Bài tập cực trị hàm số toán 12 (có đáp án)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.01 MB, 20 trang )
1 | P a g e
Luyện tập – Đại số 12: Cực trị hàm số
Tóm tắt kiến thức về cực trị hàm số
2 | P a g e
3 | P a g e
4 | P a g e
5 | P a g e
Một số bài tập tham khảo
Bài 1. Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc
tọa độ O.
Hướng dẫn
1) Bạn đọc có thể tự làm
2) Ta có
, 2 2
3 6 3( 1)y x mx m
Để hàm số có cực trị thì PT
,
0y
có 2 nghiệm phân biệt
22
2 1 0x mx m
có 2 nhiệm phân biệt
1 0, m
Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B(m+1;-2-2m)
6 | P a g e
Theo giả thiết ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m
Vậy có 2 giá trị của m là
3 2 2m
và
3 2 2m
.
Bài 2. Cho hàm số
3 2 3
34y x mx m
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y =
x.
Hướng dẫn
1) Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x
3
3x
2
+ 4
TXĐ: R
Sự biến thiên: y’ = 3x
2
6x = 0 x = 0 hoặc x = 2
Hàm số đồng biến trên: (; 0) và (2; +)
Hàm số nghich biến trên: (0; 2)
Hàm số đạt CĐ tại x
CĐ
= 0, y
CĐ
= 4; đạt CT tại x
CT
= 2, y
CT
= 0
y” = 6x 6 = 0 x = 1
Đồ thị hàm số lồi trên (; 1), lõm trên (1; +). Điểm uốn (1; 2)
Giới hạn và tiệm cận:
3
3
34
lim lim 1
xx
yx
x
x
Bảng biến thiên
Đồ thị
7 | P a g e
2) Ta có: y’ = 3x
2
6mx = 0
0
2
x
xm
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m 0.
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m
3
), B(2m; 0)
3
(2 ; 4 )AB m m
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m
3
)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y =
x và I thuộc đường thẳng y = x
3
3
2 4 0
2
mm
mm
Giải ra ta có:
2
2
m
; m = 0
Kết hợp với điều kiện ta có:
2
2
m
Bài 3. Cho hàm số
4 2 2
21y x m x
(1).
1) Với m = 1, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).
8 | P a g e
2) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam
giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
Hướng dẫn
1) Với m = 1 hàm số là:
42
21y x x
TXĐ: R
Giới hạn, đạo hàm:
lim lim
xx
yy
3
0
' 4 4 ; ' 0
1
x
y x x y
x
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0), (1; +
); nghiechj biến trên các khoảng
(-
; - 1), (0; 1)
Hàm đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= 1, cực tiểu tại x =
1, y
CT
= 0
Dạng đồ thị
9 | P a g e
2) Ta có y’ = 4x
3
– 4m
2
x ; y’ = 0
22
0x
xm
; ĐK có 3 điểm cực trị : m
0
Tọa độ ba điểm cực trị : A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m
4
), C(m ; 1 – m
4
) ;
CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m
4
).
5
4
1
. 32 2
2
ABC
S AI BC m m m m
(tm)
Bài 4. Cho hàm số
2
m
y x m
x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1.
2) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách
đường thẳng d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau.
Hướng dẫn
1) Với m =1 thì
1
1
2
yx
x
Tập xác định: D
\2
Sự biến thiên:
2
22
1 4 3
'1
22
xx
y
xx
,
1
'0
3
x
y
x
.
10 | P a g e
lim
x
y
,
lim
x
y
,
22
lim ; lim
xx
yy
,
lim ( 1) 0 ; lim ( 1) 0
xx
y x y x
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x – 1
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
;1 , 3; ;
hàm số nghịch biến trên mỗi
khoảng
1;2 , 2;3
Cực trị: Hàm số đạt giá trị cực trị: y
CĐ
= 1 tại x = 1; y
CT
= 3 tại x = 3.
