SKKN GIÚP HỌC SINH YẾU TOÁN LỚP 12 HỌC TỐT HƠN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỰ CHO BÀI TẬP TƯƠNG TỰ ĐỂ TỰ KIỂM TRA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
o0o
Đề tài :
GIÚP HỌC SINH YẾU TOÁN LỚP 12 HỌC TỐT HƠN BẰNG PHƯƠNG
PHÁP TỰ CHO BÀI TẬP TƯƠNG TỰ ĐỂ TỰ KIỂM TRA
I. ĐẶT VẤN ĐỀ :
Đối với học sinh yếu bộ môn toán , dù giáo viên có giảng đi giảng lại nhiều
lần nhưng có em vẫn chưa có khả năng tự giải và giải đúng các dạng bài tập cơ
bản, trọng tâm chương trình. Bài toán khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan ở
các kỳ thi học kỳ và tốt nghiệp THPT chiếm một vị trí quan trọng ( từ 4 → 4,5
điểm ). Bài toán tìm tọa độ điểm, viết phương trình đường thẳng, đường tròn …
thường ra trong các đề thi. Những kiến thức trên, dù là học sinh yếu cũng phải làm
được và chính xác nếu muốn có một kết quả tốt.
Thông thường sau một tiết bài tập, giáo viên yêu cầu học sinh về xem lại
hoặc làm hoàn chỉnh các bài đã sửa và làm thêm một số bài cần củng cố hoặc nâng
cao. Công việc này không gây hứng thú cho các em học yếu, các bài tập thường là
không giải được , hoặc làm sai mà không biết vì sao. Có nhiều em ham học, còn
yếu toán muốn thay đổi tình trạng này thường gặp nhiều khó khăn . Nhưng kiến
thức cơ bản khi đã hỏng không thể khắc phục nhanh bằng những giờ trên lớp, còn
nhờ bạn bè thì rất e ngại. Giáo viên chúng ta đã quen thuộc trong việc đặt thêm các
bài tập tương tự bằng cách thay số khi cần cho thêm bài tập rèn luyện hoặc làm khi
ra đề thi học kỳ. Một số cách làm này giáo viên có thể huớng dẫn lại cho các em
học sinh. Sau khi giáo viên làm một vài ví dụ cụ thể các em học sinh yếu có thể tự
mình sáng tác thêm nhiều bài tập tương tự từ bài tập gốc để củng cố kiến thức cơ
bản và rèn luyện kỹ năng làm bài tập. Ngoài ra các em có thể tự mình đánh giá
kiểm tra việc đúng sai bằng cách liên hệ đối chiếu với bài đã được sửa.
II. NỘI DUNG – BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT :
1
1) Biện pháp cũ đã thực hiện : (thực hiện ở các tiết ôn tập chung cho cả
lớp)
a) Sửa bài tập :

– Cho học sinh giải các bài tập đã chuẩn bị trước.
– Cho học sinh nhận xét bài làm trên bảng.
– Giáo viên giảng kỹ những chổ học sinh chưa hiểu và sửa các chổ sai
sót.
– Đúc kết kiến thức nào cần khắc sâu , kỹ năng nào cần luyện tập.
b) Bài tập tự giải :
– Một số bài tập để học sinh củng cố kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ
năng tính toán.
– Một số bài tập mở rộng bài tập sách giáo khoa hoặc nâng cao để phát
huy sự tư duy sáng tạo của các em khá giỏi.
c) Kiểm tra :
Trong các giờ học tập tiếp theo, kiểm tra bài làm của một số em. Từ
thực tế bài làm của học sinh, giáo viên hướng dẫn cách suy nghĩ, cách
giải quyết vấn đề và nhắc nhở các lỗi thường sai.
d) Hạn chế : Do thực hiện chung cho mọi đối tượng : Giỏi, khá, trung bình,
yếu cho nên có nhiều bài tập :
– Học sinh yếu chưa theo kịp.
– Một số em trung bình chưa nắm chắc được kiến thức, cần phải tiếp tục
rèn luyện nhưng thiếu bài tập tương tự.
2) Phương pháp mới : (Thực hiện ở các tiết ôn tập trên lớp)
a) Xác định đối tượng cần thường xuyên kiểm tra :
2
Từ kết quả kiểm tra và quan sát các giờ học, các giờ bài tập để xác
định các em tiếp thu chậm, khả năng vận dụng bài tập hạn chế, kỹ năng
tính toán còn sai sót, hỏng nhiều kiến thức cơ bản.
b) Hướng dẫn cách ra đề và tự đánh giá kết quả trong tiết ôn tập :
1. Sửa bài tập :
– Cho học sinh giải một bài tập đã chuẩn bị trước.
– Cho học sinh nhận xét bài làm trên bảng.
– Giáo viên giảng kỷ những chổ học sinh chưa hiểu và uốn nắn các

