Luận văn thạc sĩ Phương pháp véc tơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - -
NỊNH THỊ THU
PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - -
NỊNH THỊ THU
PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014
Tác giả
Nịnh Thị Thu
i
Mục lục
Lời cam đoan i
Mục lục iii
Lời nói đầu iv

1 Không gian véctơ Euclid và không gian Euclid 1
1.1 Không gian véctơ và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Định nghĩa không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ . . . . . . . . 2
1.2 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ . . . . . . . . 3
1.3 Không gian véc tơ Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Định nghĩa không gian véc tơ Euclid . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Độ cao và thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Các hệ thức véc tơ thường dùng trong mặt phẳng . . . . . . . 7
2 Phương pháp véc tơ trong mặt phẳng 9
2.1 Các bài toán chứng minh một đẳng thức véc tơ . . . . . . . . 10
2.1.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Các bài toán chứng minh một hệ thức hình học . . . . . . . . 22
2.2.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Các bài toán tính toán một biểu thức hình học . . . . . . . . 26
2.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức hình học . . . . . 29
2.4.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ii
2.4.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc . . . . . . 32
2.5.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Các bài toán về chứng minh tính đồng quy, thẳng hàng . . . 39
2.6.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.2 Các bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Phương pháp véc tơ trong không gian 45
3.1 Biểu diễn véc tơ theo cơ sở. Kỹ thuật chọn gốc . . . . . . . . 46
3.2 Chứng minh các bài toán song song, đồng phẳng trong không
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Chứng minh tính vuông góc trong không gian . . . . . . . . . 54
3.4 Tính các đại lượng góc, khoảng cách, diện tích, thể tích nhờ
véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Kết luận chung 66
Tài liệu tham khảo 67
iii
Lời nói đầu
Bản thân các bài toán chứng minh các đẳng thức véc tơ, dựng các véc tơ,
tính toán trên các véc tơ, đã là những nội dung phong phú và là một trong
những cải tiến của sách giáo khoa hiện hành so với sách giáo khoa trước đây.
Véc tơ là một công cụ mạnh giải được nhiều bài toán khác, kể cả các bài toán
không có nội dung hình học. Hiện nay việc sử dụng véc tơ để giải toán vẫn
còn là công việc khó khăn đối với cả giáo viên và học sinh. Trong khi nhiều
vấn đề toán học hiện đại và nội dung các bài thi học sinh giỏi luôn luôn đề
cập đến véc tơ và các phương pháp sử dụng véc tơ như một công cụ chủ yếu
để giải toán. Đây là cơ sở khoa học để tác giả lựa chọn đề tài cho bản luận
văn "Phương pháp véc tơ"
Mục đích chính của luận văn: nghiên cứu một phương pháp rất cơ bản để
ứng dụng véc tơ vào giải các bài toán hình học phẳng và hình học không gian.
Bản luận văn bao gồm lời nói đầu, ba chương, kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo:
Chương 1: Không gian véctơ Euclid và không gian Euclid
Chương này dành cho việc hệ thống lại những kiến thức cơ bản về không
gian véc tơ và tích vô hướng. Những kiến thức này là cơ sở để tìm ra các kĩ
thuật giải các bài toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian nhờ

vào véc tơ.
Chương 2: Phương pháp véc tơ trong mặt phẳng
Chương này trình bày phương pháp véc tơ để giải các bài toán hình học
phẳng. Các bài toán đưa ra khá đa dạng nên các kỹ thuật sử dụng véc tơ
cũng phong phú. Các dạng toán chính trong chương: Chứng minh một đẳng
thức véc tơ, chứng minh một hệ thức hình học, tính toán một biểu thức hình
học, chứng minh bất đẳng thức hình học, chứng minh quan hệ song song và
vuông góc, chứng minh tính đồng quy thẳng hàng. Mỗi một dạng toán đưa
ra được các kỹ thuật sử dụng phương pháp véc tơ một cách thích hợp.
Chương 3: Phương pháp véc tơ trong không gian
Chương này trình bày kỹ thuật chứng minh các bài toán về đồng quy, song
song, đồng phẳng, thuộc một mặt phẳng trong không gian dựa vào các tính
iv
chất của véc tơ, hệ độc lập tuyến tính, hệ phụ thuộc tuyến tính trong không
gian. Sử dụng tích vô hướng giải được các bài toán về hai đường thẳng vuông
góc, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc mặt phẳng,
các bước tính đoạn thẳng vuông góc chung; giải các bài toán về tính góc,
tính diện tích, thể tích, thông qua bảng nhân vô hướng.
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải (Trường Đại
Học Hải Phòng). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và
xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô
giảng dạy lớp Cao học K6B (2012-2014) Trường Đại Học Khoa Học - Đại
Học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như
tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người
đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn !

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014
Tác giả
Nịnh Thị Thu
v
Chương 1
Không gian véctơ Euclid và không
gian Euclid
1.1 Không gian véctơ và các tính chất cơ bản
1.1.1 Định nghĩa không gian véc tơ
Định nghĩa 1.1: Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là:
α, β, γ, K là một trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z,
Trên V ta có hai phép toán:
Phép cộng hai phần tử của V:
V x V → V
(α, β) → α + β
Phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K:
K x V → V
(x, α) → x.α
Giả sử với mọi α, β, γ ∈ V, mọi x, y ∈ K các điều kiện sau được thoả mãn:
i. (α + β) + γ = α + (β + γ)
ii. Tồn tại vectơ θ + α = α + θ = α.
iii. Với mỗi α có một phần tử α

sao cho α + α

= α

+ α = θ.
iv. α + β = β + α
v. x.(α + β) = x.α + x.β

vi. (x + y).α = x.α + y.α
vii. (xy).α = x.(y.α)
viii. 1.α = α, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K.
Khi đó ta nói rằng V là một không gian vectơ trên trường K (hoặc V là K
- không gian vectơ). Ta cũng nói V là không gian tuyến tính trên trường K.
1
Chú ý:
- Các phần tử của V được gọi là các vectơ. Phần tử θ được gọi là vectơ
không, α

được gọi là phần tử đối của α và được kí hiệu là (−α). Ta sẽ viết
α + (−β) là α −β và gọi là hiệu của hai vectơ α, β.
- Khi K = R (tương ứng K = C) ta nói V là không gian vectơ thực (tương
ứng không gian vectơ phức).
- Khi ta nói V là một không gian vectơ, ta ngầm hiểu rằng ta đang nói
đến V cùng với hai phép toán là phép cộng hai phần tử của V và phép nhân
một phần tử của V với một phần tử của K.
- Để đơn giản trong cách viết, từ đây trở đi ta sẽ ký hiệu phép nhân một
phần tử x thuộc trường K với một vectơ α thuộc V là xα thay vì viết x.α.
1.1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ
Mệnh đề 1.1: Giả sử V là một không gian vectơ trên trường K, khi đó:
i. Vectơ không θ là duy nhất.
ii. Với mỗi α ∈ V, vectơ đối của α là duy nhất.
iii. 0.α = θ, ∀α ∈ V.
iv. xθ, ∀x ∈ K.
v. xα = θ khi và chỉ khi x = 0 hoặc α = θ.
vi. x(−α) = −(xα) = (−x)α,∀x ∈ K, α ∈ V.
vii. x(α − β) = xα − xβ,∀x ∈ K, α, β ∈ V.
viii. (x − y)α = xα − yα,∀x, y ∈ K, α ∈ V.
ix. Nếu α + γ = β + γ thì α = β,∀α, β, γ ∈ V (Luật giản ước).

x. Nếu α + β = γ thì α = γ − β,∀α, β, γ ∈ V (Quy tắc chuyển vế).
1.2 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính
1.2.1 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 1.2: Cho m vectơ α
1
,α
2
, , α
m
của không gian vectơ V trên
trường K, m ≥ 1.
2
i. Hệ vectơ α
1
,α
2
, , α
m
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m
phần tử x
1
,x
2
, , x
m
∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho:
x
1
α
1

+x
2
α
2
+ + x
m
α
m
= θ.
ii. Hệ vectơ α
1
,α
2
, , α
m
được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ
thuộc tuyến tính, hay một cách tương đương x
1
α
1
+x
2
α
2
+ +x
m
α
m
= θ
kéo theo x

1
=x
2
= =x
m
= 0.
iii. Tập S ⊂ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của
S đều độc lập tuyến tính.
Một số tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính:
Mệnh đề 1.2:
i. Hệ gồm một vectơ α độc lập tuyến tính khi và chỉ khi α = 0.
ii. Một hệ vectơ chứa vectơ không θ đều phụ thuộc tuyến tính.
iii. Mọi hệ vectơ chứa hai vectơ tỉ lệ với nhau thì phụ thuộc tuyến tính.
iv. Một hệ gồm m vectơ (m > 1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có
một vectơ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại.
Mệnh đề 1.3: Nếu hệ gồm các vectơ α
1
,α
2
, , α
m
độc lập tuyến tính và β
là một vectơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ đã cho thì hệ vectơ
α
1
,α
2
, , α
m
, β cũng độc lập tuyến tính.

