý tưởng “ nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở
đi” .
Bài 1 : a)
1 2 3
1 1 1
; ;

2 4 8
u u u= = =
;…
bằng quy nạp ta chứng minh được
1
2
n
n
u =
b)
1
lim lim 0
2
n
n
u
 
= =
 ÷
 
( theo tính chất
lim 0
n
q =
nếu
1).q <
c)
6 6 3 9
1 1 1 1
( ) . ( ) ( )

10 10 10 10
g kg kg= =
Trang 6
Đại số và Giải tích 11_HKII
Giáo viên hướng dẫn các em giải bài tập này .
Giáo viên có thể giải thích rõ ràng cụ thể hơn
đối với câu c ) chọn n
0
là một số cụ thể .
Vì
0
n
u →
nên
1
2
n
n
u =
có thể nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở
đi. Như vậy
n
u
nhỏ hơn
9
1
10
kể từ chu kì n
0

nào đó. Nghóa là sau một số năm ứng với chu
kỳ này, khối lượng chất phóng xạ không còn
độc hại đối với con người .
* Hoạt động 2 :
GV: Học sinh nhắc lại đònh nghóa giới hạn ?
GV: Một học sinh lên bảng trình bày . Em khác
nhận xét .Giáo viên sữa nhận xét cho điểm
Bài 2 :
Vì
3
1
lim 0
n
=
nên
3
1
n
có thể nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở
đi. Mặt khác , ta có
3 3
1 1
1
n
u
n n
− < =
với mọi n.
Từ đó suy ra

1
n
u −
có thể nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở
đi, nghóa là
( )
lim 1 0
n
u − =
. Do đó
lim 1
n
u =
.
* Hoạt động 3
Chia lớp làm 4 tổ mỗi tổ có một bảng con,
phấn, bút lông để làm việc
HS có thể thay đổi chỗ ngồi, giáo viên quy đònh
thời gian cho các em làm bài. Tổ nào mặt bằng
khá hơn giáo viên giao cho câu c và câu d .
Sau khi học sinh làm xong giáo viên hoàn
chỉnh lại bài cho các em , cho điểm các tổ .
Đây là các dạng bài tập cơ bản .
Giáo viên có thể tổng quát cho các em
.
lim ( 0, 0)
.
a n b a
a c

c n d c
+
= ≠ ≠
+
2
2
.
lim ( 0, 0)
.
a n bn c a
a d
d n en f d
+ +
= ≠ ≠
+ +
Bài 3 : a)
1
6
6 1 6
lim lim 3
2
3 2 2
3
n
n
n
n
−
−
= = =

+
+
.
b)
2
2
2
2
1 5
3
3 5 3
lim lim
1
2 1 2
2
n n
n n
n
n
+ −
+ −
= =
+ +
+
c)
3
3
5
5
3 5.4

4
4
lim lim lim 5
2
4 2
1
1
1
4
2
n
n
n n
n
n n
n n
n
 
+
+
 ÷
+
 
= = =
+
 
+
+
 ÷
 

d)
2
2
1 1
9
9 1 3
lim lim
2
4 2 4
4
n n
n n
n
n
− +
− +
= =
−
−
* Hoạt động 4 GV: Học sinh nhắc lại công thức
tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .
( ghi nhớ với công bội có GTTĐ bé hơn 1 )
GV: Một học sinh lên làm câu a . ( Dự đoán
công thức của u
n
và chứng minh bằng phương
pháp quy nạp ). Giáo viên sữa bài và gọi một
em khác lên làm câu b , giáo viên nhận xét rồi
cho điểm .
Bài 4 :

a)
1 2 3
2 3
1 1 1 1
; ; ;
4 4 4 4
n
n
u u u u= = = =
.
b) theo công thức tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn ta có :
1
1
1
4
lim
1
1 3
1
4
n
u
S
q
= = =
−
−
* Hoạt động 5 : GV: Mỗi số hạng trong tổng S
là số hạng của 1 cấp số nhân với

1
1
1,
10
u q= − = −
HS: lên bảng làm bài .
Bài 5 : Theo công thức ta có :
1
1 10
1
1 11
1
10
u
S
q
−
= = = −
−
 
− −
 ÷
 
* Hoạt động 6 :
Bài 6 :
Trang 7
Đại số và Giải tích 11_HKII
GV: Sữa bài này.
2
2 2 2

1,020202 1
100 100 100
n
a = = + + + + +
2
2 101
100
1 1
1
99 99
1
100
= + = + =
−
( vì
2
2 2 2
, , , ,
100 100 100
n
là một cấp số nhân lùi
vô hạn , công bội
1
).
100
q =
* Hoạt động 7 : Chia lớp làm 4 tổ
Sau khi hs làm xong gv hoàn chỉnh lại bài cho
các em, cho điểm các tổ . Đây là các dạng bt cơ
bản .

Bài 7 : ( đáp số)
a)
+∞
; b)
−∞
;
c)
1
2
−
; d)
+∞
;
* Hoạt động 8 :
GV: Gợi ý cho các em
Gọi hai học sinh lên bảng làm bài các em ở
dưới làm bài và nhận xet kết quả của bạn .
Bài 8 :
a)
( )
lim 3 1
3 1
lim
1 lim 1
n
n
n n
u
u
u u

−
−
=
+ +

3lim 1
2
lim 1
n
n
u
u
−
= =
+
b)
2
2
2
1 2
2
lim lim 0
1
1
1
n n n
n
n
v v v
v

v
+
+
= =
−
−
4. Câu hỏi củng cố và luyện tập :
 Kó năng khi làm một bài toán tìm giới hạn của một dãy số
 Kó năng đánh giá một biểu thức so với một hằng số
 Nắm bắt một số công thức cơ bản
5. Hướng dẫn học sinh tự học:
Về soạn bài giới hạn của hàm số .
V. Rút kinh nghiệm:
- Nội dung:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- Phương pháp:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:
……………………………………………………………………………………………………………
Ngày dạy: 13/01/2014 – 18/01/2014 (11c1) Tuần: 22
Tiết 52 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I. MỤCTIÊU:
1. Kiến thức:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và đònh nghóa của nó .
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .

2. Kó năng: Giúp học sinh
Trang 8
Đại số và Giải tích 11_HKII
o Rèn luyện kó năng giải một số bài tập áp dụng đơn giản tại lớp , và các bài tập trong SGK
3. Thái độ :
o Cẩn thận, chính xác.
o Phát triển tư duy logic.
II. TRỌNG TÂM:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và đònh nghóa của nó .
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .
III. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
o Giáo viên chuẩn bò các phiếu học tập
o Học sinh đọc qua Nội dung bài học bài mới ở nhà .
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn đònh t ổ ch ứ c : kiểm diện sĩ số
2. Ki ể m tra mi ệ ng :
Nêu định nghĩa giới hạn vơ cực ( 8 đ)
Dãy số (u
n
) có giới hạn +∞ khi n → +∞ , nếu u
n
có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một
số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim u
n
= +∞ hay u
n
→ +∞ khi n → +∞
*Dãy số (u

n
) có giới hạn -∞ khi n → +∞ , nếu lim (-u
n
)

= +∞ Kí hiệu: lim u
n
= - ∞ hay u
n
→ - ∞
khi n → +∞
Nhận xét: lim u
n
= +∞ ⇔ lim(- u
n
) = - ∞
3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài học
* Hoạt động 1: Xét hàm số
( )
2
2 2
1
x x
f x
x
−
=
−
.

1. Cho biến x những giá trò khác 1 lập thành dãy số
( )
, 1
n n
x x →
như trong bảng sau :
x
2
1
x =
3
2
2
x =
4
3
3
x =
5
4
4
x =

1
n
n
x
n
+
=

1→
( )
f x
( )
1
f x
( )
2
f x
( )
3
f x
( )
4
f x
( )
f x
n

?→
Khi đó ,các giá trò tương ứng của hàm số
( ) ( ) ( )
1 2
, , , ,
n
f x f x f x
cũng lập thành một dãy số
mà ta kí hiệu là
( )

( )
.
n
f x
a) Chứng minh rằng
( )
2 2
2 .
n n
n
f x x
n
+
= =
b) Tìm giới hạn của dãy số
( )
( )
.
n
f x
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM
SỐ
1. Đònh nghóa :
Cho khoảng K chứa điểm x
0
và hàm số y =
f(x)
xác định tên K hoặc trên K\ {x
0
}.

Hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x
dần tới
x
0
nếu với dãy số (x
n
) bất kỳ, x
n
∈ K\ {x
0
}
và x
n
→ x
0
, ta có f(x
n
) → L.
KH :
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
hay f(x)→L khi x → x
0
VD: Tính
( ) ( )
( )

2
2 2
2 2
4
lim lim 4
2 2
x x
x x
x
x x
→− →−
+ −
−
= = −
+ +

Trang 9
Đại số và Giải tích 11_HKII
2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì
( )
, 1
n n
x x ≠
và
1
n
x →
, ta luôn có
( )
2

n
f x →
.
GV: yêu cầu học sinh làm câu hỏi 1, giáo viên hướng
dẫn cho các em làm câu 2 .
GV: các em sử dụng đònh nghóa chứng minh
( )
2
lim 4
x
f x
→−
= −
.
HS: nêu cách chứng minh bằng đònh nghóa .
GV: các em nhận xét
0 0
lim ?; lim ?
x x x x
x c
→ →
= =
HS:
0 0
0
lim ; lim
x x x x
x x c c
→ →
= =

Gv: yêu cầu học sinh giải thích .
Ví dụ : Cho hàm số
( )
2
4
2
x
f x
x
−
=
+
. Chứng minh
rằng
( )
2
lim 4
x
f x
→−
= −
.
*Hàm số đã cho xác đònh trên
{ }
\ 2¡
.
Giả sử
( )
n
x

là một dãy bất kỳ , thõa mãn
2
n
x ≠ −

và
2
n
x → −
khi
n → +∞
.
Ta có :
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
4
lim lim lim
2 2
n n
n
n n
x x
x
f x
x x
+ −
−

= =
+ +
( )
lim 2 4
n
x= − = −
NHẬN XÉT:
0 0
0
lim ; lim
x x x x
x x c c
→ →
= =
, với c là hằng số .
GV: Cho học sinh thừa nhận đònh lý 1.
Gv giải thích cho học sinh dễ hiểu các đònh
lý này như phép cộng phép nhân , phép chia
các số .
GV: Trong khi thực hành làm bài tập thì ít
khi ta dùng đònh nghóa , mà ta thường sử
dụng đònh lý 1 kết hợp với các giới hạn đơn
giản đã biết trước đó .
GV: Cho học sinh làm các ví dụ , hướng dẫn
cho các em sử dụng đònh lý 1 .
GV: cách làm trong sgk là chỉ tường tận cho
học sinh các bước , cho các em hiểu rõ ràng
nhất cách làm bài toán các tư duy logic dẫn
đến bài toán .
Khi các em đã hiểu rõ bài toán và làm tốt có

thể trình bày như sau:
( )
2 2
3 3
1 3 1 5
lim lim
2 2 3 3
x x
x
f x
x
→ →
+ +
= = =
( chú ý trong những trường hợp mà có biểu
thức tính giói hạn là đa thức theo x hoặc khi
thay giá trò của x= x
0
thì biểu thức tính giới
hạn là có đạt giá trò hữu hạn … thì giới hạn
của biểu thức chính là giá trò của biểu thức
2. Đònh lý giới hạn hữu hạn : Đònh lý 1:
a) Giả sử
( ) ( )
0 0
lim , lim
x x x x
f x L g x M
→ →
= =

khi đó
•
( ) ( )
0
lim ;
x x
f x g x L M
→
+ = +
 
 
•
( ) ( )
0
lim ;
x x
f x g x L M
→
− = − 
 
•
( ) ( )
0
lim . . ;
x x
f x g x L M
→
=
 
 