chổ sai sót.
– Đúc kết các kiến thức nào cần khắc sâu, kỹ năng nào cần luyện tập.
Các bước trên tương tự như các tiết ôn tập khác.
Sau đây ta triển khai các buớc đễ hướng dẫn phương pháp mới.
– Từ bài tập đã sửa hướng dẫn cụ thể để có một đề bài mới.
– Cho học sinh giải bài mới sau đó nhận xét, tìm sự liên hệ với bài
cũ, từ đó các em có thể tự kiểm tra, đánh giá bài làm của mình.
2. Bài tập tự giải :
– Một số bài tập mở rộng, nâng cao để phát huy sự tư duy sáng tạo
của học sinh khá, giỏi.
– Từ những bài đã có, yêu cầu học sinh đặt thêm 2, 3 bài tương tự để
rèn luyện kỹ năng cơ bản.
3. Kiểm tra :
– Kiểm tra kỷ lưỡng bài làm một số em, nhất là các em yếu cần quan
tâm.
– Nếu học sinh không làm , nhắc nhở động viên và sẽ kiểm tra lại.
– Làm chưa được nhiều hướng dẫn cụ thể.
– Nếu có tiến bộ động viên , khích lệ.
3
c) Các ví dụ :
Thí dụ 1 (thực hiện tiết 44) Bài tập tương tự
Cho hàm số :
2
x 3x 6
y
x 2
+ +
=
+
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm phương trình.
2
x (3 m)x 6 2m 0+ − + − =
3) Viết phương trình đường thẳng d qua
A(2 ; 0) có hệ số góc k. Với giá trị
nào của k thì d tiếp xúc với (C)
Giải
1)
4
y x 1
x 2
= + +
+
Tập xác định D =
\ 2¡
2
2
x 4x
y
(x 2)
+
′
=
+
y 0 x 0
′
= ⇒ =

∨

x = –4
Tiệm cận
x 2
lim
→
= ∞ ⇒
tiệm cận đứng : x = 2
x x
4
lim[y (x 1)] lim 0
x 2
→∞ →∞
− + = =
+
⇒ Tiệm cận xiên : y = x + 1
Bảng biến thiên
x
−∞
–4 –2 0
+∞
y
′
+ 0 – – 0 +
–5
+∞
3
+∞
y
−∞
CĐ

−∞
CT
Cho hàm số :
2
x 4x 8
y
x 2
+ +
=
+

2
x 3x 2
(y 1)
x 2
+ +
= +
+
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm phương trình.
2
x (4 m)x 8 2m 0+ − + − =
3) Viết phương trình đường thẳng d qua
A(2 ; 1) có hệ số góc k. Với giá trị
nào của k thì d tiếp xúc với (C)
Giải
1)
4
y x 2

x 2
= + +
+
Tập xác định D =
\ 2¡
2
2
x 4x
y
(x 2)
+
′
=
+
y 0 x 0
′
= ⇒ =

∨
x = –4
Tiệm cận
x 2
lim
→
= ∞ ⇒
tiệm cận đứng : x = 2
x x
4
lim[y (x 2)] lim 0
x 2

→∞ →∞
− + = =
+
⇒ Tiệm cận xiên : y = x + 2
Bảng biến thiên
x
−∞
–4 –2 0
+∞
y
′
+ 0 – – 0 +
–4
+∞
4
+∞
y
−∞
CT
−∞
CT
4
–5
–4
–1
1
–2
3
O
y

x
y = m
4
O
–2–4
y
2
–4
x
y = m
2) x
2
+ (3 – mx) + 6 – 2m = 0
2
x 3x 6
m
x 2
+ +
⇔ =
+

(x 2)≠ −
Số nghiệm phương trình là số giao điểm
của (C) và đường thẳng d : y = m
Dựa vào đồ thị
– m < –5 hoặc m > 3 phương trình có 2
nghiệm phân biệt
– m = –5 hoặc m = 3 phương trình có 1
nghiệm kép
– –5 < m < 3 phương trình vô nghiệm

3) Phương trình đường thẳng
d : y = k(x – 2)
Điều kiện để d tiếp xúc với (C) là hệ sau
có nghiệm
2) x
2
+ (4 – mx) + 8 – 2m = 0
2
x 4x 8
m
x 2
+ +
⇔ =
+

