Bài tập tiếp tuyến đại số 12

Page | 1

Luyện tập: Đại số 12 – Một số bài toán về
tiếp tuyến
Tóm tắt kiến thức và Phương pháp




Page | 2




Page | 3




Page | 4




Page | 5




Bài tập ví dụ

Bài 1. Cho hàm số y =
x
x-1
(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ
thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Hướng dẫn
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

Page | 6

 TXĐ : D = R\{1}
 Chiều biến thiên
lim ( ) lim ( ) 1
xx
f x f x
 

nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
11
lim ( ) ,lim
xx
fx


   
nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y’ =
2

1
0
( 1)x



Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên
( ;1)
và
(1; )

Hàm số không có cực trị
 Đồ thị.(bạn đọc tự vẽ)
Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0 ;0)
Vẽ đồ thị
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng
2) Giả sử M(x
0
; y
0
) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối
xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng :
0
0
2
00
1

()
( 1) 1
x
y x x
xx
   


2
0
22
00
1
0
( 1) ( 1)
x
xy
xx
    



Page | 7

Ta có d(I ;tt) =
0
4
0
2
1

1
1
( 1)
x
x




Xét hàm số f(t) =
4
2
( 0)
1
t
t
t


ta có f’(t) =
2
44
(1 )(1 )(1 )
(1 ) 1
ttt
tt
  


f’(t) = 0 khi t = 1

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có d(I ;tt) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay
0
0
0
2
11
0
x
x
x


  




 Với x
0
= 0 ta có tiếp tuyến là y = -x
 Với x
0
= 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4
Bài 2. Cho hàm số
21
1
x
y

x



(1).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và
giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9.
Hướng dẫn
1) Hàm số:
2 1 3
2
11
x
y
xx

  


 Giới hạn, tiệm cận:
( 1) ( 1)
2; 2; ;
lim lim lim lim
xx
xx
y y y y

 
   

     


Page | 8

TC đứng: x = -1; TCN: y = 2.

 
2
3
' 0,
1
y x D
x
   


 Bảng biến thiên

 Dạng đồ thị

2) Ta có I(- 1; 2). Gọi
0
2
0
0
33
( ) ( ;2 )
1
( 1)

MI
IM
MI
yy
M C M x k
x x x
x


     



Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:
 
0
2
0
3
'( )
1
M
k y x
x



.9
M IM
ycbt k k  

Giải được x
0
= 0; x
0
= -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
Bài 3. Cho hàm số
2)2()21(
23
 mxmxmxy
(1) m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2.
2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng
d:
07  yx
góc

, biết
26
1
cos 

.

Page | 9

Hướng dẫn
1) Khảo sát hàm số khi m = 2
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x
3

 3x
2
+ 4
 TXĐ: D=R
 Sự biến thiên
Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
 
   

Có y’ = 3x
2
 6x; y’=0  x =0, x =2
 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; +), nghịch biến trên (0 ; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= y(0) = 4;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y
CT
= y(2) = 0.
 Đồ thị

2) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến

tiếp tuyến có véctơ pháp
)1;(

1
 kn

d: có véctơ pháp
)1;1(
2
n


Page | 10

Ta có












3
2
2
3
0122612
12

1
26
1
.
cos
2
1
2
2
21
21
k
k
kk
k
k
nn
nn


Yêu cầu của bài toán thỏa mãn  ít nhất một trong hai phương trình:
1
/
ky 
(1) và
2
/
ky 

(2) có nghiệm x










3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx
mxmx







0
0
2
/

1
/








034
0128
2
2
mm
mm









1;
4
3
2
1

;
4
1
mm
mm

4
1
m
hoặc
2
1
m

Bài 4. Cho hàm số
2x 3
y
x2



có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại
A, B sao cho AB ngắn nhất .
Hướng dẫn
Hµm sè y =
2x 3
x2



cã :
 TX§: D =
R
\ {2}
 Sù biÕn thiªn:
Giíi h¹n :
x
Limy 2


. Do ®ã §THS nhËn ®-êng th¼ng y = 2 lµm TCN
x 2 x 2
limy ; limy


   
. Do ®ã §THS nhËn ®-êng th¼ng x = 2 lµm TC§
Bảng biến thiên

Page | 11

Ta có : y =

2
1
x2


< 0

xD



Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

;2
và hàm số không có cực trị
Đồ thị
Giao điểm với trục tung : (0 ;
3
2
)
Giao điểm với trục hoành :A(3/2; 0)
ĐTHS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng

Ly im
1
M m;2
m2






C
. Ta cú :

2
1
y' m
m2


.
Tip tuyn (d) ti M cú phng trỡnh :


2
11
y x m 2
m2
m2





Page | 12

Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là :
2
A 2;2
m2







Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)
Ta có :
 
 
2
2
2
1
AB 4 m 2 8
m2

   