•
( )
( )
0
lim ( 0)
x x
f x
L
M
g x M
→
= ≠
;
b) Nếu
( )
0f x ≥
và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
, thì
0L
≥
và
( )
0

lim
x x
f x L
→
=
( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới
hạn , với
0
)x x≠
Ví dụ 2 : Cho hàm số
( )
2
1
2
x
f x
x
+
=
. Tìm
( )
3
lim
x
f x
→
Theo đònh lý 1 ta có :
( )
( )
2

2
3
3 3
3
lim 1
1
lim lim
2 lim 2
x
x x
x
x
x
f x
x x
→
→ →
→
+
+
= =

2
3 3 3 3 3
3 3 3 3
lim lim1 lim .lim lim1
3.3 1 5
lim2.lim lim2. lim 2 3 3
x x x x x
x x x x

x x x
x x
→ → → → →
→ → → →
+ +
+
= = = =
Trang 10
Đại số và Giải tích 11_HKII
khi x= x
0
.
GV: Có tính được giới hạn bằng cách thay
giá trò x = 1 vào biểu thức được không?Vì
sao?
GV: sau này khi trình bày bài này học sinh
làm như sau :
( ) ( )
( )
2
1 1 1
1 2
2
lim lim lim 2 3.
1 1
x x x
x x
x x
x
x x

→ → →
− +
+ −
= = + =
− −
Ví dụ 3 : Tính
2
1
2
lim .
1
x
x x
x
→
+ −
−
Khi thay x = 1 thì biểu thức tính giưới hạn không
có nghóa , nhưng ta có thể làm như sau:
Với
1x
≠
ta có :
( ) ( )
2
1 2
2
2
1 1
x x

x x
x
x x
− +
+ −
= = +
− −
. Do đó :
( ) ( )
( )
2
1 1 1
1 2
2
lim lim lim 2 3.
1 1
x x x
x x
x x
x
x x
→ → →
− +
+ −
= = + =
− −
GV: Trong đònh nghóa về giới hạn hữu hạn
của hàm số khi
0
x x→

, ta xét dãy số
( )
n
x

bất kì ,
( ) { }
0
; \
n
x a b x∈
và
0
.
n
x x→
Giá trò
n
x

có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn
0
.x
Nếu chỉ xét các dãy
( )
n
x
mà x
n
luôn lớn hơn

x
0
(hay luôn nhỏ hơn x
0
) . thì ta có đònh nghóa
giới hạn một bên như sau :
GV nêu đònh nghóa sgk , giải thích kó cho các
em hiểu .
3. Giới hạn một bên
a) Đị nh ngh ĩ a 2:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x
0
; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số
y = f(x) khi x → x
0
nếu với dãy số (x
n
) bất kỳ,
x
0
< x
n
< b và x
n
→ x
0
, ta có f(x
n
) → L.

Kí hiệu:
0
lim ( )
x x
f x L
+
→
=
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x
0
).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số
y = f(x) khi x → x
0
nếu với dãy số (x
n
) bất kỳ,
a < x
n
< x
0
và x
n
→ x
0
, ta có f(x
n
) → L.
Kí hiệu:
0

lim ( )
x x
f x L
−
→
=
b) Định lý 2:
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
⇔
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
− +
→ →
= =
c) VD: Cho hàm số
2
5 2 1
( )
3 1
x x
f x
x khi x
+ ≥


=

− <



khi
Tìm
1
1 1
lim ( ), lim ( ),lim ( )
x
x x
f x f x f x
− +
→
→ →
nếu có.
Ta có:
( )
( )
2 2
1 1
1 1
1 1
lim ( ) lim 3 1 3 2
lim ( ) lim 5 2 5.1 2 7
lim ( ) lim ( )
x x

x x
x x
f x x
f x x
f x f x
− −
+ +
− +
→ →
→ →
→ →
= − = − = −
= + = + =
⇒ ≠
Vậy :
1
lim ( )
x
f x
→
khơng tồn tại.
4. Câu hỏi củng cố và luyện tập : Qua bài học học sinh cần nắm được
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .
5. Hướng dẫn học ở nhà :
o Bài tập 1,2,3,4,5.
o Đọc phần còn lại của bài.
V. Rút kinh nghiệm:
- Nội dung:

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Trang 11
Đại số và Giải tích 11_HKII
- Phương pháp:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:
……………………………………………………………………………………………………………
Ngày dạy: 13/01/2014 – 18/01/2014 (11c1) Tuần: 23
Tiết 53 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và đònh nghóa của nó .
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .
2. Kó năng: Giúp học sinh
o Rèn luyện kó năng giải một số bài tập áp dụng đơn giản tại lớp , và các bài tập SGK
3. Thái độ :
o Cẩn thận, chính xác.
o Phát triển tư duy logic.
II. TRỌNG TÂM:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và đònh nghóa của nó .
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .
III. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
o Giáo viên chuẩn bò các phiếu học tập
o Học sinh đọc qua Nội dung bài học bài mới ở nhà .

IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn đònh t ổ ch ứ c : kiểm diện sĩ số
2. Ki ể m tra mi ệ ng :
Nêu đònh lý giới hạn hữu hạn (8 đ)
Đònh lý 1:
a) Giả sử
( ) ( )
0 0
lim , lim
x x x x
f x L g x M
→ →
= =
khi đó
•
( ) ( )
0
lim ;
x x
f x g x L M
→
+ = + 
 
•
( ) ( )
0
lim ;
x x
f x g x L M
→

− = −
 
 
•
( ) ( )
0
lim . . ;
x x
f x g x L M
→
= 
 
•
( )
( )
0
lim ( 0)
x x
f x
L
M
g x M
→
= ≠
;
Trang 12
Đại số và Giải tích 11_HKII
b) Nếu
( )
0f x ≥

và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
, thì
0L
≥
và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn , với
0
)x x≠
3. Bài mới:
Hoạt động của GV và HS Nội dung bài
Hoạt động 1: Giới hạn hữu hạn của hàm số
tại vơ cực
- GV giới thiệu định nghĩa.
- HS nêu các nhận xét trên phiếu học tập, trả
lời.
Hoạt động 2: các ví dụ

