Bài toán khoảng cách và góc giữa hai mặt phẳng

Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 03: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Dạng 1: Tính khoảng cách
Loại 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phương pháp:Cho điểm


0 0 0
; ;
M x y z
và mặt phẳng (P)
: 0
ax by cz d
   
. Khi đó khoảng cách
từ M đến (P) được cho bởi công thức:
 
 
0 0 0
2 2 2
;
ax by cz d
d M
a b c

  


 

Ví dụ 1:
Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng (P): x + y –z + 1 = 0 và (Q) x –y +z – 5 = 0
Bài giải:
Gọi điểm


0; ;0
M b Oy

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
 
 
 
2
2 2
1.0 1. 1.0 1 1
;
3
1 1 1
b b
d M P
   
 
  

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) là:
 

 
 
2
2 2
1.0 1. 1.0 5 5
;
3
1 1 1
b b
d M Q
   
 
  

Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:








; ;
d M P d M Q

1 5
1 5
3 3
b b

b b
 
     

1 5 0 4
3
1 5 2 6
b b b
b
b b b
   
 
    
 
     
 

Vậy


0; 3;0
M 
Ví dụ 2:
Viết phương trình mặt phẳng



song song với




: x + 2y + 2z – 10 = 0 và khoảng cách từ
M( 1; 0; 1) đến



bằng 2.
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà



Bài giải:
Vì



song song với



nên



có dạng: x + 2y + 2z + D = 0
Khoảng cách từ M đến




là:
 
 
2 2 2
1.1 2.0 2.1 3
;
3
1 2 2
D D
d M

   
 
 

Vì




;d M

= 2 nên có:
3
2
3
D


3 6 3
3 6
3 6 9
D D
D
D D
   
 
    
 
   
 

Vậy



có dạng
x 2y 2z 3 0
x 2y 2z 9 0
   


   


Ví dụ 3: Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC

,
4
AC AD cm
 
, 3
AB cm

, 5
BC cm

. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng


BCD

Bài giải:
Vẽ hình:
Ta thấy:
2 2 2
AB AC BC ABC
  

vuông tại A
Chọn hệ trục tọa độ Axyz với Ax, ,
B C Ay D Az
  
.
Khi đó:
(0;0;0), (3;0;0), (0;4;0), (0;0;4)
A B C D

Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
1 4 3 3 12 0
3 4 4
x y z
x y z
       

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng


BCD
là:
2 2 2
12
12
34
4 3 3
d

 
 


Ví dụ 4:
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cách điểm M(1; 2; 1) một khoảng bằng 2
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và cách điểm N(3; 3; 1)
một khoảng bằng 3
Bài giải:
a) Mặt phẳng (P) chứa trục Ox nên có dạng: By + Cz = 0
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
 
 
2 2
2
;
B C
d M P
B C




Vì




;
d M P
= 2 nên
2 2
2
2
B C

B C



2 2
2 2
B C B C
   
 
2 2 2 2
2
4 4 4 4
3 4 0
3 4 0
B C BC B C
C BC
C C B
    
  
  

0
3 4 0
C
C B




 



Nếu
0 0
C y
  

Nếu
3 4 0
C B
 
. Chọn C = 4, B = 3
3 4 0
y z
  

Vậy phương trình của (P) là:
0
3 4 0
y
y z



 


b) Gọi



; ;
n a b c

là VTPT của mặt phẳng (Q)
Phương trình mặt phẳng (Q) qua A(1; 0; 0) nhận


; ;
n a b c

là VTPT là:


1 0
a x by cz
   

0
ax by cz a
    

Vì (Q) qua B(0; 2; 0) nên có: 2b – a = 0 2
b a
 

Chọn a = 2, b = 1

phương trình (Q) là: 2x + y + cz – 2 = 0
Khoảng cách từ N đến (Q) là:
2 1 2 2

2.3 1.3 .1 2 7
3 3
2 1 5
c c
c c
   
  
  

2 2 2
7 3 5 49 14 45 9
c c c c c
        
2 2
8 14 4 0 4 7 2 0
c c c c
       

2
1
4
c
c





 


Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
2x y 2z – 2 0
8x 4y - z – 8 0
  


 


Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Loại 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Phương pháp:
Bước 1: Chọn một điểm M có tọa độ cụ thể nằm trên mặt phẳng


.