Mệnh đề 1.4:
i. Nếu ta thêm một số vectơ bất kỳ vào một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
thì được một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.
ii. Nếu bớt đi một số vectơ bất kỳ của một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì
được một hệ vectơ độc lập tuyến tính.
1.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ
Định nghĩa 1.3:
i. Một hệ véc tơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi véc tơ của
V đều biểu thị tuyến tính được qua hệ đó.
3
ii. Một hệ véc tơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi véc tơ của V
đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.
Như vậy, mỗi cơ sở đều có một hệ sinh. Ta hãy nghiên cứu sâu hơn về mối
quan hệ giữa hệ sinh, cơ sở và độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.4: Một hệ véc tơ của không gian V được gọi là độc lập tuyến
tính cực đại nếu nó độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của V
vào hệ đó thì hệ mới thu được trở thành phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 1.1: Cho hệ hữu hạn các véc tơ {α
1
, , α
n
} của V. Khi đó các
khẳng định sau đây là tương đương:
i. {α
1
, , α
n
} là một cơ sở của V.
ii. {α
1

, , α
n
} là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V.
iii. {α
1
, , α
n
} là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V.
Định nghĩa 1.5: Không gian véc tơ V được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có
một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử.
Định lý 1.2: Giả sử V = ∅ là một không gian véc tơ hữu hạn sinh. Khi đó,
V có một cơ sở gồm hữu hạn phần tử. Hơn nữa mọi cơ sở của V đều có số
phần tử bằng nhau.
1.3 Không gian véc tơ Euclid
Cấu trúc không gian véc tơ cho phép diễn đạt các khái niệm như độc lập
tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, tập sinh, cơ sở, tọa độ, không gian con k
chiều (đường thẳng, mặt phẳng ).
Tuy nhiên cấu trúc này chưa cho phép nói đến các khái niệm mang nội
dung hình học nhiều như: Độ dài của véc tơ, góc giữa các véc tơ, Để diễn
đạt các khái niệm này người ta cần cầu trúc không gian véc tơ Euclid.
1.3.1 Định nghĩa không gian véc tơ Euclid
Định nghĩa 1.6: Một không gian véc tơ E trên trường số thực R được gọi
là một không gian Euclid (đọc là Ơ-clít) nếu E
2
được trang bị một dạng song
4
tuyến tính đối xứng α, β:E
2
→ R thỏa mãn điều kiện: α, α> 0 với mọi
véc tơ α = 0. Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là tích vô hướng

của E.
Định nghĩa 1.7: Không gian véc tơ thực E cùng với một tích vô hướng trên
E được gọi là một không gian véc tơ Euclid.
Định nghĩa 1.8: Chuẩn hay độ dài của một véc tơ α ∈ E là đại lượng
|α|=

α, α.
Nếu |α|= 1 thì α được gọi là một véc tơ định chuẩn (véc tơ đơn vị).
Có thể dễ dàng thấy chuẩn của một véc tơ có những tính chất cơ bản sau:
i. |α| ≥ 0 ∀α ∈ E ; |α|= 0 khi và chỉ khi α = 0.
ii. |cα|= |c|. |α| ∀c ∈ R; ∀α ∈ E.
iii. Véc tơ β =
α
|α|
là một véc tơ định chuẩn cho mọi véc tơ α = 0.
Chuẩn của một véc tơ cũng thỏa mãn những bất đẳng thức quen thuộc
trong hình học.
Định lý 1.3: Với mọi véc tơ α, β ∈ E ta có:
i. |α, β| ≤ |α|. |β| (Bất đẳng thức Cauchy–Bunjakowski–Schwarz).
ii. |α ± β| ≤ |α|+ |β| (Bất đẳng thức tam giác).
Định nghĩa 1.9: Với mọi véc tơ α, β = 0 của E ta gọi góc giữa α và β là
góc ϕ với 0 ≤ ϕ ≤ π sao cho cosϕ =
α, β
|α|. |β|
(Khái niệm này phù hợp với
khái niệm góc thông thường trong hình học).
Định lý 1.4: (Định lý Cosin) Nếu ϕ là góc giữa hai véc tơ α, β thì:
|α ± β|
2
=|α|

2
+|β|
2
±2 |α|. |β|cosϕ
Định nghĩa 1.10: Giả sử S
1
và S
2
là hai tập hợp các véc tơ trong E. Ta gọi
S
1
trực giao (vuông góc) với S
2
nếu α, β= 0 với mọi véc tơ α ∈ S
1
, β ∈ S
2
.
Do tính đối xứng của tích vô hướng nên nếu α, β trực giao với nhau thì β, α
cũng trực giao với nhau.
5
Định lý Pythagore: Nếu α và β là hai véc tơ trực giao thì |α + β|
2
=|α|
2
+|β|
2
.
Định nghĩa 1.11:
i. Hệ véc tơ (e

1
, , e
k
) của không gian véc tơ Euclid E được gọi là một
hệ trực giao nếu các véc tơ của hệ đôi một trực giao với nhau,tức là
e
i
,e
j
= 0 ∀i = j.
ii. Hệ véc tơ (e
1
, , e
k
) của không gian véc tơ Euclid E được gọi là một hệ
trực chuẩn nếu nó là hệ trực giao và độ dài mỗi véc tơ bằng 1.
Tính chất:
i. Mỗi hệ trực giao không chứa véc tơ không đều là hệ độc lập tuyến tính.
ii. Nếu hệ véc tơ (e
1
, , e
k
) là hệ trực giao và không chứa véc tơ không thì
hệ

e
1
|e
1
|

,
e
2
|e
2
|
, ,
e
k
|e
k
|

là trực chuẩn.
iii. Mọi không gian véc tơ Euclid hữu hạn chiều đều có cơ sở trực chuẩn.
Tính chất (iii) được chứng minh bằng phép trực giao hóa Schmidt:
Trong E cho hệ véc tơ độc lập tuyến tính α
1
, , α
m
. Khi đó hệ véc tơ:
β
1
=α
1
β
2
=α
2
−