- Gọi HS làm vd.
- Gọi HS khác nhận xét.
- GV nhận xét và đánh giá.
- GV nêu chú ý.
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực:
1. Định nghĩa 3:
a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; + ∞) .
Hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x→ + ∞ nếu
với dãy số (x
n
) bất kỳ, x
n
> a và x
n
→ + ∞, ta có f(x
n
)
→ L. Kí hiệu :
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
hay f(x) →L khi x→+ ∞.
b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (- ∞; a) .
Hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x→ - ∞ nếu
với dãy số (x
n
) bất kỳ, x
n

< a và x
n
→ - ∞, ta có f(x
n
) →
L. Kí hiệu:
lim ( )
x
f x L
→−∞
=
hay f(x) → L khi x→ - ∞.
2.VD: Cho
( )
2 3
.
1
x
f x
x
+
=
−
Tìm
( )
lim
x
f x
→−∞
và

( )
lim
x
f x
→+∞
.
( )
3
2
2 3
lim lim lim 2
1
1
1
x x x
x
x
f x
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
+
+
= = =
−
−
3. Chú ý:
a) Với c, k là hằng số và k ngun dương:

lim ; lim 0

k
x x
c
c c
x
→±∞ →±∞
= =
b) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x→
x
0
vẫn đúng khi x→ ± ∞.
Ví dụ: Cho hàm số f(x) =
2
2
3 2
1
x x
x
−
+
. Tìm
lim ( )
x
f x
→+∞
2
2
3 2
lim ( ) lim
1

x x
x x
f x
x
→+∞ →+∞
−
=
+

2
2
3
3 0
lim 3
1
1 0
1
x
x
x
→+∞
−
−
= = =
+
+
4. Câu hỏi củng cố và luyện tập : Qua bài học học sinh cần nắm được
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .

5. Hướng dẫn học ở nhà :
o Bài tập 1,2,3,4,5.
o Đọc phần còn lại của bài.
V. Rút kinh nghiệm:
- Nội dung:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- Phương pháp:
Trang 13
Đại số và Giải tích 11_HKII
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:
……………………………………………………………………………………………………………
Ngày dạy: 20/01/2014 – 25/01/2014 (11c1) Tuần: 23
Tiết 54 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
I. MỤCTIÊU:
1. Kiến thức:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và đònh nghóa của nó .
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .
2. Kó năng: Giúp học sinh
o Rèn luyện kó năng giải một số bài tập áp dụng đơn giản tại lớp , và các bài tập trong SGK
3. Thái độ :
o Cẩn thận, chính xác.
o Phát triển tư duy logic.
II. TRỌNG TÂM:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và đònh nghóa của nó .
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.

o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .
III. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
o Giáo viên chuẩn bò các phiếu học tập
o Học sinh đọc qua Nội dung bài học bài mới ở nhà .
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn đònh t ổ ch ứ c : kiểm diện sĩ số
2. Ki ể m tra mi ệ ng : Nêu đònh lý giới hạn hữu hạn (8 đ)
Đònh lý 1: a) Giả sử
( ) ( )
0 0
lim , lim
x x x x
f x L g x M
→ →
= =
khi đó
•
( ) ( )
0
lim ;
x x
f x g x L M
→
+ = + 
 
•
( ) ( )
0
lim ;

x x
f x g x L M
→
− = −
 
 
•
( ) ( )
0
lim . . ;
x x
f x g x L M
→
= 
 
•
( )
( )
0
lim ( 0)
x x
f x
L
M
g x M
→
= ≠
;
b) Nếu
( )

0f x ≥
và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
, thì
0L ≥
và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn , với
0
)x x≠
3. Bài mới:
Trang 14
Đại số và Giải tích 11_HKII
Hoạt động của GV và HS Nội dung bài
Hoạt động 1: Giới hạn vơ cực của hàm số.
- GV nêu định nghĩa.
- Gọi HS rút ra nhận xét.
Hoạt động 2:

GV: các em nhận xét các giới hạn sau và
giải thích ?
lim ?
k
x
x
→+∞
=
với k nguyên dương.
lim ?
k
x
x
→−∞
=
nếu k là số lẻ .
lim ?
k
x
x
→−∞
=
nếu k là số chẵn .
GV: Cho học sinh giải thích theo cách hiểu
của các em sau đó giáo viên chỉnh sữa giải
thích thêm .
Hoạt động 3: giới thiệu quy tắc về giới hạn vơ
cực
- GV hướng dẫn HS phát biểu các quy tắc tìm
giới hạn tích, thương của các giới hạn.

- Gọi HS nhận xét .
- Cho HS làm các vd trên phiếu học tập rồi
đại diện nhóm lên bảng trình bày.
- Gọi HS khác nhận xét
- GV nhận xét và đánh giá.
III. Giới hạn vơ cực của hàm số:
1. Giới hạn vơ cực:
a) Định nghĩa 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a; + ∞). Hàm số y = f(x) có giới hạn là - ∞
khix→ + ∞ nếu với dãy số (x
n
) bất kỳ, x
n
> a và x
n
→
+ ∞, ta có f(x
n
) → - ∞.
Kí hiệu:
lim ( )
x
f x
→+∞
= −∞
hay f(x) →- ∞ khi x→ +∞.
b) Nhận xét:
( )
lim ( ) lim ( )
x x

f x f x
→+∞ →+∞
= +∞ ⇔ − = −∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
) lim
k
x
a x
→+∞
= +∞
( k ngun dương)
b)
lim
k
x
x
→−∞
= −∞
(k lẻ)
c)
lim
k
x
x
→−∞
= +∞
(k chẵn)
3. Một vài quy tắc về giới hạn vơ cực:
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):
Quy tắc 1: Nếu

