Bài tập hình học giải tích 12

Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH
A. HÌNH HỌC PHẲNG
I. ĐƯỜNG THẲNG
1) Chứng minh 3 điểm A(1;2), B(−1;3) và C(5;0) thẳng hàng.
2) Chứng minh 3 điểm A(−2;1), B(1;−3) và C(2;5) là 3 đỉnh của 1 tam giác.
3) Đònh m để 3 điểm M(9;m+1), N(2;−3) và P (5;2) thẳng hàng.
Kết quả:m=
3
23
.
4) Cho ∆ABC vuông cân tại A, có B(2;1) và C(4;3). Tìm tọa độ đỉnh A của ∆ABC.
Kết quả: A(2;3) hoặc A(4;1).
5) Cho ∆ABC vuông cân tại A, có A(−2;1) và B(1;−2). Tìm tọa độ đỉnh C của ∆
ABC.
Kết quả: C(−5;−2) hoặc C(1;4).
6) Cho hình vuông ABCD có A(−4;5) và C(3;4). Tìm tọa độ các đỉnh B và D của
hình vuông ABCD, biết x
B
< x
D
.
Kết quả: B(−1;1) và D(0;8).
7) Cho tam giác đều ABC có A(1;3) và B(4;−1). Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác đều
ABC.
Kết quả: C(
2
332
;
2
345
±±

).
8) Trên (∆ ) cho 4 điểm A(5;2), I, M và B(−1;5) sao cho AI=IM=MB. Tìm tọa độ của
I và M.
Kết quả: I(3;3) và M(1;4).
9) Cho A(2;6), B(−3;−4) và C(5;0).
a) Tìm tọa độ của D và E lần lượt là chân các phân giác trong và ngoài góc A
trên BC.
b) Viết phương trình của đường tròn nội tiếp ∆ABC.
Kết quả: D(2;
2
3
−
), E(17;6) và (x−2)
2
+(y−1)
2
=5.
10) Cho A(−2;3), B(
4
1
;0) và C(2;0). Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn
nội tiếp ∆ ABC.
Kết quả: K(
2
1
;
2
1
) và r =
2

1
.
11) Tính diện tích của ∆ ABC biết A(1;−2), B(2;0) và C(−3;4) .
Kết quả: 7 (đvdt).
12) Cho A(2;−1), B(0;3) và C(4;2). Tìm tọa độ trực tâm H và chân đường cao AA’
của ∆ ABC.
Kết quả: H(
7
18
;
7
9
) và A’(
17
48
;
17
39
).
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH
13) Cho A(2;6), B(−3;−4) và C(5;0). Tìm tọa độ tâm I và bán kính đường tròn ngoại
tiếp ∆ ABC.
Kết quả : I(
2
1
−
;1) và R=IC =
2
55

.
14) Cho A(1;3) và B(−3;1). Tìm tọa độ điểm C trên (∆): x−2y+3=0 để ∆ABC cân tại
đỉnh C .
Kết quả : C(
5
6
;
5
3
−
)
15) Cho (∆): x−2y+1= 0. Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M(2;−1) qua (∆).
Kết quả : N(0;3)
16) Cho A(4;2), B(−1;0), C(0;4). Tìm tọa độ đỉnh D và tâm M của hình bình hành
ABCD.
Kết quả: D(5;6) và M(2;3).
17) Cho A(4;5), B(−6;−1) và C(1;1). Viết phương trình các đường trung tuyến AM,
CP và xác đònh tọa độ trọng tâm G của ∆ ABC .
Kết quả: AM: 10x−13y+25=0;CP: x+2y−3=0 và G(−
3
5
;
3
1
).
18) Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng đi qua A(3;2),
B(−1;3).
19) Cho d: 3x+4y+5=0 viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1;2) và :
a) Song song d . Kết quả: 3x+4y−11=0
b) Vuông góc d. Kết quả: 4x−3y+2=0

20) Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1;3) và chắn trên các trục toạ độ
những đoạn thẳng có độ dài bằng nhau .
Kết quả: x+y−4=0 V x−y+2=0
21) Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(4;−1) và chắn trên các trục toạ độ
thành một tam giác vuông có diện tích bằng 1 đơn vò.
Kết quả: x+2y−2=0 V x+8y+4=0
22) Cho đường thẳng d:3x+4y–2=0. Lập phương trình ∆ vuông góc với d và tạo với
hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6 .
Kết quả: 4x−3y±12=0
23) Cho ∆ ABC . Biết rằng các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự có các trung điểm là
M(1;2); N(3;4); P(5;1).
a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
b) Lập phương trình cạnh AB và tính diện tích của ∆ABC.
c) Lập phương trình đường trung trực d của cạnh AC.
d) Lập phương trình đường cao CH của ∆ABC.
Kết quả: a) A(7;3), B(3;−1), C(−1;5)
b) x−y−4=0, S=20 (đvdt) c)4x−y−8=0 d)x+y−4=0
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH
24) Cho ∆ ABC có AB : 5x–3y+2=0 và có phương trình hai đường cao
AA’:4x–3y+1= 0; BB’:7x+2y– 22=0. Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường
cao thứ ba của ∆ABC.
Kết quả: A(−1;−1), B(2;4),H
)
29
95
;
29
64
(

, AC:2x−7y−5=0, BC:3x+4y−22=0,
CC’:3x+5y−23=0
25) Cho tam giác ABC với phương trình các cạnh BC:x−3y−6=0; CA:x+y−6=0;
AB:3x+y−8=0.
a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Chứng minh tam giác ABC vuông. Tính diện tích
∆ ABC.
b) Viết phương trình đường cao BH của ∆ ABC.
Kết quả: a) A(1;5), B(3;−1) và C(6;0). Vuông tại B. S=10(đvdt). b)x−y−4=0.
26) Cho ∆ABC với C(4;−1) và đường cao d
1
:2x−3y+12=0, trung tuyến d
2
:2x+3y=0
cùng xuất phát từ đỉnh A. Lập phương trình các cạnh ∆ABC .
Kết quả: AB:9x+11y+5=0;BC:3x+2y−10=0;AC:3x+7y−5=0
27) Biện luận theo tham số m vò trí tương đối của hai đường thẳng d
1
:x+my−2=0,
d
2
:mx+y–m−1=0 .
Kết quả: •m ≠±1: d
1
cắt d
2
tại M(
1m
1
;
1m

2m
++
+
) •m=−1: d
1
// d
2
•d
1
≡d
2
28) Cho ∆ ABC với AB : 5x+3y–5=0;BC : x–2y+1=0;CA : −x+4y–1=0. Dùng công
thức chùm đường thẳng đồng quy tại A, lập phương trình đường cao AH của tam
giác ABC.
Kết quả: 46x+23y−44=0
29 ) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(2;2);cách B(1;1) một khoảng bằng 1.
Kết quả: x−2=0 V y−2=0
30) Cho đường thẳng d:2x–y+4=0, M(−2;1) tìm tọa độ của M’ đối xứng với M qua d.
Kết quả: M’(
5
3
;
5
6
−
)
31) Cho d : 3x-y+1=0;I(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua I.
Kết quả: d’:−3x+y+17=0
32) Cho ba điểm M(-2; 2);A(2; 1);B(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M
và cách đều A, B.

Kết quả: x+2y−2=0 V x+6y−10=0.
33) Cho hình bình hành có hai cạnh BC: 2x+y-1=0;CD: x-3y+1=0;đỉnh A(1; 1). Viết
phương trình hai cạnh còn lại.
Kết quả: AB:x−3y+2=0 ,AD: 2x+y−3=0.
34) Cho hình bình hành có hai cạnh AB:x-y+1=0; AD: 2x-y=0;tâm I(0; 2). Viết
phương trình hai cạnh còn lại.
Kết quả: BC:2x−y+4=0, CD:x−y+3=0
35) Tính góc giữa hai đường thẳng : 2x+y-3=0;3x-y+2=0. Kết quả:45
0

36) Tìm m để khoảng cách từ A(1;1) đến đường thẳng mx+(m+1)y+m=0 bằng 2.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH
Kết quả: m=−1 V m=3.
37) Cho A(2;2);B(5;1) và đường thẳng d : x–2y+8=0
a) Xác đònh điểm C∈d sao cho ∆ ABC cân tại C.
b) Xác đònh điểm M∈d sao cho ∆ ABM có diện tích là
2
11
.
Kết quả: a) C(
5
33
;
5
26
) b) M(
5
27
;

