Bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần


Bài giảng sô 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho hàm số
)(xfy

xét trên tập .
- Số  gọi là giá trị lớn nhất của hàm số  = 
(

)
trên  nếu

∀ ∈ :
(

)
≤ 
∃

∈ :
(



)
= 
.
Kí hiệu là max
∈

(

)
=  = 
(


)
.
- Số  gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số  =
(

)
trên  nếu

∀ ∈ :
(

)
≥ 
∃

∈ :
(



)
= 
.
Kí hiệu là min
∈

(

)
=  =
(


)
.
2. phương pháp tìm min và max
Phương pháp 1: Bảng biến thiên
Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’
Bước 2: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Kết luận giá trị min và max dựa vào bảng biến thiên.
Phương pháp 2: Phương pháp hàm liên tục trên đoạn.

B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
2
3( 1)
( )

2 2
x
f x
x x


 

trên khoảng


;
 

Lời giải
Tập xác định  =ℝ
Ta có
2
2 2
6
1 (1)
3 3
'( ) ; '( ) 0
5
(2 2)
1 ( 1) 2
x f
x
f x f x
x x

x f

  


  

 
    



2
3
)( 

xfLim
x

Bảng biến thiên



−
∞

−
1

1


+
∞

′
(

)


+

0

−

0

+





(

)

3
2



















2

6
5


3
2

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
12)(max  xxf
D
;
1
5
6
)(min  xxf
D

Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
4)( xxxf 

trên miền xác định của nó.

Lời giải
Tập xác định


2;2D
Ta có: 20)('
4
1)('
2


 xxf
x
x
xf
2)2(;22)2(;0)2(;2)2(  ffff

Vậy 222)(max  xxf
D
; 22)(min  xxf
D

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
x
x
y
2
ln


trên đoạn


3
;1 e
Lời giải
Ta có :
2
)ln2(ln
'
x
xx
y


;


 














32
3
;1
;11
2ln
0ln
0'
eex
ex
x
x
y
Khi đó
0)1(

y
;
2
2
4
)(
e
ey 
;
3
3
9
)(

e
ey 

Vậy
 
2
2
;1
4
max
3
ex
e
y
e

; 10min  xy
Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số
)sincos2(sin
cos
2
xxx
x
y



trên khoảng







3
;0


Lời giải
Hàm số xác định trên khoảng






3
;0









3
;0


x

ta có 0cos

x . Chia cả tử và mẫu cho
x
cos
ta được
)tan2(tan
1
tan2
1
2
xxx
y






Đặt
x
t
tan


thì



3;0
3
;0 






 tx


Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Khi đó ta có:
)(
)2(
1
2
1
2
tg
ttt
y 






 
 











1
0
0430)('
)2(
43
2
1
)('
3
24
2
2
t
t
ttttg

tt
tt
t
tg

Bảng biến thiên

t

0 1
3

)(' tg

- 0 +
)(tg





2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy


4
12)(minmin
1;0
3

;0









xttgy

Ví dụ 5: Cho các số thực không âm
y
x
,

thay đổi và thỏa mãn
1


yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức




xyxyyxS 253434
22

 .
Lời giải
Ta có
S


xyxyyxyx 2591216
3322







xyyxxyyxyx 3431216
3
22




xyxyyx 34311216
22
 12216
22
 xyyx
Đặt
xy
t



với











4
1
;0
4
1
4
0
2
t
yx
xy
Ta được 12216
2
 ttS

với








4
;0

t







4
1
;0
16
1
0'232' tStS
Bảng biến thiên
Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

t

0
16
1


4
1

)(' tg




0



)(tg

12
16
191


2
25

Dựa vào bảng biến thiên ta có






















4
32
;
4
32
4
32
;
4

32
16
1
2
25
)(minmin
4
1
;0
yx
yx
ttgS
2
1
4
1
2
25
)(maxmax
4
1
;0







yxttgS

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình


xxmxxx  4512
(1)
có nghiệm.
Lời giải
Điều kiện:
40


x
.
Khi đó
 
)(
45
12
1 xF
xx
xxx
m 



Ta có:
12)(  xxxxf

có

 
)(4;0,0
122
1
2
3
)(' xfx
x
x
xf 



tăng trên


4;0 và




4;0,0)(  xxf .
xxxg  45)(

có
 
)(4;0,0
42
1
52

1
)(' xgx
xx
xg 







giảm trên


4;0

và


4;0,0)(  xxg
Do đó
)
(
x
F

là hàm tăng trên


4;0 .

Ta có bảng biến thiên:


Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

x

0


4

)(' xF





)(xF



)0(F

)4(F

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (1) có nghiệm
)4()0( FmF




12
25
12


 m
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
1
2



x
x
y

trên đoạn


2;1 .

Đs:
)1(0min);1(2max  fyfy

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1)3(
2
 xxy

trên đoạn


2;0 .
Đs:
5min;3max  yy

Bài 3: Cho
1,0,0




yxyx
.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
yx
P 33
2
 .
Đs:


















3
3
3
3
3
2
3
log1;
2
3
log
4
9
min));0;1((10max yPyP
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
x

x
xx
y
66
44
cos
sin
cossin


 .
Đs:
1max;
7
5
min  yy
.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
1
1
3
1
1
)(
2
2
2
3
2

2























xx
xx
xx
xx
xf

Đs:
2min;2max



yy

Bài 6: Cho hai số thực
0,0


yx

thay đổi thỏa mãn điều kiện xyyxxyyx 
22
)( . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
33
11
yx
A 
.
Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Đs:
2
1

16max  yxA

Bài 7: Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn
4
5
 yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yx
S
4
14

.
Đs:
)1(5max SS



Bài 8: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2
22
 yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức


xyyxP 32
33
 .
Đs:
7min,
2

13
max  PP

Bài 9: Cho
2
3
;0,,  zyxzyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
zyx
zyxP
111

.
Đs:
Bài 10: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn


24
3
 xyyx
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức




123
222244
 yxyxyxA .
Đs:
2

1
16
9
min  yxA

Bài 11: Tìm m để phương trình




mxxxxx  4sincossin4cossin4
26644

có nghiệm.
Đs:
1
16
9


m