. Dấu “=” xảy ra khi m = 2
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2
Bài 5. Cho hàm số
2
32



x
x
y

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C)
tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn
1) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số
 Hàm số có TXĐ:D=
 
2\R

 Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:



ylim;ylim
2x2x

Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
lim lim 2
 
  
xx
yy
đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên:
Ta có:
 
2x,0
2x

1
'y
2





Page | 13


Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
 
2;
và
 
;2

 Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại






2
3
;0
và cắt trục hoành tại điểm







0;
2
3

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

2) Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ nhất
Ta có:
2x,
2x
3x2
;xM
0
0
0
0












,
 
2
0
0
2x
1
)x('y




Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:
 
2x
3x2
)xx(
2x
1
y:
0
0
0
2
0








Toạ độ giao điểm A, B của
 

và hai tiệm cận là:
 
2;2x2B;
2x
2x2
;2A
0
0
0












Page | 14

Ta thấy
M0
0BA
xx
2
2x22
2
xx




,
M
0
0BA
y
2x
3x2
2
yy





suy ra M là trung điểm
của AB.

Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có
diện tích
S =





























 2
)2x(
1
)2x(2
2x
3x2
)2x(IM
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2

Dấu “=” xảy ra khi








3x
1x

)2x(
1
)2x(
0
0
2
0
2
0

Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
Bài 6. Cho hàm số
22
(| | 1) .(| | 1)y x x  

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Hướng dẫn
1) Khảo sát hàm số :
22
(| | 1) .(| | 1)y x x  
= x
4
- 2x
2
+ 1 ( C)
2) Gọi A(a:0) là điểm trên trục hoành mà từ A kẻ được đến ( C) ba tiếp tuyến
Phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k là d: y = k(x-a)
d là tiếp tuyến của ( C) khi hệ pt sau có nghiệm
4 2 3

3 4 2 3
2 1 ( ) 4 4
4 4 2 1 (4 4 )( )
x x k x a x x k
x x k x x x x x a

     


      


Phương trình
2
4 2 3 2 2
2
10
2 1 (4 4 )( ) ( 1)( 4 1) 0
4 1 0(*)
x
x x x x x a x x ax
x ax


          

  

Mà x
2

– 1 = 0 cho ta hai x nhung chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1: y = 0. Vì vậy để
từ A kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (*) phải có 2 nghiếm pb x khác
1


Page | 15

KQ:
33

22
11
aa
aa







hoặc

Bi 7. Cho hàm số
1
12



x

x
y
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2) Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B . Gọi I là
giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Hng dn
1) Khảo sát hàm số y=
1
12


x
x

Tập xác định: R\{1}
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'

xx
xx
y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+)
Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
Tiệm cận:








1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x

1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x

Do đó đ-ờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng

2
1
12
limlim





x
x
y

x
x

Vậy đ-ờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
Bng bin thiờn

Page | 16


Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số
2) Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam giác
IAB đạt giá trị nhỏ nhất
Gọi M










1
3
2;
0
0
x
x

(C)
Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3
2)(
)1(
3
0
0
2
0





x
xx
x
y

Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là:
A

1
6
2;1
0
x
; B(2x
0
-1; 2) ; I(1; 2)
Ta có: S

IAB
=
2
1
. IA. IB=
63.212
1
6
2
1
0
0


x
x
(đvdt)

IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB (HS tự
chứng minh).








31
31
12
1
6
0
0
0
0
x
x
x
x

Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M
1
(
32;31
)

M
2
(
32;31
)
Khi đó chu vi AIB =
6234

Bi 8. Cho hm s y = x
3
+ 3x
2
+ 1
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho

Page | 17

2) Từ gốc toạ độ kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) ? Viết phương
trình của các đường thẳng đó.
Hướng dẫn
1) Khảo sát hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 1

Tập xác định: D =

 Sự biến thiên:

x
lim
y = –;
x
lim
= +
y' = 3x
2
+ 6x = 3x(x +2) ,
'
0
0
2
x
y
x







Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; –2) và (0; +); nghịch biến trên khoảng : (–2;
0)
Điểm cực đại: (-2; 5) ; điểm cực tiểu: (0; 1)
 Đồ thị
Cắt Oy tại điểm (0; 1)

Đi qua các điểm (-3;1) ; (1;5)
Điểm uốn I(-1;3)
Tâm đối xứng I(-1;3)
Từ gốc toạ độ kẻ được
2) Viết được phương trình của đường thẳng d đi qua gốc toạ độ với hsg k: y = kx
d tiếp xúc với (C) 
32
2
3 1 (1)
3 6 (2)
x x kx
x x k

  





có nghiệm

Page | 18

Thế (2) vào (1) ta được phương trình
x
3
+ 3x
2
+ 1 = x(3x
2

+ 6x)  2x
3
+ 3x
2
- 1 = 0
1
1
2
x
x









o x = 1 suy ra k = -3 , viết được phương trình tiếp tuyến y = -3x
o x =
1
2
suy ra k =
15
4
, viết được phương trình tiếp tuyến y =
15
4
x