Đồ thị
2) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(
2 ;2 2 )m m m
; B(
2 ;2 2 )m m m
Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình:
11 | P a g e
22m m m m
0
2
m
m
Đối chiếu điều kiện thì m = 2 thoả mãn bài toán
Vậy ycbt m = 2.
Bài 5. Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ (m-1)x + 2.
1) Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m.
2) Xác định m để hàm số có cực tiểu tại x = 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số trong trường hợp đó.
Hướng dẫn
1) y’= 3x
2
– 6mx + m -1,
2
' 3(3 1) 0 m m m
=> hs luôn có cực trị
2) y’’ = 6x - 6m => hs đạt cực tiểu tại x = 2
'(2) 0
1
''(2) 0
y
m
y
Với m =1 => y = x
3
-3x + 2 (C)
TXĐ: D = R
Chiều biến thiên:
2
0
' 3 6 , y' = 0
2
x
y x x
x
=> hs đồng biến trên mỗi khoảng
( ;0)
và
(2; )
, nghịch biến trên khoảng (0 ;2)
Giới hạn:
lim , lim
xx
yy
Điểm uốn: y’’ =6x – 6, y’’ đổi dấu khi x đi qua x = 1 => Điểm uốn U(1; 0)
Bảng biến thiên
Đồ thị (C): Đồ thị cắt trục hoành tại điểm (1; 0),
1 3;0
, trục tung tại điểm (0; 2)
12 | P a g e
f(x)=x^3-3x^2+2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Bài 6. Cho hàm số y = x
3
+ ( 1 – 2m)x
2
+ (2 – m )x + m + 2 . (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn
1) Với m = 2 ta được y = x
3
– 3x
2
+ 4
Bạn đọc có thế tự làm
1) Hàm số có cực trị theo yêu cầu đầu bài khi và chỉ khi thỏa mãn 2 ĐK sau:
y
’
=0 có 2 nghiệm pbiệt x
1
< x
2
'2
4 5 0mm
m < - 1 hoặc m >
5
4
x
1
< x
2
< 1 ( Vì hệ số của x
2
của y
’
mang dấu dương )
….
'
42m
…
21
15
m
Kết hợp 2 ĐK trên ta được… Đáp số
;1m
57
;
45
Bài 7. Cho hàm số
4 2 2
2 2 5 5y f x x m x m m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
2) Tìm các giá trị của m để ®å thÞ hµm sè có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam
giác vuông cân.
Hướng dẫn
1) Với m = 1
TXĐ: D =
R
13 | P a g e
Sự biến thiên của hàm số:
1444''
23
xxxxyxf
1;1;00' xxxy
Giới hạn tại vô cực:
xf
x
lim
:
xf
x
lim
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
0;1
vµ
;1
, nghịch biến trên mỗi khoảng mỗi
khoảng
1;
và
1;0
Hàm số đạt cực tiểu tại
0;1
CT
yx
, đạt cực đại tại
1;0
CD
yx
Đồ thị
Điểm uốn:
412''
2
xy
, các điểm uốn là:
9
4
;
3
3
,
9
4
;
3
3
21
UU
Giao điểm với các trục toạ độ: A(0; 1), B(-1;0) và C(1; 0)
Hàm số là chẵn trên R nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
8
6
4
2
-2
-4
-5
5
2) Ta có
3
2
0
' 4 4 2 0
2
x
f x x m x
xm
Hàm số có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu :
14 | P a g e
m < 2 (1) . To cỏc im cc tr l:
mmCmmBmmA 1;2,1;2,55;0
2
Do tam giỏc ABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi vuụng ti A:
1120.
3
mmACAB
vỡ k (1)
Trong ú
44;2,44;2
22
mmmACmmmAB
Vy giỏ tr cn tỡm ca m l m = 1.
Bi 8. Cho hm s
mxxmxy 9)1(3
23
, vi
m
l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi
1m
.
2) Xỏc nh
m
hm s ó cho t cc tr ti
21
, xx
sao cho
2
21
xx
.
Hng dn
1) Với
1m
ta có
196
23
xxxy
.
