Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án)

1 | P a g e

Luyện tập: Đại số 12 – Bài toán tương giao
của đồ thị hai hàm số
Tóm tắt kiến thức về bài toán tương giao





2 | P a g e

Bài tập ví dụ
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
22
1
m
xx
x
  


Hướng dẫn

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
32
32y x x .  

 Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.

 Sự biến thiên:
2
36y' x x.
Ta có
0
0
2
x
y'
x







   
0 2 2 2
CD CT
y y ;y y .    

 Bảng biến thiên

 Đồ thị:


3 | P a g e

2) Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2


x
m
xx
theo tham số m
Ta có
 
22
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
        

Do đó số nghiệm của phương trình
bằng số giao điểm của
 
 

2
2 2 1y x x x , C'   
và đường thẳng
1y m,x .

Với
 
 
 
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x



    




nờn
 
C'
bao gồm:
o Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1x.

o Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1x 
qua Ox.


Dựa vào đồ thị ta có:
o
2m:
Phương trình vụ nghiệm;
o
2m:
Phương trình có 2 nghiệm kộp;
o
20m:  
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
o
0m:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2. Cho hàm số
3x 4
y
x2




1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2
đường tiệm cận .

4 | P a g e

2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh sau cú 2 nghim trờn on
2
0;
3




.
sin
6
x + cos
6
x = m ( sin
4
x + cos
4
x )
Hng dn
1) Khảo sát và vẽ ĐTHS
TXĐ: D =
R
\ {2}
Sự biến thiên:
Giới hạn :
xx
Lim y Lim y 3

nên đ-ờng thẳng y = 3 là tiêm cận ngang của đồ thị hàm
số
x 2 x 2
Lim y ;Lim y



. Do đó đ-ờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên:
Ta có : y =

2
2
2x


< 0 ,
xD


Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

;2
và
Đồ thị
Giao điểm với trục tung : (0 ;2)
Giao điểm với trục hoành : ( 4/3 ; 0)
ĐTHS nhận giao điểm I(2 ;3) của hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng

5 | P a g e


2) Gọi M(x;y)

(C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3
| x 2 | = | y 3 |
3x 4 x
x 2 2 x 2
x 2 x 2





x1
x
x2
x4
x2








Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M

1
( 1; 1) và M
2
(4; 6)
3) Xét ph-ơng trình : sin
6
x + cos
6
x = m ( sin
4
x + cos
4
x ) (2)
22
31
1 sin 2x m 1 sin 2x
42




(1)
Đặt t = sin
2
2x . Với
2
x 0;
3

thì

t 0;1
. Khi đó (1) trở thành :
2m =
3t 4
t2


với

t 0;1

Nhận xét : với mỗi

t 0;1
ta có :
sin2x t
sin2x t
sin2x t

Để (2) có 2 nghiệm thuộc đoạn
2
0;
3




thì

33
t ;1 t ;1
24








D-a vào đồ thị (C) ta có : y(1)< 2m y(3/4)
7
1 2m
5


Vậy các giá trị cần tìm của m là :
17

;
2 10








6 | P a g e

Bài 3. Cho hàm số :
2
1
x
y
x



(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).
2) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng
d
:
y x m  
luôn cắt đồ thị (C)
tại hai điểm A,B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
 D=R/
 
1

 y
'
2
1
( 1)x


> 0 ,
xD

h/số đồng biến trên D và không có cực trị
Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1
Tâm đối xứng I(1;1)
 BBT

 Đồ thị


7 | P a g e

2) Phương trình hoành độ giao điểm của d
()C
là:

2

20x mx m   
(1) ; đ/k
1x 

Vì
2
4 8 0
(1) 1 0
mm
f

    

  

với
m
,nên p/t (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với
m
.Suy
ra d
()C
tại hai điểm phân biệt với
m

Gọi các giao điểm của d
()C
là: A(
;
AA

x x m
) ; B(
;
BB
x x m
);với
A
x
;
B
x
là các
nghiệm của p/t (1)