α
2
,β
1

β
1
,β
1

×β
1

β
m
=α
m
−
m−1

i=1
α
m
,β
i

β
i
,β
i


×β
i
Là một hệ trực giao, độc lập tuyến tính trong E và α
1
, , α
m
= β
1
, , β
m
.
Phép chuyển từ hệ véc tơ α
1
, , α
m
sang hệ véc tơ β
1
, , β
m
như trên gọi
là phép trực giao hóa véc tơ α
1
, , α
m
.
1.3.2 Độ cao và thể tích
Cho E là một không gian Euclid và E’ là một không gian con hữu hạn
sinh.
Định nghĩa 1.12: Véc tơ chiếu của một véc tơ α lên E’ là một véc tơ β ∈ E’

sao cho α − β trực giao với E’. Khi đó ta gọi véc tơ α −β là véc tơ độ cao
từ α tới E’.
6
Nếu α ∈ E thì véc tơ độ cao từ α tới E’ là véc tơ không vì véc tơ không là
véc tơ duy nhất của E’ trực giao với E’. Còn véc tơ chiếu của α lên E’ chính
là α .
Véc tơ chiếu và véc tơ độ cao của một véc tơ lên E’ luôn tồn tại và được
xác định một cách duy nhất.
Định lý 1.5: Cho (e
1
, , e
k
) là một hệ cơ sở trực chuẩn của E’. Véc tơ chiếu
của một véc tơ α lên E’ được xác định bởi công thức: β =c
1
α
1
+ +c
k
α
k
với
c
i
= α,α
i
 (i = 1,. . . ,k).
Định lý 1.6: Giả sử β là véc tơ chiếu của véc tơ α lên E’. Với mọi γ ∈ E

ta có: |α −γ| ≥ |α − β|.

Định nghĩa 1.13: Cho α
1
, , α
m
là các véc tơ trong E. Ma trận:
G(α
1
, , α
m
) =



α
1
,α
1
 . . . α
1
,α
m

.
.
.
.
.
.
.
.

.
α
m
,α
1
 ··· α
m
,α
m




.
Được gọi là ma trận Gram và định thức của ma trận này được gọi là định
thức Gram của α
1
, , α
m
.
Định lý 1.7: Các véc tơ α
1
, , α
m
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
|G(α
1
, , α
m
)| = 0.

Định lý 1.8: Với mọi véc tơ α
1
, , α
m
của E ta có: |G(α
1
, , α
m
)| ≥ 0.
Định nghĩa 1.14: Đại lượng: V(α
1
, , α
m
) =

|G(α
1
, , α
m
)| được gọi là
thể tích của hình hộp P(α
1
, , α
m
).
Định lý 1.9: Nếu α
1
, , α
m
là một hệ trực giao thì V(α

1
, , α
m
) = |α
1
| |α
m
|.
Định lý 1.10: Thể tích của một hình hộp bằng độ cao nhân với thể tích của
một mặt đáy.
1.4 Các hệ thức véc tơ thường dùng trong mặt phẳng
i. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có một trong các đẳng thức
véc tơ:
−→
AB= k
−→
AC;
−→
AC= k
−→
AB;
−→
OC= k
−→
OA+(1 − k)
−→
OB với O tùy ý, k = 0.
7
ii. Bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình bình hành khi và chỉ khi
−→

AB=
−→
DC hoặc
−→
AD=
−→
BC.
iii. Hai đường thẳng AB, CD song song khi và chỉ khi
−→
AB= k
−→
CD.
iv. Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k = 1 được diễn tả là
−−→
MA= k
−−→
MB.
v. AM là trung tuyến của tam giác ABC tương đương với
−→
AB+
−→
AC= 2
−−→
AM.
vi. G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
−→
GA+
−→
GB+
−→

GC=
−→
0 .
vii. AB⊥AC ⇔
−→
AB.
−→
AC= 0.
viii. Quy tắc xen điểm: Với mọi ba điểm A, B, C ta có:
−→
AC=
−→
AB+
−→
BC hay
−→
AB+
−→
BC+
−→
CA=
−→
0 .
Với n điểm A
1
,A
2
, , A
n
ta có:

−−−→
A
1
A
2
+
−−−→
A
2
A
3
+ +
−−−−→
A
n−1
A
n
=
−→
0 .
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1:
Chương 1 dành cho việc hệ thống lại những kiến thức cơ bản về không
gian véc tơ và tích vô hướng. Những kiến thức này là cơ sở để tìm ra các kĩ
thuật giải các bài toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian nhờ
vào véc tơ.
Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu hai chương: Phương pháp véc tơ trong
mặt phẳng và phương pháp véc tơ trong không gian.
8
Chương 2
Phương pháp véc tơ trong mặt phẳng