5
14
) V M(−6;1)
38) Cho (∆
1
): x+2y−2=0 và (∆
2
): 2x−y+2=0. Lập phương trình của đường thẳng (∆ )
đi qua A(3;2) và cắt (∆
1
) và (∆
2
) lần lượt tại I và J phân biệt sao cho A là trung điểm
của IJ. Tìm tọa độ của I và J.
Kết quả: (∆):16x+7y−62= 0; I(
5
22
;
5
6
−
) và J(
5
8
;
5
26
)
BÀI TẬP NÂNG CAO
1) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(−4;−5) và hai đường cao có

phương trình 5x+3y−4=0 và 3x+8y+13=0. ( Đề 58)
Kết quả: 8x−3y+17=0; 3x−5y−13=0; 5x+2y−1=0.
2) Viết phương trình đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC biết tọa độ
trung điểm của các cạnh là M(−1;1);N(1;9) và P(9;1). ( Đề 14)
Kết quả: x−y+2=0;x−1=0;x+4y−13=0.
3) Cho tam giác ABC có A(2;2)
a.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết phương trình các đường cao
BH: 9x−3y−4=0 và CK: x+y−2=0.
b.Lập phương trình đường thẳng d qua A và tạo với AC góc 45
0
. ( Đề 3)
Kết quả: a. AC:x+3y−8=0; AB:x−y=0; BC: 7x+5y−8=0.
b.d:x−2y+2=0;2x+y−6=0
4) Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(−4;5) và một đường chéo đặt trên d:7x−y+8=0.
Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông. ( Đề 98)
Kết quả: AB:3x−4y+32=0; AD: 4x+3y+1=0;
BC: 3x−4y+7=0; CD:4x+3y−24=0; AI: x+7y−31=0
5) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;−1), đường cao
AH:3x−4y+27=0 và phân giác CD: x+2y−5=0. ( Đề 84)
Kết quả: AC:y−3=0;AB:4x+7y−1=0;BC: 4x+3y−5=0
6) Cho M(2;1), N(5;3) và P(3;−4) là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. ( Đề 72)
Kết quả: 2x−3y−18=0;7x−2y−12=0;5x+y−28=0
7) Cho tam giác ABC có M(−1;1) là trung điểm BC và
AB:x+y−2=0;AC:2x+6y+3=0. Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.( Đề 32)
Kết quả:
)
4
1
;

4
9
(Cvà )
4
7
;
4
1
(B );
4
7
;
4
15
(A −−
.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH
8) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và hai đường trung
tuyến BN:y−1=0 và CP:x−2y+1=0.( Đề 85)
Kết quả: AC:x−y+2=0;AB:x+2y−7=0;BC: x−4y−1=0.
9) Cho tam giác ABC biết diện tích S=
2
3
, A(2;−3) và B(3;−2) và trọng tâm G thuộc
d:3x−y−8=0. Tìm tọa độ đỉnh C. ( Đề 86).
Kết quả: C(−2;−10) V C(1;−1).
10) Tìm trên Ox điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P đến A(1;2) và B(3;4)
nhỏ nhất . ( Đề 97).
Kết quả: P(

0;
3
5
)
11) Cho P(3;0) và d
1
:2x−y−2=0, d
2
:x+y+3=0. Gọi d là đường thẳng qua P và lần lượt
cắt d
1
; d
2
tại hai điểm phân biệt A và B. Viết phương trình của d biết PA=PB
( Đề 57).
Kết quả: 8x−y−24=0.
12) Cho A(−1;3), B(1;1) và M(2;4).
a) Tìm C thuộc d:2x−y=0 để tam giác ABC cân tại C.
b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABM. ( Đề 116)
Kết quả: a) C(2;4) b)
8
25
)
4
11
y()
4
3
x(
22

=−+−
13) Lập phương trình đường thẳng d đi qua P(2;−1) sao cho d cùng với hai đường
thẳng d
1
:2x−y+5=0;d
2
:3x+6y−1=0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
hai đường thẳng d
1
với d
2
(Đề 56).
Kết quả: 3x+y−5=0;x−3y−5=0
14) Cho d:2x−y−1=0 và E(1;6), F(−3;−4).Tìm M∈d để
→→
+ FMEM
nhỏ nhất. (Đề 15)
Kết quả: M(
5
1
;
5
3
)
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH
II. ĐƯỜNG TRÒN
1) Xác đònh tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C):x
2
+y

2
−6x+4y−5=0. Tìm
các giao điểm của (C) với trục Oy. Kết quả: I(3;−2) và R=3
2
. A(0;−5) và B(0;1).
2) Lập phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(−1;2) và tiếp xúc với (∆):x−2y+7=0. Kết quả:(x+1)
2
+(y−2)
2
=
5
4
b)(C) có đường kính AB với A(1;1), B(7;5). Kết quả:(x−4)
2
+(y−3)
2
=13
c) (C) đi qua A(1;2) và B(3;0) và có tâm I nằm trên (∆):x+y+7=0.
Kết quả:(x+3)
2
+(y+4)
2
=52
d) (C) có tâm I nằm trên (∆):x−2y−3=0, bán kính R=5 và đi qua điểm A(4;3)
Kết quả:(x−1)
2
+(y+1)
2
=25 hoặc (x−9)