Bài 9. Cho hàm số y = –2x
3
+ 6x
2
– 5
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13).
Hướng dẫn
1) Khảo sát y = –2x
3
+ 6x
2
– 5 (Bạn đọc tự làm)
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua A(–1, –13)
Ta có y' = –6x
2
+ 12x
Gọi M
0
(x
0
, y
0
) là tiếp điểm thuộc (C) 
5x6x2y
2
0
3
00


Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M
0
: y – y
0
= f '(x
0
)(x – x
0
)

 
 
5x6x2xxx12x6y
2
0
3
000
2
0


Vì tiếp tuyến đi qua A(–1, –13) nên
 
 
0
2
0
2
0

2
0
3
0
x1x12x65x6x213 

2
00
3
0
2
00
3
0
x12x12x6x65x6x213 


3
0 0 0 0
x 3x 2 0 x 1vx 2      

Ta có
y(1) 1vy( 2) 35   

 M(1, –1) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là

Page | 19

y + 1 = 6(x – 1)  y = 6x – 7
 M(–2, 35) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là

y – 35 = –48(x + 2)  y = –48x – 61
Bài 10. Cho hàm số
1x2
1x
y



(C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường
tiệm cận và trục Ox.
Hướng dẫn
1) Khảo sát (Bạn đọc tự làm)
2) Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là






 0,
2
1
A

Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng








2
1
xky

() tiếp xúc với (C)
/
x 1 1
kx
2x 1 2
x1
k co ù nghieäm
2x 1
 




















 




















)2( k
1x2
3

)1(
2
1
xk
1x2
1x
2

Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
 
2
1
3x
x1
2
2x 1
2x 1









1
(x 1)(2x 1) 3(x )
2
    

và
1
x
2


3
x1
2
  


Page | 20

5
x
2

. Do đó
12
1
k 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
11
yx
12 2

  




Bài 11. Cho hàm số
x2
m
1xy


(Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với (Cm) tại A cắt trục oy
tại B mà OBA vuông cân.
Hướng dẫn
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
x2
1
1xy


(Bạn đọc tự làm)
2) Ta có:
   
2
2
2
x2
4mx4x
x2
m
1'y







y' = 0  –x
2
+ 4x + m – 4 = 0  (2 – x)
2
= m (x  2) ()
Để đồ thị (Cm) có cực đại
 phương trình () có 2 nghiệm phân biệt  2  m > 0
Khi đó y' = 0 
m2x
1

,
m2x
2

, ta có:

 Điểm cực đại A(2 +
m
, –1 – 2
m
)
Phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại điểm CĐ A có phương trình:
m21y 

, do đó
m21m21OB 

AB = X
2
= 2 +
m
(vì B  Oy  x
B
= 0)

Page | 21

AOB vuông cân  OB = BA  1 + 2
m
= 2 +
m
 m = 1
Cách khác:
2
x 3x 2 m
y
2x
  


có dạng
2
ax bx c
y

Ax B



với a.A < 0
Do đó, khi hàm có cực trị thì x
CT
< x
CĐ


x
CĐ
=
2
x 2 m
và y
CĐ
=
2
2x 3
1


= –1 – 2
m

Bài 12. Cho hàm số
1x
x

y


(C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo
thành một tam giác cân.
Hướng dẫn
1) Khảo sát hàm số (Bạn đọc tự giải)
2) Ta có
 
2
1
y' 0, x 1
x1

   


Từ đồ thị ta thấy để tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác vuông cân ta phải có hệ số
góc của tiếp tuyến là –1 tức là:
 
 
2x ,0x11x1
1x
1
21
2
2





 Tại x
1
= 0  y
1
= 0  phương trình tiếp tuyến là y = –x
 Tại x
2
= 2  y
2
= 2  phương trình tiếp tuyến là y = –x + 4
Bài 13. Cho hàm số
24
()
1
x
yC
x



.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A,
B. CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí
của M.
Hướng dẫn

Page | 22

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
 Tập xác định: R\{-1}
 Sự biến thiên:
 
2
6
' 0 1
1
yx
x
    

. Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác
định của hàm số.
 
1
lim 1
x
yx


    
là tiệm cận đứng
lim 2 2
x
yy

  

là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên

 Đồ thị

2) Tìm cặp điểm đối xứng
Gọi
 
24
;1
1
a
M a C a
a


  




Tiếp tuyến tại M có phương trình:
 
 
2
6 2 4
1
1
a
y x a

a
a

  




Page | 23

Giao điểm với tiệm cận đứng
1x 
là
2 10
1;
1
a
A
a







Giao điểm với tiệm cận ngang
2y 
là
 

2 1;2Ba

Giao hai tiệm cận I(-1; 2)
   
12 1 1
; 2 1 . .24 12
1 2 2
IAB
IA IB a S IA AB dvdt
a
      


Suy ra đpcm
Bài tập tự luyện



Page | 24




Page | 25