(x 2)≠ −
Số nghiệm phương trình là số giao điểm
của (C) và đường thẳng d : y = m
Dựa vào đồ thị
– m < –4 hoặc m > 4 phương trình có 2
nghiệm phân biệt
– m = –4 hoặc m = 4 phương trình có 1
nghiệm kép
– –4 < m < 4 phương trình vô nghiệm
3) Phương trình đường thẳng
d : y = k(x – 2) + 1
Điều kiện để d tiếp xúc với (C) là hệ sau
có nghiệm
5
2

2
2
2
x 3x 6
k(x 2)
x 2
x 4x
k
(x 2)
3x 20x 12 0

+ +
= −

+


+

=

+

⇒ + + =
x 6
2
x
3
= −



⇔

= −

Vậy :
3
k
4
=
hoặc
5
k
4
=

thì d tiếp xúc với (C)
2
2
2
2
x 4x 8
k(x 2) 1
x 2
x 4x
k
(x 2)
3x 20x 12 0

+ +

= − +

+


+

=

+

⇒ + + =
x 6
2
x
3
= −


⇔

= −

Vậy :
3
k
4
=
hoặc
5

k
4
=

thì d tiếp xúc với (C)
Thí dụ 2 (Thực hiện tiết 22 phần ôn
tọa độ điểm, viết phương trình đường
thẳng, phương trình đường tròn)
Bài tập tương tự
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác
ABC biết A(–1 ; 2), B(2 ; 1), C(2 ; 5)
1) Tính chu vi tam giác
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là
hình bình hành
3) Viết phương trình tổng quát đường
thẳng AB
4) Viết phương trình đường cao kẻ từ B
5) Viết phương trình đường tròn qua
ABC
Giải
1)
2 2
AB 3 1 10= + =
2 2
AC 3 3 3 2= + =
2
BC 4 4= =
Chu vi : 2
P 4 3 2 10= + +
2) Gọi D(x

D
; y
D
)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác
ABC biết A(–1 ; 3), B(2 ; 2), C(2 ; 6)
1) Tính chu vi tam giác
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là
hình bình hành
3) Viết phương trình tổng quát đường
thẳng AB
4) Viết phương trình đường cao kẻ từ B
5) Viết phương trình đường tròn qua
ABC
Giải
1)
2 2
AB 3 1 10= + =
2 2
AC 3 3 3 2= + =
2
BC 4 4= =
Chu vi : 2
P 4 3 2 10= + +
2) Gọi D(x
D
; y
D
)
6


3
x 6 k
4
= − ⇒ =

2 5
x k
3 4
= − ⇒ =

3
x 6 k
4
= − ⇒ =

2 5
x k
3 4
= − ⇒ =
ABCD là hình bình hành
AD BC⇔ =
uuur uuur
D
D
x 1 0
y 2 4
+ =

⇔


− =

D
D
x 1
y 6
= −

⇔

=

D(–1 ; 6)
3) Phương trình đường thẳng AB

A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
x 1 y 2
2 1 1 2
+ −
⇔ =
+ −
⇔
x + 3y – 5 = 0

4) Đường cao kẻ từ B qua B nhận
AC (3;3)=
uuur
làm véctơ pháp tuyên
Phương trình đường cao :
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) = 0
⇔ 3(x – 2) + 3(y – 1) = 0
⇔ x + y – 3 = 0
5) Phương trình đường tròn có dạng :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Đường tròn qua A, B, C ta có :

2a 4b c 5 0
4a 2b c 5 0
4a 10b c 29 0
− + + =


− − + + =


− − + + =


a 1
b 3
c 5
=


⇔ =


=

Phương trình đường tròn
x
2
+ y
2
– 2x – 6y + 5 = 0
ABCD là hình bình hành
AD BC⇔ =
uuur uuur
D
D
x 1 0
y 3 4
+ =

⇔

− =


D
D
x 1
y 7
= −

⇔

=

D(–1 ; 7)
3) Phương trình đường thẳng AB

A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
x 1 y 3
2 1 2 3
+ −
⇔ =
+ −
⇔
x + 3y – 8 = 0
4) Đường cao kẻ từ B qua B nhận
AC (3;3)=

uuur
làm véctơ pháp tuyên
Phương trình đường cao :
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) = 0
⇔ 3(x – 2) + 3(y – 2) = 0
⇔ x + y – 4 = 0
5) Phương trình đường tròn có dạng :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Đường tròn qua A, B, C ta có :