0
lim 0
x x
L
→
= ≠
, và
0
lim ( )
x x
g x
→
= ±∞
được
cho trong bảng sau
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x
→

L > 0
+ ∞ + ∞
- ∞ - ∞
L < 0
+ ∞ - ∞
- ∞ + ∞
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
( )
( )
f x
g x
:
Quy tắc 2: Nếu
0
lim 0
x x
L
→
= ≠
,
( )
0
lim 0
x x
g x
→
=
và
( )
g x

≠
0
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
được cho trong bảng sau:
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
Dấu g(x)
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→

L
±∞
Tùy ý 0
L > 0 0 +
+
∞
- -
L < 0 + -
- +
* Chú ý:
Các quy tắc trên vẫn đúng khi
0 0
, ,x x x x
x
+ −
→ →
→ ±∞
c) VD: Tính giới hạn:
a)
( )
3 3
2
2
lim 2 lim 1 .1
x x
x x x
x
→−∞ →−∞
 
− = − = −∞ = −∞

 ÷
 
b)
1
2 3 1
lim
1 0
x
x
x
−
→
− −
= = +∞
−
(vì x-1 < 0)
Trang 15
Đại số và Giải tích 11_HKII
c)
1
2 3 1
lim
1 0
x
x
x
+
→
− −
= = −∞

−
(vì x-1 > 0)
4. Câu hỏi củng cố và luyện tập : Qua bài học học sinh cần nắm được
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .
5. Hướng dẫn học ở nhà :
o Bài tập 1,2,3,4,5.
o Đọc phần còn lại của bài.
V. Rút kinh nghiệm:
- Nội dung:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- Phương pháp:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:
……………………………………………………………………………………………………………
Ngày dạy: 10/02/2014 – 15/02/2014 (11c1) Tuần: 24
Tiết 55 LUYỆN TẬP
I. Mục tiêu :
1. Về kiến thức:
- Củng cố các kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số : Định nghĩa , định lí giới hạn hữu
hạn,giới hạn vơ hạn.
- Chữa các bài tập SGK
2. Về kĩ năng
- Biết tìm giới hạn hữu hạn và vơ hạn của hàm số một cách thành thạo
- Biết tìm giới hạn của hàm số thơng qua đồ thị của hàm số đó .
- Giải được các bài tập SGK
3. Về thái độ:

- Tích cực, chủ động
- Cận thẩn, chính xác.
II. TRỌNG TÂM:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và đònh nghóa của nó .
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .
III. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
o Giáo viên chuẩn bò các phiếu học tập
o Học sinh đọc qua Nội dung bài học bài mới ở nhà .
IV. Ti ế n trình d ạ y h ọ c :
1. Ổ n đị nh t ố ch ứ c: kiểm diện sĩ số
Trang 16
Đại số và Giải tích 11_HKII
2. Ki ể m tra mi ệ ng:
Nêu định lý 1, định lý 2 về giới hạn hàm số
Đònh lý 1: (6 đ)
a) Giả sử
( ) ( )
0 0
lim , lim
x x x x
f x L g x M
→ →
= =
khi đó
•
( ) ( )
0
lim ;

x x
f x g x L M
→
+ = +
 
 

( ) ( )
0
lim ;
x x
f x g x L M
→
− = −
 
 

( ) ( )
0
lim . . ;
x x
f x g x L M
→
=
 
 
•
( )
( )
0

lim ( 0)
x x
f x
L
M
g x M
→
= ≠
;
b) Nếu
( )
0f x ≥
và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
, thì
0L ≥
và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=

( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn , với
0
)x x≠
Định lý 2:
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
⇔
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
− +
→ →
= =
(2 đ)
3. Ti ế n trình bài h ọ c:
Hoạt động của GV và HS Nội dung
* Hoạt động 1 :
GV: Một em học sinh nhắc lại các bước tìm
giới hạn của hàm số bằng đònh nghóa
GV hướng dẫn sau đó gọi 2 học sinh lên làm 2
câu a và b
Hoạt động 2:
- Gọi HS sửa BT về nhà.
1* a) Hàm số
( )

1
3 2
x
f x
x
+
=
−
xác đònh trên
2 2
; ;
3 3
   
−∞ ∪ +∞
 ÷  ÷
   
và
2
4 ;
3
x
 
= ∈ +∞
 ÷
 
.
Giả sử
( )
n
x

là dãy số bất kì ,
2
; ; 4
3
n n
x x
 
∈ +∞ ≠
 ÷
 
và
4
n
x →
khi
n → +∞
.
Ta có
( )
1
lim lim
3 2
n
n
n
x
f x
x
+
=

−
4 1 1
12 2 2
+
= =
−
.
Vậy
4
1 1
lim .
3 2 2
x
x
x
→
+
=
−
b) Hàm số
( )
2
2
2 5
3
x
f x
x
−
=

+
xác đònh trên
¡
.
Giả sử
( )
n
x
là dãy số bất kì ,
n
x → +∞
khi
n → +∞
.
Ta có
( )
2
2
2 5
lim lim
3
n
n
n
x
f x
x
−
=
+

2
2
2
5
lim 5
3
1
n
n
x
x
−
= = −
+
4. Câu hỏi củng cố và luyện tập :
- Nêu cách tìm giới hạn của 1 tích, 1 thương.
- Nêu các giới hạn đặc biệt.
5. Hướng dẫn học ở nhà:
- Xem lại các bài tập đã làm.
- Làm tiếp các bài tập còn lại.
V. Rút kinh nghiệm:
- Nội dung:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- Phương pháp:
Trang 17
Đại số và Giải tích 11_HKII
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:

……………………………………………………………………………………………………………
Ngày dạy: 10/02/2014 – 15/02/2014 (11c1) Tuần: 24
Tiết 56 LUYỆN TẬP
I. Mục tiêu :
Giúp học sinh :
1. Về kiến thức:
- Củng cố các kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số : Định nghĩa , định lí giới hạn hữu
hạn,giới hạn vơ hạn.
- Chữa các bài tập SGK
2. Về kĩ năng
- Biết tìm giới hạn hữu hạn và vơ hạn của hàm số một cách thành thạo
- Biết tìm giới hạn của hàm số thơng qua đồ thị của hàm số đó .
- Giải được các bài tập SGK
3. Về thái độ:
- Tích cực, chủ động
- Cận thẩn, chính xác.
II. TRỌNG TÂM:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và đònh nghóa của nó .
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giản .
III. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
o Giáo viên chuẩn bò các phiếu học tập
o Học sinh đọc qua Nội dung bài học bài mới ở nhà .
IV. Ti ế n trình d ạ y h ọ c :
1. Ổ n đị nh t ố ch ứ c: kiểm diện sĩ số
2. Ki ể m tra mi ệ ng:
Nêu định lý 1, định lý 2 về giới hạn hàm số
Đònh lý 1: (6 đ)
a) Giả sử

( ) ( )
0 0
lim , lim
x x x x
f x L g x M
→ →
= =
khi đó
•
( ) ( )
0
lim ;
x x
f x g x L M
→
+ = + 
 

( ) ( )
0
lim ;
x x
f x g x L M
→
− = − 
 

( ) ( )
0
lim . . ;

x x
f x g x L M
→
= 
 
•
( )
( )
0
lim ( 0)
x x
f x
L
M
g x M
→
= ≠
;
b) Nếu
( )
0f x ≥
và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
, thì

0L
≥
và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn , với
0
)x x≠
Định lý 2:
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
⇔
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
− +
→ →
= =
(2 đ)
3. Ti ế n trình bài h ọ c:

Trang 18
Đại số và Giải tích 11_HKII
Hoạt động của GV và HS Nội dung
* Hoạt động 1 :
GV: Một em học sinh nhắc lại các bước tìm
giới hạn của hàm số bằng đònh nghóa
GV hướng dẫn sau đó gọi 2 học sinh lên
làm 2 câu a và b
Hoạt động 2:
- Gọi HS sửa BT về nhà.
Hoạt động 3:
- Gọi 3 HS giải
- Gọi HS khác nhận xét.
- GV nhận xét và đánh giá.
*3/
( ) ( )
2
3 3
1 1
1
) lim lim 3 1 4
1 1
x x
x x
x
a
x x
→− →−
+ −
−

= = − − = −
+ +
( ) ( )
2
2 2
2 2
4
) lim lim 2 2 4
2 2
x x
x x
x
b
x x
→− →−
+ −
−
= = + =
+ +
( )
( )
( )
( )
( )
6 6
6
3 3 3 9
)lim lim
6
6 3 3

6
1 1
lim
6
6 3 3
6 3 3
x x
x
x x
c
x
x x
x
x x
→ →
→
+ − + −
=
−
− + +
−
= = =
+ +
− + +
6
2
2 6 2
) lim lim 2
4
4 1

1
x x
x
x
d
x
x
→+∞ →+∞
−
−
= = = −
− −
−
2
17 17
) lim 0
1
x
e
x
→+∞
= =
+ +∞
( )
2
2
1 1
2
2 1
) lim lim 2

3
3
1
x x
x
x x
x x
f
x
x
→+∞ →+∞
 
− + −
 ÷
− + −
 
= = +∞ − = −∞
+
+
* Bài 4: Tính các giới hạn:
( )
2
2
3 5
)lim
2
x
x
a
x

→
−
−

1
2 7
lim
1
x
x
x
−
→
−
−
b)
1
2 7
lim
1
x
x
x
+
→
−
−
c)
4. Câu hỏi củng cố và luyện tập :
- Nêu cách tìm giới hạn của 1 tích, 1 thương.

- Nêu các giới hạn đặc biệt.
5. Hướng dẫn học ở nhà:
- Xem lại các bài tập đã làm.
- Làm tiếp các bài tập còn lại.
V. Rút kinh nghiệm:
- Nội dung:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- Phương pháp:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:
……………………………………………………………………………………………………………
Ngày dạy: 17/02/2014 – 22/02/2014 (11c1) Tuần: 25
Tiết 57 § 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Trang 19
Đại số và Giải tích 11_HKII
I. Mục tiêu :
1. Về kiến thức : Biết được:
• Đònh nghóa hàm số liên tục (tại 1 điểm, trên 1 khoảng);
• Đònh lí về tổng, hiệu, tích, thương của 2 hàm số liên tục;
• Đònh lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất
1 điểm
( )
;c a b∈
sao cho f(c) = 0.
2 Về kỹ năng:

• Biết ứng dụng các đònh lí nói trên để xét tính liên tục của 1 hàm số đơn giản;
• Biết chứng minh 1 phương trình có nghiệm dựa vào đònh lí về hàm số liên tục.
3. Thái độ:
• Cẩn thận, chính xác.
• Xây dựng bài một cách tự nhiên chủ động.
II. Trọng tâm:
• Đònh lí về tổng, hiệu, tích, thương của 2 hàm số liên tục;
• Đònh lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất
1 điểm
( )
;c a b∈
sao cho f(c) = 0.
III. Chuẩn bị của GV và HS:
 GV: sgk, bài soạn , phiếu học tập.
 HS: học bài, đọc Tiến trình bài học.
IV. Ti ế n trình d ạ y h ọ c :
1. Ổ n đị nh t ố ch ứ c: kiểm diện sĩ số
2. Ki ể m tra mi ệ ng:
Nêu một vài quy tắc về giới hạn vơ cực:
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x): (8 đ)
Quy tắc 1: Nếu
0
lim 0
x x
L
→
= ≠

, và
0
lim ( )
x x
g x
→
= ±∞
được cho trong bảng sau
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x
→
L > 0
+ ∞ + ∞
- ∞ - ∞
L < 0
+ ∞ - ∞
- ∞ + ∞
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương

( )
( )
f x
g x
: (8 đ)
Quy tắc 2: Nếu
0
lim 0
x x
L
→
= ≠
,
( )
0
lim 0
x x
g x
→
=
và
( )
g x
≠
0
( )
( )
0
lim
x x

f x
g x
→
được cho trong bảng sau:
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
Dấu g(x)
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
L
±∞
Tùy ý 0
L > 0
0
+
+

∞
- -
Trang 20
i s v Gii tớch 11_HKII
L < 0 + -
- +
* Chỳ ý: Cỏc quy tc trờn vn ỳng khi
0 0
, ,x x x x
x
+



3. Tin trỡnh bi hc:
Hot ng ca GV v HS Ni dung
*Hot ng 1: Hm s liờn tc ti mt im.
- GV hng dn HS tỡm vd v hm liờn tc l
cỏc a thc , phõn thc hu t, hm s lng
giỏc .T ú rỳt ra nhn xột v i n nh
ngha
- HS lm vd v tr li hm s giỏn on ti x
0
khi no? vo phiu hc tp.
- GV kim tra xỏc sut mt vi phiu.
*Hot ng 2: Hm s liờn tc trờn mt
khong.
- GV gii thiu nh ngha .
- Hm s liờn tc trờn [a;b] thỡ cú liờn tc ti
a, b khụng?

- Hm liờn tc thỡ th th no?
I. Hm s liờn tc ti mt im:
1/ nh ngha 1:
Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn khong K v x
0

K . Hm s y = f(x) c gi l liờn tc ti x
0
nu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

=
2/ VD: Xột tớnh liờn tc ca f(x) =
2
x
x
ti x
0
= 3.
Ta cú:
3 3
lim ( ) lim 3 (3)
2
x x
x
f x f

x

= = =

Vy hm s liờn tc ti x
0
= 3.
II. Hm s liờn tc trờn mt khong:
1/ nh ngha2: Hm s y = f(x) c gi l liờn
tc trờn mt khong nu nú liờn tc ti mi im
ca khong ú.
Hm s y = f(x) c gi l liờn tc trờn on [a;b]
nu nú liờn tc trờn khong (a;b) v
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
+

= = ;
2/ Nhn xột:
th ca hm s liờn tc trờn mt khong l mt
ng lin trờn khong ú.
y
a c b
O x

4. Cõu hi cng c v luyn tp :
- Lm bi tp 1 3/141 SGK.
- Lm BTTN:
1/ Cho hm s

2
2
( )
2
x x
f x
x




=




khi x 2
m khix = 2
.Vi giỏ tr no ca m thỡ f(x) liờn tc ti x = 2
2/ Cho hm s
1
( )
2
x
f x


=

2
khi x 1
ax khi x < 1
.Vi giỏ tr no ca a thỡ f(x) liờn tc trờn R.
5. Hửụựng daón hoùc ụỷ nhaứ:
- Hc bi.
- ễn tp chng IV.
- Lm BT ễn tp chng IV
V. Rỳt kinh nghim:
- Ni dung:


Trang 21
Đại số và Giải tích 11_HKII
- Phương pháp:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:
……………………………………………………………………………………………………………
Ngày dạy: 17/02/2014 – 22/02/2014 (11c1) Tuần: 25
Tiết 58 § 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC (tt)
I. Mục tiêu :
1. Về kiến thức : Biết được:
• Đònh nghóa hàm số liên tục (tại 1 điểm, trên 1 khoảng);
• Đònh lí về tổng, hiệu, tích, thương của 2 hàm số liên tục;
• Đònh lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất

1 điểm
( )
;c a b∈
sao cho f(c) = 0.
2 Về kỹ năng:
• Biết ứng dụng các đònh lí nói trên để xét tính liên tục của 1 hàm số đơn giản;
• Biết chứng minh 1 phương trình có nghiệm dựa vào đònh lí về hàm số liên tục.
3. Thái độ:
• Cẩn thận, chính xác.
• Xây dựng bài một cách tự nhiên chủ động.
II. Trọng tâm:
• Đònh lí về tổng, hiệu, tích, thương của 2 hàm số liên tục;
• Đònh lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất
1 điểm
( )
;c a b∈
sao cho f(c) = 0.
III. Chuẩn bị của GV và HS:
 GV: sgk, bài soạn , phiếu học tập.
 HS: học bài, đọc Tiến trình bài học.
IV. Ti ế n trình d ạ y h ọ c :
1. Ổ n đị nh t ố ch ứ c: kiểm diện sĩ số
2. Ki ể m tra mi ệ ng:
Nêu một vài quy tắc về giới hạn vơ cực:
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x): (8 đ)
Quy tắc 1: Nếu
0

lim 0
x x
L
→
= ≠
, và
0
lim ( )
x x
g x
→
= ±∞
được cho trong bảng sau
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x
→
L > 0
+ ∞ + ∞

- ∞ - ∞
L < 0
+ ∞ - ∞
- ∞ + ∞
Trang 22
Đại số và Giải tích 11_HKII
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
( )
( )
f x
g x
: (8 đ)
Quy tắc 2: Nếu
0
lim 0
x x
L
→
= ≠
,
( )
0
lim 0
x x
g x
→
=
và
( )
g x

≠
0
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
được cho trong bảng sau:
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
Dấu g(x)
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→

L
±∞
Tùy ý
0
L > 0
0
+
+
∞
- -
L < 0
+ -
- +
* Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng khi
0 0
, ,x x x x
x
+ −
→ →
→ ±∞

3. Tiến trình bài học:
Hoạt động của GV và HS Nội dung
*Hoạt động 3: Một số định lý cơ bản.
- Gọi HS phát biểu định lý 1.
- GV giới thiệu định lý 2.
- HS làm ví dụ vào phiếu học tập.
- GV kiểm tra xác suất một vài phiếu.
- GV giới thiệu định lý 3.
- Gọi HS nêu ý nghĩa hình học của định lý.

