cuc tri cua bieu thuc co dieu kien

Dạng1: Tìm cực trị của biểu thức có điều kiện:
a,Bài toán1 :Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức:
Q= ax
2
+by
2
+cxy + dx + ey + f = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
U= Ax + By + C (2)
*cách giải:
- cách 1: Nếu B 0,ta có:(2)y= -
B
A
x-
B
C
-
B
U
Thế vào (1) ta có phơng trình bậc hai đối với x : h(x) = 0. Xem U là tham số
Cực trị của U tìm đợc trong điều kiện có nghiệm của pt: h(x) = 0.
- Cách 2: Nếu có thể ta biểu diển Q= m
2
U
2
+ nU + k + [f(x)]
2
= 0.(*)
Do Q= 0 và [f(x)]
2

0 => m
2
U
2
+ nU + k

0 U
1

U

U
2
=>{MinU=U
1
;maxU=U
2
}
* Đặc biệt khi Q có dạng: Q=p
2
(x-a)
2
+ q
2
(y-b)
2
- r
2
=0
- Cách 1: Đánh giá bằng bất đẳng thức bunhiacópki

- Cách 2: Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx |

22
ba
+
(lợng giác)
Dạng 2: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức:
ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2


0)
Tìm cực trị của biểu thức: T = p
2
(x - m)
2
+ q
2
(y - n)
2
- r
2
Cách giải: Ta có thể giải theo các cách sau:
Cách 1:
Rút x hoặc y từ đẳng thức: ax + by + c = 0 thế vào T rồi đa về dạng 1.
Cách2:
Đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacôpski
Bài tập1:

Cho x, y liên hệ với nhau bởi biểu thức:
P: = x
2
+ 2y
2
+ 2xy + 2x + 2y 3 = 0 (1)
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
Q = x + y (2)
Lời giải:
Cách1:
Từ (2) ta có : y = Q x thế vào (1) đợc:
P = x
2
+ 2(Q - x)
2
+ 2x(Q - x) + 2 Q 3 = 0

x
2
2Qx + 2Q
2
+ 2Q 3 = 0 (3)
Cực trị của Q nếu có chính là điều kiện có nghiệm cccủa phơng trình (3)


,



0

Q
2
- 2Q
2
- 2Q + 3

0

- Q
2
- 2Q + 3

0


-3

Q

1
Vậy GTNN(Q) = -3

y = 0 và x = -3
GTLN(Q) = 1

y = 0 và x = 1
Cách2:
Ta có: P = (x
2

+ y
2
+ 2xy) + 2(x + y) +1 - 4 + y
2
= 0
P = (x + y)
2
+ 2(x + y) +1 3 + y
2
= 0
P = (x + y + 1)
2
4 + y
2
= 0 (4)
Do y
2


0 Do đó từ (4) suy ra: (x + y + 1)
2
4

0


1
++
yx

2


-2

x + y + 1

2

-3

x + y

1.
Vậy: Vậy GTNN(Q) = -3

y = 0 và x = -3
GTLN(Q) = 1

y = 0 và x = 1.
Bài tập 2: Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức:
4x
2
+ 3y
2
- 4xy 2y 2008 = 0
Tìm GTNN, GTLN của M = x -
2
y
+

2
1
Lời giải:
Ta có: 4x
2
+ 3y
2
- 4xy 2y 2008 = 0


4x
2
+ y
2
+ 1 4xy 2y + 4x + 2y
2
2009 = 0


(2x y +1)
2
+ 2y
2
2009 = 0. Do 2y
2

0 suy ra:
(2x y +1)
2
2009

0

12
+
yx


2009


-
2009


2x y + 1

2009



2
2009


x
2
y
+
2

1


2
2009
Vậy GTNN(M) =
2
2009



y = 0 và x =
2
2009

GTLN(M) =
2
2009


y = 0 và x =
2
2009
(Hoặc có thể giải theo cách1, rút x hoặc y từ M = x -
2
y
+
2
1
rồi thế vào

4x
2
+ 3y
2
- 4xy 2y 2008 = 0)
Bài tập 3:
Cho x, y là hai số thỏa mản: x + 2y = 3. Tìm GTNN của: E = x
2
+ 2y
2
Lời giải:
Cách1:
Từ x + 2y = 3 suy ra x = 3 2y thế vào E = x
2
+ 2y
2
ta có:
E = (3 2y)
2
+ 2y
2
= 6y
2
- 12y + 9 = 6(y - 1)
2
+ 3

3
Vậy GTNN(E) = 3 khi và chỉ khi y = 1 và x = 1
Cách2: (Dùng BĐT Bunhiacốpki)

Ta có: 9 = (x + 2y)
2
= (x +
2
2
y)
2


(1 + 2)(x
2
+ 2y
2
)


(x
2
+ 2y
2
)

3. Vậy GTNN(E) = 3 khi và chỉ khi y = x = 1