2
+(y−3)
2
=25
e) (C) đi qua 3 điểm A(−2;4), B(5;5) và C(6;−2).
Kết quả:(x−2)
2
+(y−1)
2
=25
f) (C) tiếp xúc với (∆):2x+y−3=0 tại A(1;1) và có tâm I nằm trên d:x+y+7=0.
Kết quả:(x+5)
2
+(y+2)
2
=45
g) (C) tiếp xúc với (∆): 3x−4y−9=0 có tâm I nằm trên d:x+y−2=0 và có bán
kính R=2.
Kết quả:(x−1)
2
+(y−1)
2
=4 hoặc (x−
7
27
)
2
+(y+
7
13

)
2
=4
h) (C) tiếp xúc với Ox, Oy và đi qua M(4;2).
Kết quả:(x−10)
2
+(y−10)
2
=100 hoặc (x−2)
2
+(y−2)
2
=4
i) (C) tiếp xúc với Ox, Oy và có tâm I nằm trên (∆):2x−y−4=0.
Kết quả:(x−4)
2
+(y−4)
2
=16 hoặc (x−
3
4
)
2
+(y+
3
4
)
2
=
9

16
j) (C) có tâm I nằm trên (∆):4x+3y−2=0 và tiếp xúc với hai đường thẳng
d
1
:x+y+4=0, d
2
:7x−y+4=0.
Kết quả:(x−2)
2
+(y+2)
2
=8 hoặc (x+4)
2
+(y−6)
2
=18
k) (C) đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 đường thẳng d
1
:2x+y−1=0,
d
2
:2x−y+2=0.
Kết quả:x
2
+y
2
+
4
1023
x

2
1 ±
+
y=0
l) (C) đi qua A(2;0) và tiếp xúc với hai đường thẳng d
1
:3x+4y−8=0,
d
2
:3x+4y+2=0.
Kết quả:(x−1)
2
+y
2
=1 hoặc (x−
25
57
)
2
+(y+
25
24
)
2
=1
m) (C) nội tiếp tam giác ABC và ba cạnh có phương trình AB: 4x−3y−65=0;
AC:7x−24y+55=0;BC:3x+4y−5=0.
Kết quả: (x−10)
2
+y

2
=25.
n) (C) đối xứng với (C’):(x−1)
2
+(y+2)
2
= 4 qua điểm M(−2;2).
Kết quả: (x+5)
2
+(y−6)
2
=4.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH
o) (C) đối xứng với (C’): (x−1)
2
+(y−4)
2
= 1 qua (∆):x−2y−3=0
Kết quả: (x−5)
2
+(y+4)
2
=1.
3) a) Lập phương trình của đường tròn (C) có tâm I(4;3) và tiếp xúc với
(∆):x−3y−5=0.
b) Chứng minh rằng (C) không có điểm chung với trục tung. Tìm các giá trò của
k sao cho đường thẳng d:y=kx có điểm chung với đường tròn (C).
Kết quả: a) x
2

+y
2
−8x−6y+15=0
b) x=0 ⇒ (y−3)
2
= −6 vn ⇒ đpcm. 2−
6
5
≤ k ≤ 2+
6
5
4) Cho đường tròn (C): x
2
+y
2
+4x+4y−17=0. Lập phương trình tiếp tuyến d với (C)
biết:
a) d tiếp xúc với (C) tại M(2;1). Kết quả:4x+3y−11=0.
b) d đi qua điểm A(−1;5). Kết quả: 3x−4y+23=0 V 4x+3y−11=0.
c) d song song với (∆):3x−4y+2007=0.
Kết quả:3x−4y+23=0 V 3x−4y−27=0
5) Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C): x
2
+y
2
−4x−5=0 và vuông góc
với đường thẳng d:12x+5y=0.
Kết quả:5x−12y−49=0 V 5x−12y+29=0
BÀI TẬP NÂNG CAO
1) Chứng minh rằng khi m thay đổi các đường thẳng D

m
sau luôn tiếp xúc với một
đường tròn cố đònh:
a) (1−m
2
)x+2my+m
2
−4m+3=0. Kết quả: (x+1)
2
+(y−2)
2=
4
b) xcos2m+ysin2m+4cos
2
m−5=0. Kết quả: (x+2)
2
+y
2=
9
Phương pháp chung: D
m
tiếp xúc (C) có tâm I(a;b), bán kính R cố đònh ⇔
R=d(I,D
m
) không phụ thuộc vào m.
2) Viết phương trình của đường tròn (C) nội tiếp ∆OABC biết A(15;0) và B(0;8)
Kết quả: (C): (x−3)
2
+(y−3)
2=