 
2
22
22
2( ) 2 ( ) 4 .
2 4( 2) 2 ( 2) 4 8
A B A B A B
AB x x x x x x
m m m

    


      


Vậy : AB
min
22
, đạt được khi m = 2
Bài 4. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ thị là (C
m
); ( m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các
tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Hướng dẫn
1) Bạn đọc có thể tự làm
2) PT hoành độ giao điểm x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = 1

x(x
2
+ 3x + m) = 0


m = 0, f(x) = 0
Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác 0 và y’(x
1
).y’(x
2
) = -1
Hay
22
1 1 2 2
9 4 0, (0) 0
(3 6 )(3 6 ) 1.
m f m
x x m x x m
   


     

2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
9
9
,0
,0
4

4
9( ) 18 ( ) 3 ( ) 36 6 ( ) 1
4 9 1 0
mm
mm
x x x x x x m x x x x m x x m
mm








         
  



Giải ra ta có ĐS: m =
9 65
8


Bài 5. Cho hàm số : y =
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)x mx m x m    
(1)
1) Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) .

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Hướng dẫn

8 | P a g e

1) Với m=0, ta có: y=x
3
-3x+1
 TXĐ D=R
 y’=3x
2
-3; y’=0

1
1
x
x






lim
x
y

 

 Bảng biến thiên

Hs đồng biến trên khoảng (

;-1) và (1;

), nghịch biến trờn (-1;1)
Hs đạt cực đại tại x=-1 và y
cđ
=3, Hs đạt cực tiểu tại x=1 và y
ct
=-1
 Đồ thị : cắt Oy tại điểm A(0;1)
và đi qua các điểm B(-2;-1), C(2;3)
Đồ thị nhận điểm A(0;1) làm tâm đối xứng

2) Ta có y’= 3x
2
-6mx+3(m
2
-1)
y’=0

1
1
xm
xm







Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thì ta phải có:

9 | P a g e

'
2 2 2
'0
.0
( 1)( 3)( 2 1) 0
0 1 0
10
0
( 1) 0
(0) 0
y
CD CT
CD
CT
mR
ff
m m m m
xm
m
x
m
f








    



   





  






Vậy giá trị m cần tìm là:
( 3;1 2)m

Bài 6. Cho hàm số
42
( ) 8x 9x 1y f x   

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
42
8 os 9 os 0c x c x m  
với
[0; ]x


.
Hướng dẫn
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
 Tập xác định:
D 

 Sự biến thiên:
Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
 
   


 
32
' 32x 18x = 2x 16x 9y   

0
'0
3
4

x
y
x








Bảng biến thiên

10 | P a g e


 
3 49 3 49
; ; 0 1
4 32 4 32
CT CT
y y y y y y
   
        
   
   
C§

 Đồ thị

2) Xét phương trình
42
8 os 9 os 0c x c x m  
với
[0; ]x


(1)
Đặt
osxtc
, phương trình (1) trở thành:
42
8 9 0(2)t t m  

Vì
[0; ]x


nên
[ 1;1]t
, giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của
phương trình (1) và (2) bằng nhau.
Ta có:
42
(2) 8 9 1 1 (3)t t m    

Gọi (C
1
):
42

8 9 1y t t  
với
[ 1;1]t
và (D): y = 1 – m.
Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (D).
Chú ý rằng (C
1
) giống như đồ thị (C) trong miền
11t  
.
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

11 | P a g e

o
81
32
m 
: Phương trình đã cho vô nghiệm.
o
81
32
m 
: Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
o
81
1
32

m
: Phương trình đã cho có 4 nghiệm.
o
01m
: Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
o
0m 
: Phương trình đã cho có 1 nghiệm.
o m < 0 : Phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 7. Cho hàm số
32
2( 1) 9 2y x m x x m     
(1)
1) Với
4m 
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2)
Tìm m
()m
để hàm số (1) đạt cực trị tại
12
,xx
thoả mãn
12
2.xx