Để sử dụng được véc tơ trong giải toán hình học ta cần biết các kỹ thuật
cơ bản sau: Diễn đạt ngôn ngữ hình học bằng ngôn ngữ véc tơ; phân tích
một véc tơ thành tổng, hiệu các véc tơ (kỹ thuật xen điểm); nhóm các véc
tơ trong tổ hợp véc tơ theo các cách khác nhau; biến đổi đại số trên dãy các
véc tơ.
Kỹ thuật 1: Sử dụng các điều kiện trong 1.4 chương 1.
Kỹ thuật 2: Phân tích một véc tơ thành tổng, hiệu các véc tơ.
+ Quy tắc hình bình hành: 4 điểm A,B,C,D tạo thành hình bình hành thì
−→
AC=
−→
AB+
−→
AD.
+ Quy tắc xen điểm: Với mọi 3 điểm A,B,C ta có:
−→
AC=
−→
AB+
−→
BC hay:
−→
AB+
−→
BC +
−→
CA =
−→
0 hay
−→

BC =
−→
AC −
−→
AB.
+ Mở rộng: Với n điểm A
1
,A
2
, , A
n
ta có
−−−→
A
1
A
2
+
−−−→
A
2
A
3
+ +
−−−−→
A
n−1
A
n
=

−→
0 .
Kỹ thuật 3: Nhóm các véc tơ trong tổ hợp véc tơ theo các cách khác nhau.
Trong một tổng các véc tơ ta có thể nhóm theo các cách khác nhau để xuất
hiện những quan hệ theo ý muốn, đây cũng là cách “tư duy của véc tơ”.
Để minh họa cho ý này có thể xét ví dụ sau: Cho tứ giác ABCD, gọi
M,N,I lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN, ta dễ chứng minh được
−→
IA+
−→
IB+
−→
IC+
−→
ID=
−→
0 .Nếu đặt
−→
η =
−→
IA+
−→
IB+
−→
IC+
−→
ID.
* Khi ta nhìn
−→
η dạng

−→
η = (
−→
IA+
−→
ID) + (
−→
IB+
−→
IC) = 2
−→
IE+2
−→
IF với E,F là
trung điểm của AB,CD. Ta được kết quả E,I,F thẳng hàng và I là trung
điểm EF.
* Khi ta nhìn
−→
η dạng
−→
η = (
−→
IA+
−→
IC) + (
−→
IB+
−→
ID) = 2
−→

IP+2
−→
IQ (P,Q là trung
điểm của AC,BD) thì ta được P,I,Q thẳng hàng và I là trung điểm PQ.
* Khi ta nhìn
−→
η dạng
−→
η = (
−→
IA+
−→
IB+
−→
IC)+
−→
ID = 3
−→
IG+
−→
ID (G là trọng tâm
tam giác ABC) thì ta được G,I,D thẳng hàng.
Từ đây ta còn có kết quả đối với tứ diện ABCD trong không gian, chẳng
hạn trường hợp cuối cho ta: Các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh tứ giác ABCD và
9
Hình 2.1
trọng tâm tam giác tạo bởi 3 đỉnh còn lại đồng quy.
Kỹ thuật 4: Kỹ thuật biến đổi đại số trên dãy các véc tơ.
Các tính chất đại số (trong không gian véc tơ) của véc tơ làm cho phương
pháp véc tơ trở nên một công cụ mạnh: dễ vận dụng, dễ mở rộng, Khi

thực hiện biến đổi trên các các véc tơ, các tính chất sau thường xuyên được
sử dụng:
*
−→
a +(
−→
b +
−→
c ) = (
−→
a +
−→
b )+
−→
c =
−→
a +
−→
b +
−→
c
* k

−→
a +
−→
b

= k
−→

a +k
−→
b
* (−1).
−→
a = −
−→
a ;
−→
b +
−→
c =
−→
0 ⇔
−→
b = −
−→
c
* |
−→
a | ≥ 0, |
−→
a | = 0 ⇔
−→
a =
−→
0
Trong R
n
cho hệ n véc tơ độc lập tuyến tính

−→
a
1
,
−→
a
2
, ,
−→
a
n
, mọi véc tơ đều
biểu thị tuyến tính được qua n véc tơ đó:
−→
b =k
1
−→
a
1
+k
2
−→
a
2
+ +k
n
−→
a
n
.