9
3) Cho điểm A(3;1).
a) Tìm tọa độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong
góc tọa độ thứ nhất.
b) Viết phương trình của hai đường chéo và tìm tọa độ tâm của hình vuông.
c) Viết phương trình của đường tròn (C) ngoại tiếp hình vuông.
Kết quả: a) B(2;4), C(−1;3) b)AC:x+2y−5=0, OB: 2x−y=0, I(1;2)
c) (x−1)
2
+(y−2)
2
=5
4) Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh AB:
2x+y+5=0;AC:2x−y−5=0;BC:x+2y−5=0. Viết phương trình của đường tròn (C) nội
tiếp tam giác ABC.
Kết quả: x
2
+y
2
=5
5) Cho tam giác ABC có A(
0;
4
1
), B(2;0) và C(−2;3).
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH
a) Viết phương trình của đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với cạnh BC.
Kết quả: a) (x−

2
1
)
2
+(y−
2
1
)
2
=
4
1
b) 3x+4y−1=0;3x+4y−6=0.
6) Cho (C
m
) : x
2
+y
2
−2mx−4(m−2)y+6−m=0.
a) Tìm điều kiện của m để (C
m
) là một đường tròn.
Kết quả: m≤1 V m≥2.
b) Tìm tập hợp các tâm I của (C
m
).
Kết quả:2x−y−4=0 với x≤1 V x≥2
7) Cho hai điểm A và B thuộc Ox có hoành độ là nghiệâm của phương trình
x

2
−2(m+1)x+m=0.
a) Viết phương trình của đường tròn (C) có đường kính AB.
b) Cho E(0;1). Viết phương trình của đường tròn (C’) ngoại tiếp tam giác EAB.
Kết quả: a) (C): x
2
+y
2
−2(m+1)x+m=0.
b) (C’):x
2
+y
2
−2(m+1)x−(m+1)y+m=0.
8) Cho đường tròn (C) có tâm I(0;1), bán kính R=1 và đường thẳng d:y=3. Trên d có
điểm M(m;3) di động và trên Ox có điểm T(t;0) di động.
a) Chứng minh rằng, điều kiện để MT tiếp xúc với (C) là t
2
+2mt−3=0
b) Chứng minh rằng với mỗi điểm M ta luôn tìm được hai điểm T
1
và T
2
trên
Ox để MT
1
và MT
2
tiếp xúc với (C).
c) Lập phương trình của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác MT

1
T
2
. Tìm tập
hợp tâm K của đường tròn này.
Kết quả: x
2
+y
2
+2mx−(m
2
+2)y−3=0. K∈ (P):y=
1
2
x
2
+
.
9) Cho các đường tròn (T): x
2
+y
2
=1 và (C
m
): x
2
+y
2
−2(m+1)x+4my−5=0, với m là
tham số.

a) Tìm tập hợp các tâm I của (C
m
).
b) Chứng minh rằng có hai đường tròn (C) và (C’) trong các đường tròn (C
m
)
tiếp xúc với đường tròn (T).
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’)
Kết quả:a) 2x+y+2=0 b) Ứng với m=1 V m=
5
3
. c)2x+y−2
53±
=0
10) (Đề 19) Cho d: xcosα+ysinα+2 cosα+1=0 và K(−2;1).
a) Chứng minh rằng khi α thay đổi d luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố đònh.
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên d và kéo dài KH một đoạn về phía
H và lấy trên đó điểmN sao cho HN=2KH. Tính tọa độ của N theo α.
Kết quả: a. (C): (x+2)
2
+y
2
=1;b.N(−2−3(sinα+1)cosα;1−3(sinα+1) sinα)
11) (Đề 16) Cho d
1
:3x+4y−6=0;d
2
:4x+3y−1=0 và d
3
:y=0. Gọi A=d

1
∩ d
2
; B=d
2
∩ d
3
và
C=d
1
∩ d
3.
a) Viết phưông trình phân giác trong của góc A của tam giác ABC .
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
c) Viết phương trình đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC.
Kết quả: a. x+y−1=0 b. S=
8
21
c. (
2
1
x −
)
2
+(
2
1
y −