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên
Chiều biến thiên:
)34(39123'
22
xxxxy
Ta có
1
3
0'
x
x
y
,
310' xy
.
Do đó:
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
)1,(
và
),3(
.
+ Hm số nghịch biến trên khoảng
).3,1(
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
1x
và
3)1( yy
CD
; đạt cực tiểu tại
3x
và
1)3( yy
CT
.
Giới hạn:
yy
xx
lim;lim
.
Bng bin thiờn
15 | P a g e
§å thÞ:
§å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm
)1,0(
.
1 2 3 4
-1
1
2
3
x
y
O
2) Ta cã
.9)1(63'
2
xmxy
Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i
21
, xx
ph-¬ng tr×nh
0'y
cã hai nghiÖm pb lµ
21
, xx
Pt
03)1(2
2
xmx
cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ
21
, xx
.
31
31
03)1('
2
m
m
m
)1(
Theo ®Þnh lý Viet ta cã
.3);1(2
2121
xxmxx
Khi ®ã
41214442
2
21
2
2121
mxxxxxx
)2(134)1(
2
mm
Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m lµ
313 m
vµ
.131 m
Bài 9. Cho hàm số
4 2 2
22y x m x
(1)
1) Với
1m
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
16 | P a g e
2) Tìm m
()m
để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành 3 đỉnh của một tam giác
vuông.
Hướng dẫn
1) m=1 =>
42
22y x x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
42
22y x x
Tập xác định:
D
Sự biến thiên của hàm số
Giới hạn tại vô cựccủa hàm số.
4 2 4
24
22
lim lim ( 2 2) lim (1 )
lim
xx
x
x
y x x x
xx
y
Lập bảng biến thiên
3
0 (0) 2
' 4 4 ; ' 0
1 ( 1) 1
xy
y x x y
xy
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trêncác khoảng (-1;0) và (1;+
)
Hàm số nghịch biến trêncác khoảng (-
;-1) và (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0 =>y
cđ
=2
Hàm số đạt cực tiểu tại
11
ct
xy
Đồ thị
Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>
x
Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=2
17 | P a g e
Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
2) Tìm m
()m
để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành 3 đỉnh của một tam giác
vuông.
4 2 2
22y x m x
32
' 4 4y x m x
m=0
3
' 4 0 0y x x
hàm số không có 3 cực trị
m=0 loại
4
0 (0) 2
0 ' 0
| | ( | |) 2
xy
my
x m y m m
Mọi m
0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0;2), B(-|m|;2-m
4
), C(|m|;2-m
4
)
18 | P a g e
2 8 2
;4AB m m AC BC m
A,B,C lập thành 3 đỉnh của một tam giác vuông
ABC vuông tại A
2 2 2 2 8 2 8 2
0
2( ) 4 0
1
m
AB AC BC m m m m m
m
kết hợp m
0 được
1m
Bài 10. Cho hàm số
m
y x m (Cm)
x2
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc
tọa độ 0.
Hướng dẫn
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (bạn đọc tự làm)
2) Ta có:
2
22
m m (x 2) m
y x m y' 1
x2
(x 2) (x 2)
Đồ thị h/s có 2 cực trị y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
(x 2)
2
m = 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 m > 0
Gọi A (x
1
, y
1
) ; B (x
2
, y
2
) là 2 điểm cực trị
11
22
x 2 m y 2 m 2 m
y' 0
x 2 m y 2 m 2 m
P/trình đường thẳng AB :
x (2 m) y (2 m 2 m)
(m 0)
2 m 4 m
2x y 2 + m = 0
AB qua gốc O (0, 0) 2 + m = 0 m = 2.
Cách khác:
2
x (m 2)x m u
y
x 2 v
;
2
m
y' 1
(x 2)
y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt m > 0
19 | P a g e
Khi m > 0, pt đường thẳng qua 2 cực trị là
/
/
u
y 2x m 2
v
Do đó, ycbt
m2
=0
m2
Bài tập tự luyện
20 | P a g e