Bước 2: Khi đó











; ; .
d d M
  

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa


: 2 2 11 0
x y z

   
và


: 2 2 2 0.
x y z

   

Bài giải:
Ta thấy:
   
1 2 2 11
/ /
1 2 2 2

 
   
Lấy




1; 3; 3M

   . Khi đó:
   
 
 
 
2 2 2
1 6 6 2
9
; ; 3
3
1 2 2
d d M
  
  
   
 

Vậy d = 3
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng:





1 2
: 2 2 3 0, : 2 2 1 0
P x y z P x y z
       

Bài giải:
Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng


1
P
và


2
P
nên có dạng:
2 2 0
x y z D
   

Vì (P) cách đều


1
P
và



2
P
nên












1 2
; ;
d P P d P P
 (1)
Chọn








1 2

1; 1;0 , 1;0;0
A P B P
    
Có:
   
 
 
 
1
1 2
; ;
3
D
d P P d A P
  
 
   
 
 
 
2
1
; ;
3
D
d P P d B P
 
 
Từ (1)
1 2 1

3 1
3 3
D D
D D
    
       

Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

3 1 0 2
2
3 1 2 4
D D D
D
D D D
     
 
   
 
    
 

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
2 2 2 0
x y z
   

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M cách đều




:2 4 5 0, :3 5 1 0.
x y z x y z
 
       

Bài giải:
Gọi


; ;
M x y z

Khoảng cách từ M đến



là:
 
 
2 4 5 2 4 5
;
4 1 16 21
x y z x y z

d M

     
 
 

Khoảng cách từ M đến



là:
 
 
3 5 1 3 5 1
;
9 25 1 35
x y z x y z
d M

     
 
 

Vì M cách đều



và




nên








; ;d M d M
 

2 4 5 3 5 1
21 35
x y z x y z
     
 

   
5. 2 4 5 3. 3 5 1
5 2 4 5 3. 3 5 1
x y z x y z
x y z x y z
       
        









2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0.
x y z
      
 

Vậy tập hợp các điểm M cách đều



và



là hai mặt phẳng:






2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0.
x y z
      
 

Dạng 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp: Cho hai mặt phẳng




1 1 1 1 2 2 2 2
: 0, : 0
a x b y c z d a x b y c z d
 
       

Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

tạo với nhau một góc
.

Khi đó
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
.
.
n n
a a bb c c

n n
a b c a b c
 
 

 
 
   
 
 


Ví dụ 1:
Tính góc giữa các mặt phẳng




: 1 0, : 5 0.
x y z x y z
 
       
Đs:
Bài giải:
VTPT của



là



1;1; 1
n

 


VTPT của



là


1; 1;1
n

 


Gọi
.

là góc giữa hai mặt phẳng



và




. Khi đó
 
 
2
2 2 2 2 2
.
1.1 1.1 1.1
1
cos
3
.
1 1 1 . 1 1 1
n n
n n
 
 

 
  
     
 
 

Ví dụ 2:
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng



:

2 5 0
x y z
  
một góc
0
60

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(3; 0; 0), C(0; 0; 1)
và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
0
60

Bài giải:
a) Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có dạng: Ax + By = 0
VTPT của (P) là:


; ;0
P
n A B


, VTPT của



là:


2;1; 5

n

 


Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Vì mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng



một góc
0
60
nên:
2 2
.
2
1
cos
2
.
. 4 1 5
P
P
n n

A B
n n
A B




  
  
 
 
2 2
2 2 10
A B A B
   


2 2 2 2
4 4 4 10 10
A AB B A B
    
2 2
6 16 6 0
A AB B
   
1
3
3
A B
A B






 


Với
1
3
A B
 . Chọn B = 3, A = 1
3 0
x y
  

Với
3
A B
 
. Chọn B = -1, A = 3
3 0
x y
  

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
3 0
3 0
x y

x y
 


 


b) Gọi


; ;
Q
n a b c


là VTPT của mặt phẳng (Q)
Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = 0

VTPT của (xOy) là
(0;0;1)
n 


Phương trình mặt phẳng (Q) qua A có VTPT


; ;
Q
n a b c



là:


3 0
a x by cz
   
ax 3 0
by cz a
    

Vì (Q) qua C (0; 0; 1) nên
3 0 3
c a c a
   

Chọn a = 1, c = 3
( ):x 3 3 0
Q by z
    

Vì mặt phẳng (Q) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc
0
60
nên ta có:
2 2 2 2
.
3
3
cos