Hướng dẫn
1)
32
4 6 9 2m y x x x     

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
32
6 9 2y x x x   

 Tập xác định:
D 

 Sự biến thiên của hàm số
Giới hạn tại vô cực của hàm số.
3 2 3
23
6 9 2
lim lim( 6 9 2) lim (1 )
lim
xx
x
x
y x x x x
x x x
y
 


         
 

 Lập bảng biến thiên
2
1 (1) 2

' 3 12 9; ' 0
3 (3) 2
xy
y x x y
xy
  

    

   



Hàm số đồng biến trên các khoảng (-

;1) và (3;+

)

12 | P a g e

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Hàm số đạt cực đại tại x=1 =>y
cđ
=2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=3=>y
ct
=-2
 Đồ thị
Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=2;x=2

3

Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=-2
Đồ thị hàm số nhận điểm I(2;0) làm tâm đối xứng

2) Ta có
2
' 3 4( 1) 9y x m x   

y’ là tam thức bậc hai nên hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
12
,xx

khi và chỉ khi y’có hai
nghiệm phân biệt
2
33
1
2
4( 1) 27 0 (1)
33
1
2
m
m
m





      





Theo viét
1 2 1 2
4( 1)
;3
3
m
x x x x

  
.
Khi đó

 
2
1 2 1 2 1 2
2
2 4 4
16( 1)
12 4
9
x x x x x x
m
     


  


13 | P a g e

2
2
( 1) 3 (2)
4
m
m
m


   




Từ (1) và (2) suy ra m=-2;m=4
Bài 8. Cho hàm số
21
1
x
y
x



có đồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2)
Tìm m
()m
để đường thẳng
y x m
cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
4AB 

Hướng dẫn
1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
21
1
x
y
x




 Tập xác định:
\{1}D 

 Sự biến thiên của hàm số
Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số. Tiệm cận của đồ thị hàm số.
1
2
21
lim lim lim 2

1
1
1
xx
x
x
x
y
x
x
 



  



 Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang
11
11
2 1 2 1
lim lim ;lim lim
11
xx
xx
xx
yy
xx






     


 Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng
 Lập bảng biến thiên
2
1
'0
( 1)
y x D
x

   

, y’ không xác định <=> x=1
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Hàm số không có cực trị.


14 | P a g e

 Đồ thị
Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2
Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1
đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng

2) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương

trình
  
21
1
2 1 1 (*)
x
xm
x
x x x m



    

( x=1 không phải là nghiệm của (*))
2
( 3) 1 0x m x m     
(1)
22
( 3) 4(1 ) 2 5 0m m m m m         

Do đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x y B x y
với
12
,xx
là hai nghiệm
của (1)
Theo viét

1 2 1 2
3 ; 1x x m x x m    
. Vì
, ( )A B d
nên
1 1 2 2
;y x m y x m   

 
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2( ) 2 4 2( 2 5)AB x x x x x x m m

       


2 2 2
1
4 16 2( 2 5) 16 2 3 0
3
m
AB AB m m m m
m


           




Bài 9. Cho hàm số
3
32y x x  

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

15 | P a g e

2) Tìm m (
m
) để phương trình
3
( 3 2) 1m x x  
có 3 nghiệm thực phân biệt.
Hướng dẫn
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3
32y x x  

 Tập xác định:
D 

 Sự biến thiên của hàm số
Giới hạn tại vô cực của hàm số.
33
23
32
lim lim ( 3 2) lim (1 )
lim

xx
x
x
y x x x
xx
y
 


       
 

Lập bảng biến thiên
2
1 ( 1) 4
' 3 3; ' 0
1 (1) 0
xy
y x y
xy
    

   

  



Hàm số đồng biến trên các khoảng (-


;-1) và (1;+

)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=-1 =>y
cđ
=4
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1=>y
ct
=0
 Đồ thị
Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1;x=-2
Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=2
Thêm điểm x=2=>y=2
Đồ thị hàm số nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng.