2.1 Các bài toán chứng minh một đẳng thức véc tơ
2.1.1 Cơ sở lý thuyết
Chứng minh một đẳng thức véc tơ thực chất là chứng minh 2 véc tơ bằng
nhau. Dựa vào các kiến thức véc tơ, các kỹ thuật cơ bản ta có thể biến đổi
như các biến đổi đại số: Biến đổi vế trái thành vế phải, biến đổi vế phải
thành vế trái và biến đổi cả 2 vế.
10
Trong nhiều trường hợp để chứng minh đẳng thức véc tơ ta còn sử dụng
đến kỹ thuật hình chiếu của véc tơ trên một trục, xem tài liệu [3].
Trên mặt phẳng cho vectơ
−→
a =
−→
AB và một trục Ox. Gọi A’, B’ lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A và B trên trục Ox. Ta gọi hình chiếu của vectơ
−→
a =
−→
AB trên trục Ox là độ dài đại số A

B

, kí hiệu là: A

B

=f
x
(
−→

a ) =f
x
(
−→
AB).
Khi chỉ chiếu trên một trục ta viết gọn là: A

B

= f(
−→
AB).
Hình 2.2
Hình chiếu của vectơ trên một trục có các tính chất sau:
i. f(
−→
a ) = |
−→
a |.cosϕ, trong đó |
−→
a | là độ dài đại số của
−→
a còn ϕ là góc tạo
bởi
−→
a và chiều dương của trục Ox.
ii. f(
−→
a +
−→

b ) = f(
−→
a ) + f(
−→
b ).
iii. Với mọi k ∈ R thì f(k
−→
a ) = kf(
−→
a ).
iv.
−→
a =
−→
b ⇔ f
x
(
−→
a ) = f
x
(
−→
b ) và f
v
(
−→
a ) = f
v
(
−→

b ) trong đó Ox và O’v là hai
trục không song song.
Chứng minh các tính chất trên không khó. Ta nêu phép chứng minh (iv).
Điều kiện cần: Hiển nhiên do áp dụng tính chất (i).
Điều kiện đủ: Đặt
−→
a =
−→
AB;
−→
b =
−→
CD, giả sử:
f
x
(
−→
AB) =A
1
B
1
;f
x
(
−→
CD) =C
1
D
1
f

v
(
−→
AB) =A
2
B
2
;f
v
(
−→
CD) =C
2
D
2
Theo giả thiết: A
1
B
1
=C
1
D
1
;A
2
B
2
=C
2
D

2
Gọi E là giao điểm của AA
2
và BB
1
, F là giao điểm của CC
2
và DD
1
. Bằng
cách xét hai tam giác vuông AEK và CFH bằng nhau ta suy ra EA // FC,
EA = FC nên
−→
AE=
−→
CF. Từ đó:
−→
AB=
−→
AE+
−→
EB=
−→
CF+
−→
FD=
−→
CD hay
−→
a =

−→
b .
11
Hình 2.3
2.1.2 Các bài toán minh họa
Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường
tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng:
i)
−→
HA+
−→
HB+
−→
HC= 2
−→
HO
ii)
−→
OA+
−→
OB+
−→
OC=
−→
OH
iii)
−→
OH = 3
−→
OG

Chứng minh
Hình 2.4
12
i) Gọi D là đối xứng của A qua O. BH//DC (cùng vuông góc với AC),
CH//DB (cùng vuông góc với AB), suy ra BHCD là hình bình hành.
Từ đó:
−→
HB+
−→
HC=
−→
HD ⇒
−→
HA+
−→
HB+
−→
HC=
−→
HD+
−→
HA= 2
−→
HO.
ii)
−→
OA+
−→
OB+
−→

OC= (
−→
OH+
−→
HA) + (
−→
OH+
−→
HB) + (
−→
OH+
−→
HC) = 3
−→
OH+2
−→
HO=
−→
OH.
iii) Vì
−→
OA+
−→
OB+
−→
OC= 3
−→
OG nên suy ra:
−→
OH= 3

−→
OG.
Bài toán 2.2: Cho C là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho
CA
CB
=
m
n
.
Chứng minh rằng với S là một điểm bất kì ta luôn có:
−→
SC=
n
m + n
−→
SA+
m
m + n
−→
SB (2.1)
Chứng minh
Nhận xét:
- Bản chất của bài toán là phân tích véctơ
−→
SC theo các véctơ
−→
SA,
−→
SB.
- Khi C là trung điểm AB thì (2.1) là tính chất trung điểm khá quen thuộc.

Hình 2.5
Theo giả thiết:
CA
MN
=
m
n
⇒
AC
AC + CB
=
m
m + n
Vậy:
AC
AB
=
m
m + n
⇒
−→
AC=
m
m + n
−→
AB ⇒
−→
SC−
−→
SA=

m
m + n
(
−→
SB−
−→
SA)
⇒
−→
SC=
−→
SA−
m
m + n
−→
SA+
m
m + n
−→
SB ⇒
−→
SC=
n
m + n
−→
SA+
m
m + n
−→
SB (đpcm).