.
1 3 . 1 10
Q
Q
n n
n n
b b

  
  
 
 

Vì
0
1
cos os60
2
c

 
nên
2 2
2
3 1
10 6 10 36
2
10
b b
b

      



2
26 26
b b    
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
x 26 3 3 0
x- 26 3 3 0
y z
y z

   

  




Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0), A’(0; 0; b) với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC’.
a) Tính thể tích tứ diện BDA’M
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

b) Tìm tỉ số

a
b
để mặt phẳng (A’BD)

(MBD)
Bài giải:
Vẽ hình:
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với








0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ' 0;0;
A B a D a A b

Từ giả thiết ta có:
   
; ;0 , ' ; ; ; ;
2
b
C a a C a a b M a a
 

 
 

Vậy
 
; ;0 , 0; ;
2
b
BD a a BM a
 
  
 
 
 
2
; ; ;
2 2
ab ab
BD BM a
 
 
  
 
 
 
 

Có
   
2
2
3
' ;0; ; . ' ; ; ;0;

2 2 2
ab ab a b
BA a b BD BM BA a a b

 
 
      
 
 
 
   

Do đó:
2
'
1
; . '
6 4
BDA M
a b
V BD BM BA
 
 
 
  

b) Mặt phẳng (BDM) có VTPT là:
2
1
; ; ;

2 2
ab ab
n BD BM a
 
 
  
 
 
 
  

Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là:


2
2
; ' ; ;
n BD BA ab ab a
 
 
 
  

   
2 2 2 2
4
1 2
' . 0 0 1
2 2
a b a b a

BDM A BD n n a a b
b
           
 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho ba điểm






1;0;0 , 0;2;0 , 3;3;1
A B C .
a. Chứng tỏ A, B, C không thẳng hàng. Tinh diện tích
ABC


ĐS:
3 6
2
ABC
S 


b. Lập phương tình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và cách điểm C một khoảng bằng
3 ĐS:
2 2 2 0
( ):

8 4 8 0
x y z
Q
x y z
   


   


Bài 2: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q):
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

a. (P): 2x + y – 2z – 1 = 0 và (Q): 6x – 3y + 2z – 2 = 0
b. (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): x + 2y + z + 5 = 0
ĐS: a) 4x – 16y + 20z + 1 = 0 hoặc 32x – 2y – 8x – 13 = 0
b) x + 2y + z + 2 = 0
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a vuông
góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và AC
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) ĐS:
3


b. Tính góc giữa hai mặt phẳng(SEF) và (SBC) ĐS:
3
os

10
c



Bài 4: trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm






1;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A B b C c
, trong đó
,
b c
dương và mặt phẳng (P):
1 0
y z
  
. Xác định
b
và
c
, biết mặt phẳng


ABC
vuông góc với

mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng


ABC
bẳng
1
3

ĐS:
1
2
b c
 

Bài 5: trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện
ABCD
có các đỉnh






1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1
A B C  và


0;3;1
D . Viết phương trình mặt phẳng



P
đi qua
,
A B
sao cho
khoảng cách từ
C
đến


P
bằng khoảng cách từ
D
đến


P

ĐS:
4 2 7 15 0
( ):
2 3 5 0
x y z
P
x z
   


  



Bài 6:Cho hình hộp đứng
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có đáy là hình vuông, tam giác
'
A AC
vuông cân,
'
A C a

. Tính thể tich của khôi tứ diện
' '
ABB C
và khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng


'
BCD
theo a. ĐS:
6
6
a

Bài 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng



: 3 0
P x y z
   
và


: 1 0
Q x y z
   
. Viết phương trình mặt phẳng


R
vuông góc với


P
và


Q
sao cho khoảng
cách từ O đến


R
bằng 2. ĐS:
( ) : 2 2 0
R x z
  

Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Bài 8:Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại B,
,AA' 2 , ' 3
AB a a A C a
  
. Gọi
M
là trung điểm của đoạn thẳng
' '
A C
,
I
là giao điểm của
AM

và
'
A C
. Tính theo

a
thể tích khối tứ diện
IABC
và khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng


IBC

ĐS:
 
 
3
4 2 5
, ;
9 5
IABC
a a
V d A IBC 
Bài 9: Cho 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho
a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Xác định a, b, c để khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) lớn nhấ
t.
ĐS: a = b = c = 1