- Nêu nội dung của hệ quả và ý nghĩa hình
học.
- HS làm vd vào phiếu học tập.
- GV kiểm tra xác suất một vài phiếu.
III. Một số định lý cơ bản:
1/ Định lý 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực
¡

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác
liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
2/ Định lý 2:
Gỉa sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại
điểm x
0
. Khi đó:
a) Các hàm số y = f(x) + g(x) , y = f(x) - g(x) ,
y = f(x).g(x) liên tục tại điểm x
0
.
b) Hàm số y =
( )
( )
f x
g x
liên tục tại điểm x
0
nếu g(x
0
) ≠ 0

3/ VD: Cho hàm số
2
2 2
1
( )
1
x x
h x
x

−
≠

=
−



khi x
5 khi x =1
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

2
1 1
1
2 2
* 1:lim ( ) lim lim 2
1
x x
x

x x
x h x x
x
→ →
→
−
≠ = = =
−

* 1: (1) 5x h= =
1
lim ( ) (1)
x
h x h
→
⇒ ≠
Vậy: hàm số gián đoạn tại x = 1.
4/ Định lý 3:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và
f(a).f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b)
sao cho f(c) = 0 .
VD: CM: pt x
3
+ 2x – 5 = 0 có ít nhất 1 nghiệm.
Ta có: y = f(x) là hàm số đa thức nên liên tục trên
¡

⇒ nó liên tục trên đoạn [0;2].
Mặt khác: f(0) = -5 , f(2) = 7
⇒ f(0). f(2) < 0.

Vậy : pt x
3
+ 2x – 5 = 0 có ít nhất 1 nghiệm x
0
∈ (0;2)
4. Câu hỏi củng cố và luyện tập :
Trang 23
Đại số và Giải tích 11_HKII
- Làm bài tập 4→ 6/141 SGK.
5. Hướng dẫn học ở nhà:
- Học bài.
- Ơn tập chương IV.
- Làm BT Ơn tập chương IV
V. Rút kinh nghiệm:
- Nội dung:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- Phương pháp:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- ĐDDH:
……………………………………………………………………………………………………………
Ngày dạy: 24/02/2014 – 01/03/2014 (11c1) Tuần: 26
Tiết 59 LUYỆN TẬP
I. Mục tiêu :
1. Về kiến thức : Biết được:
• Đònh nghóa hàm số liên tục (tại 1 điểm, trên 1 khoảng);
• Đònh lí về tổng, hiệu, tích, thương của 2 hàm số liên tục;
• Đònh lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]

;a b
và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất
1 điểm
( )
;c a b∈
sao cho f(c) = 0.
2 Về kỹ năng:
• Biết ứng dụng các đònh lí nói trên để xét tính liên tục của 1 hàm số đơn giản;
• Biết chứng minh 1 phương trình có nghiệm dựa vào đònh lí về hàm số liên tục.
3. Thái độ:
• Cẩn thận, chính xác.
• Xây dựng bài một cách tự nhiên chủ động.
II. Trọng tâm:
Xét tính liên tục của hàm số.
III. Chuẩn bị của GV và HS:
 GV: sgk, bài soạn , phiếu học tập.
 HS: học bài, đọc Tiến trình bài học.
IV. Ti ế n trình d ạ y h ọ c :
1. Ổ n đị nh t ố ch ứ c: kiểm diện sĩ số
2. Ki ể m tra mi ệ ng:
Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại 1 điểm:
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x
0
∈ K . Hàm số y = f(x) được gọi là liên
tục tại x
0
nếu
0
0
lim ( ) ( )

x x
f x f x
→
=
Nêu các định lý về hàm số liên tục:
Trang 24
Đại số và Giải tích 11_HKII
1/ Định lý 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực
¡

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng
giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
2/ Định lý 2:
Gỉa sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x
0
.Khi đó:
a) Các hàm số y = f(x) + g(x) , y = f(x) - g(x) , y = f(x).g(x) liên tục tại điểm x
0
.
b) Hàm số y =
( )
( )
f x
g x
liên tục tại điểm x
0
nếu g(x
0
) ≠ 0

3/ Định lý 3:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈
(a;b) sao cho f(c) = 0
3. Tiến trình bài học:
Hoạt động của GV và HS Nội dung
Hoạt động 1:
Tìm tập xác định?
Tính
( )
2
lim
x
g x
→
và f ( 2)
rồi so sánh
HD: Thay số 5 bởi số nào để hàm số liên
tục tại
0
2x
=
tức là để
( ) ( )
x 2
limg x 2g
→
=
Hoạt động 2:
- HS vẽ đồ thị
- Dựa vào đồ thị nêu các khoảng để hàm

số y = f(x) liên tục
-Dựa vào định lí chứng minh hàm số liên
tục trên các khoảng
( )
; 1
−∞ −
và
( )
1;
− +∞
-Xét tính liên tục của hàm số tại
0
1x
= −
Hoạt động 3:
Bài tập 2:
a/ Xét tính liên tục của hàm số TXD: D =
¡

( )
3
8
, 2
2
5 , 2
x
x
g x
x
x


−
≠

=
−


=

( )
2
2
3
8
lim
lim
2
x
x
x
g x
x
→
→
=
−
−
( )
2

2
12
lim 2 4
x
x x
→
=
+ +
g (2) = 5
( )
( )
2
2
lim
x
g
g x
→
⇒ ≠

KL: Hàm số y = g(x) không liên tục tại
0
2x
=
b/ Thay số 5 bởi số 12
Bài tập 3:
( )
2
3 2 , 1
1 , 1

x x
f x
x x
+ < −

=

− ≥ −

a/ Hàm số y = f(x) liên tục trên các khoảng
( )
; 1
−∞ −
và
( )
1;
− +∞
b/ -Hàm số liên tục trên các khoảng
( )
; 1
−∞ −
và
( )
1;
− +∞
- Tại
0
1x
= −
( ) ( )

1 1
limf x lim
x x
f x
− +
→− →−
≠
Hàm số không liên tục tại
0
1x = −
Bài tập 4:
-Hàm số y = f(x) liên tục trên các khoảng
( ) ( ) ( )
; 3 , 3;2 , 2;
−∞ − − +∞
Trang 25