Hệ quả:
Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC.
Ta có:
−−→
AM=
MC
BC
−→
AB+
MB
BC
−→
AC.
Bài toán 2.3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh
A,B,C lần lượt là a,b,c. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc
13
với BC, CA, AB tại A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh rằng: a
−→
AA
1
+b
−−→
BB
1

+c
−−→
CC
1
=
−→
0 .
Nhận xét:
- Ta có A
1
thuộc cạnh BC và tính được BA
1
, A
1
C theo a,b,c nên có thể áp
dụng kết quả của bài toán 2.2 giải quyết bài toán này.
- Nếu phát hiện được hệ quả của bài toán 2.2 thì có thể giải quyết bài toán
một cách ngắn gọn.
Chứng minh
Hình 2.6
Áp dụng bài toán 2.2, theo giả thiết ta có:
BA
1
+CA
1
+AC
1
=
a + b + c
2

(2.2)
Mặt khác:
CA
1
+AC
1
= CB
1
+AB
1
= b (2.3)
Từ (2.2) và (2.3) suy ra: BA
1
=
a + b + c
2
−b =
a − b + c
2
Tương tự: CA
1
=
a + b −c
2
Do đó:
A
1
B
A
1

C
=
a − b + c
a + b −c
Vì A
1
thuộc đoạn BC nên áp dụng kết quả của bài toán 2.2 ta có:
−−→
AA
1
=
n
m + n
−→
AB+
m
m + n
−→
AC với
m
n
=
a − b + c
a + b −c
−−→
AA
1
=
a + b −c
2a

−→
AB+
a − b + c
2a
−→
AC
2a
−−→
AA
1
= (a + b −c)
−→
AB+(a − b + c)
−→
AC
Chứng minh tương tự:
14
2a
−−→
BB
1
= (−a + b + c)
−→
BC+(a + b −c)
−→
BA
2a
−−→
CC
1

= (a − b + c)
−→
CA+(−a + b + c)
−→
CB
Cộng từng vế 3 đẳng thức trên ta có:
a
−→
AA
1
+b
−−→
BB
1
+c
−−→
CC
1
=
−→
0 (đpcm).
Bài toán 2.4: Tam giác ABC với các cạnh a=BC,b=CA, c=AB. Gọi H, I
lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh
rằng:
i) a
−→
IA+b
−→
IB+c
−→

IC=
−→
0
ii) tanA.
−→
HA+tanB.
−→
HB+tanC.
−→
HC=
−→
0
iii) S
a
.
−−→
MA+S
b
.
−−→
MB+S
c
.
−−→
MC=
−→
0 , trong đó M là một điểm bất kì nằm trong
tam giác; S
a
,S

b
,S
c
theo thứ tự là diện tích các tam giác MBC,MCA,MAB.
Chứng minh
Hình 2.7
i) Dựng hình bình hành IA’CB’, ta có:
−→
IC=
−→
IB+
−→
IA

= α
−→
IB

+ β
−→
IA
Vì
−→
IB,
−→
IB

cùng phương nên: α = −
−→
IB

−→
IB

= −
A
1
C
A
1
B
= −
b
c
(Theo định lý Thales
và tính chất đường phân giác trong).
Tương tự: β = −
−→
IA
−→
IA

= −
B
1
C
B
1
B
= −
a

c
Suy ra:
−→
IC= −
b
c
−→
IB−
a
c
−→
IA hay a
−→
IA+b
−→
IB+c
−→
IC=
−→
0 .
ii) Xét trường hợp có 3 góc đều nhọn
Dựng hình bình hành HA’CB’ ta có:
α = −
HA

HA
= −
B
1
C

B
1
A
= −
BB
1
.cotC
BB
1
.cotA
= −
tanA
tanC
β = −
HB

HB
= −
A
1
C
A
1
B
= −
AA
1
.cotC
AA
1

.cotB
= −
tanB
tanC
15
Vậy
−→
HC= −
tanA
tanC
−→
HA−
tanB
tanC
−→
HB
Hay tanA.
−→
HA+tanB.
−→
HB+tanC.
−→
HC=
−→
0
(Trường hợp ∆ABC có 1 góc tù, chứng minh tương tự)
iii) Cách 1: Gọi O là giao điểm của các tia AM, BM, CM với BC, CA, AB
lần lượt là A
1
;B

1
;C
1
. Lập luận như câu i) và ii) ta có:
−−→
MC=
−−→
MA

+
−−→
MB

= α
−−→
MA+β
−−→
MB chú ý: α < 0 , β < 0
và α = −
B
1
C
B
1
A
= −
CH
AI
= −
S

∆MBC
S
∆MBA
= −
S
a
S
c
(∆MBC, ∆MBA chung đáy MB,
có các đường cao CH, AI)
Tương tự: β = −
S
b
S
c
Vậy:
−−→
MC= −
S
a
S
c
−−→
MA−
S
b
S
c
−−→
MB

Từ đó ta có: S
a
.
−−→
MA+S
b
.
−−→
MB+S
c
.
−−→
MC=
−→
0
Cách 2: Gọi A’ là giao điểm của MA và BC.
Ta có:
−−→
MA