2a 6b c 10 0
4a 4b c 8 0
4a 12b c 40 0
− + + =


− − + + =


− − + + =

a 1

b 4
c 12
=


⇔ =


=

Phương trình đường tròn
x
2
+ y
2
– 2x – 8y + 12 = 0
7
Sau khi giải xong từng ví dụ ta phân tích rõ cách ra đề mới
Thí dụ 1 : 1. y thay thành y + 1
2. 3x + 6 thay thành 4x + 8
3. A(2 ; 0) thay thành điểm A(2 ; 1)
Thí dụ 2 : A(–1 ; 2), B(2 ; 1), C(2 ; 5) thay thành A(–1 ; 3), B(2 ; 2), C(2 ;
6)
Nhận xét : Thực chất vấn đề là ta thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ
U (0 1) ; =
ur
. Ta mô tả sự liên quan của 2 đồ thị (2 tam giác) như sau : Tịnh tiến
đồ thị cũ (tam giác cũ) về phía trên 1 đơn vị theo phương thẳng đứng. Đối
với các bài toán vừa xây dựng, tuy số có khác có lạ nhưng dạng của bài cũ,
kết quả tương tự hoặc có khi không thay đổi. Học sinh có thể so sánh bài

làm của mình với bài đã sửa để tự đánh giá, tự kiểm tra lại việc đúng sai.
Đối với thí dụ 1 có thể thay y + 1 thành y + c với c là hằng số. Đối với
thí dụ 2 có thể thay A(x
A
; y
A
) thành A(x
A
+ C
1
; y
A
+ C
2
) với C
1
, C
2
là hằng
số, tương tự đối với B và C.
3) Chuyển biến của học sinh :
, Tùy theo trình độ kiến thức của từng em mà có thể tạo cho mình số lượng
bài tập phù hợp để rèn luyện, do đó kỹ năng tính toán tiến bộ. Các kiến
thức cơ bản : Tính đạo hàm, giải phương trình, xét dấu không còn sai
sót. Kết quả các bài kiểm tra, bài thi có tiến bộ. Từ đó các em tự tin hứng
thú và ham học
, Một số em học yếu đã xóa bỏ mặc cảm không thể học được môn toán,
hòa đồng, sinh động trong các tiết học và quan hệ bạn bè, thầy trò gắn bó
hơn.
, Có nhiều em còn vận dụng cách này đối vớí các kiến thức về sau như :

tính diện tích hình phẳng (dựa vào đồ thị), viết phương trình mặt phẳng
trong không gian.
8
4) Kết quả :
Dưới đây là thống kê điểm thi trung bình môn toán trong kỳ thi tốt
nghiệp PTTH ở các lớp phân công giảng dạy trong 2 năm gần đây :
Năm học 1998 – 1999
Lớp 12A3 : 100% trên trung bình
Lớp 12A7 : 100% trên trung bình
Lớp 12A9 : 100% trên trung bình
Lớp 12B5 : 92,7% trên trung bình
Tỷ lệ chung của 4 lớp : 98,7% trên
trung bình
Năm học 1998 – 1999
Lớp 12A4 : 100% trên trung bình
Lớp 12A9 : 100% trên trung bình
Lớp 12A15 : 97,78% trên trung bình
Tỷ lệ chung của 3 lớp : 99,25% trên
trung bình
5) Một số kinh nghiệm :
, Việc giải bài tập ở nhà của học sinh cần phải có được sự tự giác và không
nhàm chán. Để có điều này người giáo viên phải giúp cho các em làm
được ít nhất là 1 câu, 1 bài tập trong số các bài đã cho.
, Phải thấy được sự cố gắng và quan tâm đến sự tiến bộ của các em, khích
lệ tuyên dương kịp thời để làm đòn bẩy giúp em tiến bộ.
, Đối với những em chưa ý thức tốt trong việc học cần kiểm tra thường
xuyên, cần trao đổi tế nhị và trong những giai đoạn đầu cần có sự kết hợp
với giáo viên chủ nhiệm.
6) Đối với đồng nghiệp, nhóm chuyên môn :
Qua thực hiện và theo dõi bản thân thấy phương pháp này có kết quả

đối với các học sinh yếu toán. Một số giáo viên mới được phân công lần đầu
giảng dạy lớp 12 khi được bàn bạc trao đổi đã tiến hành ở các lớp của mình
và bước đầu đạt kết quả tốt.
9
III. KẾT LUẬN :
Đây không phải là một sáng kiến mới và cũng không mang tính tuyệt đối
trong việc giáo dục học sinh yếu, nhưng nếu học sinh thực hiện được điều này thì
kết quả học tập của các em sẽ được chuyển biến do các kiến thức hỏng đã được
củng cố và một số kỹ năng được rèn luyện, do đó bài thi của học sinh ít sai sót.
Ngoài ra các em sẽ tự tin hơn trong các kỳ thi. Có được sự tự tin thì khả năng tư
duy và làm bài của các em sẽ đạt kết quả cao.
10