16 | P a g e


2) Tìm m (
m
)để phương trình
3
( 3 2) 1m x x  
(1) có 3 nghiệm thực phân biệt
 m=0 => (1) vô nghiệm

3
1
0 (1) 3 2m x x

m
    

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị (C):
3
32y x x  
và đường thẳng
d:
1
y
m

. d cùng phương với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ là
1
m
.
có 3 nghiệm phân biệt <=> d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
từ đồ thị hàm số =>
1
0
0
0
11
04
41
1
1
4
0
;0

4
4
m
m
m
m
m
m
mm
m
m







  
      

  


  






Bài 10. Cho hàm số y = x
3
- (m+1)x
2
+ (m - 1)x + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1
2) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m. Tìm giá trị của m để
các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.
Hướng dẫn
1)
1)1()1(
23
 xmxmxy


17 | P a g e

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
m = 1 hàm số có dạng
12
23
 xxy

 TXĐ: D = R
 Sự biến thiên:
Giới hạn:

x

lim


x
lim

 Bảng biến thiên:
xxy 43'
2

,







3
4
0
0'
x
x
y


Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
 
0;

và






;
3
4

Hàm số nghịch biến trờn khoảng






3
4
;0

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y
CĐ
= y
(0)
= 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x =
3
4

; y
CT
=
27
5
3
4







y

 Đồ thị
Điểm uốn:






27
11
;
3
2
U

Giao với trục Oy (0, 1)
Giao với trục Ox (1, 0);


















0,
2
51
;0,
2
51

Nhận điểm uốn







27
11
;
3
2
U
làm tâm đối xứng

18 | P a g e

2) Honh giao im ca th hm s ú cho vi trc honh l nghim ca phng
trỡnh:
01)1()1(
23
xmxmx








)2(01
1

0)1)(1(
2
2
mxx
x
mxxx

CMinh
0m
phng trỡnh (2) lun cú hai nghim phõn bit khỏc 1

phng trỡnh (1) cú ba nghim phõn bit


0m
th hm s ú cho lun ct trc Ox ti 3 im phõn bit l: A(1, 0); B(x
1
,
0); C(x
2
, 0) vi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh (2)
Ta cú
)1()1(23'
2
mxmxy

H s gỳc ca tip tuyn ti B l:
)1()1(23'
1
2
1)(
1
mxmxy
x

H s gỳc ca tip tuyn ti B l:
)1()1(23'
2
2
2)(
2
mxmxy
x

Tip tuyn ti B v C song song vi nhau


2 ''
)()(
1
21
myy
xx

Bi 11. Cho hàm số
2

12



x
x
y
có đồ thị là (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2) Chứng minh đ-ờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Hng dn
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
TXĐ: D = R\{-2}
Chiều biến thiên
Giới hạn:




22
lim;lim;2limlim
xx
xx
yyyy

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2
Dx
x
y

0
)2(
3
'
2

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
)2;(
và
);2(

Bng bin thiờn

19 | P a g e


Đồ thị:
Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0;
2
1
) và cắt trục Ox tại điểm(
2
1

;0)
Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng

2) Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đ-ờng thẳng d là nghiệm của ph-ơng trình

)1(021)4(
2
2
12
2
mxmx
x
mx
x
x

Do (1) có
mmmvam 0321)2).(4()2(01
22
nên đ-ờng thẳng d
luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có y
A
= m x
A
; y
B
= m x

B
nên AB
2
= (x
A
x
B
)
2
+ (y
A
y
B
)
2
= 2(m
2
+ 12) suy ra
AB ngắn nhất AB
2
nhỏ nhất m = 0. Khi đó
24AB


20 | P a g e

Bài tập tự luyện

21 | P a g e





22 | P a g e