=
A

C
BC
−−→
MB+
A

B

BC
−−→
MC (Áp dụng bài toán 2.2)
Nhưng:
A

C
A

B
=
S
MA

C
S
MA

B
=
S
MAC
S
MAB
=
S
b
S
c
⇒








A

C
BC
=
S
b
S
b
+S
c
A

B
BC
=
S
c
S
b
+S
c
⇒

−−→
MA

=
S
b
S
b
+S
c
.
−−→
MB+
S
c
S
b
+S
c
.
−−→
MC (2.4)
Mặt khác:
MA

MA
=
S
MA


B
S
MAB
=
S
MA

C
S
MAC
=
S
MA

B
+S
MA

C
S
MAB
+S
MAC
=
S
a
S
b
+S
c

⇒
−−→
MA

=
−S
a
S
b
+S
c
−−→
MA
Thay vào (2.4) được: S
a
.
−−→
MA+S
b
.
−−→
MB+S
c
.
−−→
MC=
−→
0 (đpcm)
Sử dụng kết quả câu (iii) ta có thể tìm lại được kết quả câu (i) và (ii)
và trong việc giải các bài toán khác. Chẳng hạn ở câu (iii) chỉ cần chọn

S
a
=
1
2
ar,S
b
=
1
2
br,S
c
=
1
2
cr là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Ta có: ar.
−→
IA+br.
−→
IB+cr.
−→
IC=
−→
0 ⇒ a.
−→
IA+b.
−→
IB+c.
−→

IC=
−→
0
Bài toán 2.5: Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi N,M,K lần
lượt là chân các đường phân giác từ A,B,C của tam giác ABC. Chứng minh
rằng: a(b + c)
−→
AN+b(c + a)
−−→
BM+c(a + b)
−→
CK=
−→
0
16
Chứng minh
Hình 2.8
Theo tính chất đường phân giác ta có:
NB
NC
=
c
b
⇒
NC
BC
=
b
b + c
⇒

NB
BC
=
c
b + c
Áp dụng kết quả bài 1.1 ta có:
−→
AN=
b
b + c
−→
AB+
c
b + c
−→
AC
Tương tự ta có:
−−→
BM=
a
a + c
−→
BA+
c
a + c
−→
BC
−→
CK=
a

a + b
−→
CA+
b
a + b
−→
CB
Từ 3 đẳng thức trên suy ra:
a(c + b)
−→
AN= ab
−→
AB+ac
−→
AC (2.5)
b(a + c)
−−→
BM= ba
−→
BA+bc
−→
BC (2.6)
c(a + b)
−→
CK= ca
−→
CA+cb
−→
CB (2.7)
Cộng vế theo vế (2.5), (2.6), (2.7) ta được:

a(c + b)
−→
AN+b(a + c)
−−→
BM+c(a + b)
−→
CK
= ab(
−→
AB+
−→
BA) + ac(
−→
AC+
−→
CA) + bc(
−→
CB+
−→
BC) =
−→
0
Vậy: a(b + c)
−→
AN+b(c + a)
−−→
BM+c(a + b)
−→
CK=
−→

0
Tiếp theo đây là các bài toán sử dụng kỹ thuật hình chiếu của véc tơ trên
một trục. Các bài toán sau đây đều có thể giải được không cần dùng cách
chiếu vectơ trên một trục. Ta có thể so sánh cách giải ở đây với các cách giải
khác đã biết, đặc biệt hai bài toán 2.8 và 2.9 nếu không dùng phép chiếu
vectơ thì sẽ gặp khó khăn hơn trong các cách giải khác.
Bài toán 2.6: Cho H và O theo thứ tự là trực tâm và tâm đường tròn ngọai
tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: OH=
−→
OA+
−→
OB+
−→
OC
17
Chứng minh
Hình 2.9
Chọn đường thẳng BC là trục theo chiều của
−→
BC=
−→
x
Gọi M, N là trung điểm của BC, AB theo thứ tự. Ta có:
f
x

−→
OA+
−→
OB+

−→
OC

=f
x

−→
OA

+f
x

−→
OB+
−→
OC

=f
x

−→
OA

+f
x

2
−−→
OM


=f
x

−→
OH

+0 = f

−→
OH

Tương tự nếu chọn AB là trục với chiều của
−→
AB=
−→
v thì:
f
v

−→
OA+
−→
OB+
−→
OC

=f
v

−→

OA+
−→
OB

+f
v
(
−→
OC)
=f
v

2
−→
ON

+f
v

−→
OH

=f
v

−→
OH

Theo tính chất (iv) ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2.7: Chứng minh rằng điểm J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC khi và chỉ khi:
a
−→
JA+b
−→
JB+c
−→
JC=
−→
0 (2.8)
Chứng minh
* Điều kiện cần:
Giả sử J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lấy trục là đường thẳng Ax vuông góc với JA tại A, có chiều như hình
vẽ. Hạ BB
1
, CC
1
vuông góc với Ax tại B
1
, C
1
. Đặt
−−→
AC
1
=
−→
x . Gọi A
1

là giao
điểm của hai đường thẳng AJ và BC.
Ta có: f
x

a
−→
JA+b
−→
JB+c
−→
JC

= 0+f
x

b
−→
JB+c
−→
JC

= b
−−→
AB
1
+c
−−→
AC
1

18