Biện luận số nghiệm bằng đồ thị (CĐ 7)

DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ
Dùng đồ thị hàm số giải bài toán biện luận phương trình trong nhiều trường hợp sẽ đơn giản
hơn
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Dựa vào nhận xét “Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) chính là số giao điểm của hai
đường y = f(x) và y = g(x), bài toán biện luận phương trình trong nhiều trường hợp có cách giải
đơn giản, rõ ràng nếu dựa vào các đồ thị đã biết của đường cho trước (thường dựa vào kết quả
của vẽ đồ thị hàm số trong các phần trước).
- Để đếm đúng số giao điểm của hai đường y = f(x), y = g(x) người ta sử dụng đến các điểm
tới hạn, và các vị trí tới hạn của các đường (thường là các vị trí mà các đường tiếp xúc với nhau).
Vì thế các kết quả trong mục này có liên quan đến các kết quả về tính tiếp xúc của các đường
Xét các thí dụ sau đây:
Thí d ụ 1:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 4x
3
- 3x
2. Biện luận số nghiệm của phương trình theo m 4
x
3
−
3 x = m
3. Chứng minh rằng phương trình 4x
3
- 3x =
1 − x
2
có 3 nghiệm
Giải :Ta có: y
’

= 12x
2
- 3, vậy có bảng biến thiên sau:
x -
∞
−
1
2
1
+
∞
2
y
’’
= 24x
y
’
+ 0 - 0 +
y 1 -1
Từ đó suy ra đồ thị có dạng sau (các bạn tự vẽ đồ thị):
Số nghiệm của phương trình 4
x
3
−
3 x = m
chính là số giao điểm của hai đường y =
4 x
3
−
3

x
đồ thị):
và y = m. Từ đồ thị ở câu 1 suy ra đồ thị của y = 4 x
3
−
3
x
như sau (các bạn tự vẽ
y = m là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ = m,
nên từ đồ thị suy ra:

Trang 1
Trang 2
0
- Nếu m > 0: Có 2 nghiệm
- Nếu m = 0: Có 3 nghiệm
- Nếu -1 < m < 0: Có 4 nghiệm
- Nếu m = -1: Có 2 nghiệm
- Nếu m < -1: Vô nghiệm
3. Đồ thị y = 4x
3
- 3x đã có ở câu 1. Xét hàm số:
y = 1 − x
2
Ta thấy nó có thể viết dưới dạng y ≥
0
x
2
+ y
2

= 1
Từ đó suy ra đồ thị của y =
1 − x
2
là nửa đường tròn tâm tại gốc toạ độ bán kính 1 (lấy
nửa trên ứng với y ≥ 0 ) (các bạn tự vẽ đồ thị)
Từ đó suy ra phương trình 4x
3
- 3x =
1 − x
2
có 3 nghiệm phân biệt => đpcm.
Thí d ụ 2: Tìm m để phương trình 4 x
3
−
3 x
−
1
= mx
−
m có bốn nghiệm phân biệt.
Làm tương tự như ví dụ 14, ta thấy đường cong y = 4
x
3
−
3 x −1
có đồ thị như sau (tự vẽ
đồ thị)
Đường thẳng y = mx - m = m(x - 1) với mọi m luôn đi qua điểm A(1,0) và có hệ số góc =
m. Xét hai vị trí tới hạn của họ đường thẳng y = m(x-1)

Trước hết là đường thẳng qua A (1,0) và B(0, -1). Đường thẳng này có hệ số góc m
1
= 1
Thứ hai xét tiếp tuyến với đường cong y = 4
x
3
−
3
x
vẽ qua A. Rõ ràng tiếp tuyến này
tiếp xúc với nhánh của đường cong với x < 0. (khi đó y = -4x
3
+ 3x). Gọi x
0
là hoành độ của tiếp
điểm (x
0
< 0) ,và m
2
là hệ số góc của tiếp tuyến. Ta có:
-4x
3
0
+ 3x
0
=m
2
(x
0
- 1)

(1)
-12x
2
0
+ 3 = m
2
(2)
x
0
< 0 (3)
Thay (2) vào (1) vì đi đến hệ
4x
3
0
- 6x
2
+ 1 = 0
m
2
= -12x
2
0
+ 3
x
0
= < 0
1
−
3
x

0
=
2
⇔
m
2
= 6 3
−
9
Phương trình đã cho có 4 nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y =m(x-1) nằm giữa hai
đường thẳng tới hạn trên (dĩ nhiên không tính tới hai đường chặn trên, và chặn dưới ấy).
Nói cách khác: 1 < m < 6 3 - 9 là các giá trị cần tìm của tham số m.

Thí d ụ 3. (Đại học và Cao đẳng khối A - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị y = -x
3
+ 3x
2
(C)
2. Tìm k để phương trình -x
3
+ 3x
2
+ k
3
- 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài giải:
1. Ta có y’ = -3x

2
+ 6x, y’’ = -6x +6 và có bảng biến thiên sau:
x -
∞
0 2 +
∞
y’ - 0 + 0 -
y’’ 0 4
Đồ thị của (C) như sau (tự vẽ đồ thị)
2. Ta thấy:
-x
3
+ 3x
2
+ k
3
- 3k
2
= 0
⇔

-x
3
+ 3x
2
= -k
3
+ 3k
2
(1)

Từ (1) suy ra (1) có 3 nghiệm phân biệt (dựa vào đồ thị của (C) khi và chỉ khi
0 < -k
3
+ 3k
2
< 4 (2)
Từ (2) và lại dựa vào đồ thị của (C) ở câu 1 trên suy ra.
-1 < k < 3
k ≠ 0, k ≠ 2
Vậy các giá trị cần tìm của tham số k là:
-1 < k < 0; 0 < k < 2, 2 < k < 3
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài

1. Cho hàm số: y = x
3
−
4x

2
+ 4x ,đồ thị (C). Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C)
với đường thẳng y=k
Bài 2: ( Đại học, Cao đẳng khối A năm 2006).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 (C)
2. Tìm m để PT
2 x

3
−
9 x
2
+
12 x =
m
Bài 3: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình :
x
2
−
2 | x | +3
= a
| x | −1
Bài 4: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
(
x
+

1)
2
y =
x
+
2
2. Biện luận theo tham số m về số nghiệm của phương trình sau:
( x
+
1)
2

−
m. | x + 2 |= 0
2
Bài 5: Cho hàm số
y =
−
x
3
+
3x
−
2
1. Khảo sát và vẽ đ ồ thị ( C ) của hà m số .
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x
3
− 3x + 2 +
l
og
với m là tham số dương.
m =
0
Bài 6: Cho hàm số
y = x
3
+
3x
2
−
9x + m (m là tham số )

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6
2. Với những giá trị nào của m thì phương trình
x
3
+

3x

2
−
9x + m =
0
có 3 nghiệm phân biệt .
Bài 7: Tìm những giá trị của t để phương trình
2 sin x
+
1
= t
sin x + 2
có đúng hai nghiệm thuộc khoảng [0;
π
].