)
2
=
4
1
12) (Đề 141) Cho họ đường thẳng d: (x−1)cosα+(y−1)sinα−4=0
a) Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy mà d không thể đi qua.
b) Chứng minh rằng với mọi α d luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh.
Kết quả: a. M(x;y) với (x−1)
2
+(y−1)
2
<16 b. (x−1)
2
+(y−1)
2
=16
13) (Đề 28) Lập phương trình đường tròn (C’) đi qua A(1;−2) và qua các giao điểm
của d:x−7y+10=0 với (C):x
2
+y
2
−2x+4y−20=0.
Kết quả: x
2
+y
2
−x−3y−10=0
14) (Đề 46) Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C):
x

2
+y
2
−10x+24y−56=0 và (C’): x
2
+y
2
−2x−4y−20=0.
Kết quả:
0710203y21x)71014( =±−+±−
15) (Đề 11) Cho (C
m
): x
2
+y
2
−(m−2)x+2my−1=0
a) Tìm quỹ tích tâm I của các đường tròn (C
m
).
b) Chứng minh rằng (C
m
) đi qua 2 điểm cố đònh.
c) Cho m=−2. Viết phương trình tiếp tuyến (C
−
2
) kẻ từ A(0;−1).
Kết quả: a. 2x+y+2=0; b. A(−2;−1) và B(
5
1

;
5
2
);
c. y+1=0;12x−5y−5=0.
16) (Đề 127) Cho A(0;a), B(b;0) và C(−b;0) với a,b>0.
a) Viết phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và
tiếp xúc với AC tại C.
b) M thuộc (C). Gọi d
1
, d
2
, d
3
là các khoảng cách từ M tới AB, AC và BC. Chứng
minh rằng
2
321
dd.d =
Kết quả: a. bx−ay−b
2
=0;bx+ay+b
2
=0;I(0;−b
2
/a) và
22
ba
a
b

R +=
17) (Đề 129) Cho (C):x
2
+y
2
=R
2
và M(x
0
;y
0
) nằm ngoài (C). Kẻ hai tiếp tuyến MT
1
và MT
2
đến với (C).
a) Viết phương trình đường thẳng T
1
T
2
.
b) Giả sử M thuộc một đường thẳng d cố đònh không cắt (C). Chứng minh rằng
T
1
T
2
luôn luôn đi qua một điểm cố đònh.
Kết quả: a. x
0
x+y

0
y−R
2
=0 b.M(
22
R
C
B
;R
C
A
) với d:Ax+By=C.
18) (Đề 99) Chứng minh rằng tiếp tuyến của (C):(x−a)
2
+(y−b)
2
=R
2
tại tiếp điểm
M(x
0
;y
0
) có phương trình (x
0
-a) (x-a)+(y
0
-b) (y-b) =R
2
.

p dụng: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x
2
+y
2
+2x−4y=0 tại O.
Kết quả: x−2y=0
19) (Đề 140) Cho F(x,y)=x
2
+y
2
−2m(x−a)=0 (0<a cố đònh)
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH
a) Đònh m để phương trình trên là phương trình của một đường tròn (C
m
).
b) Chứng minh rằng đoạn OA, với A(2a;0) luôn cắt (C
m
).
c) Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng là trục đẳng phương của mọi đường
tròn (C
m
).
Kết quả: a)m<0 V m>2a b) PO/(C). PA/(C)<0 c) x=a
20) (Đề 133) Cho A(a;0) và B(0;a) với a>0.
a) Viết phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc Ox tại A và tâm C có tung độ
2
2m
y
C

=
. Xác đònh giao điểm thứ hai P của AB với (C).
b) Viết phương trình của đường tròn (C’) đi qua P và tiếp xúc Oy tại B.
c) (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm P và Q. Viết phương trình của PQ. Chứng
minh rằng khi m thay đổi PQ luôn đi qua một điểm cố đònh.
Kết quả: a) C(a;
2
2m
);R=y
C
=
2
|m|
và vì (AB,Ox)=135
0
nên ∆ACP vuông
cân tại C ⇒P(a−
2
2m
;
2
2m
).
b) (C’): (x−a+
2
2m
)
2
+(y−a)
2

=( a−
2
2m
)
2

c)
0yx
2ma2
2m
=−
−
qua O với
2am ≠
21) (Đề 82) Cho (C): x
2
+y
2
=1 . (C) cắt Oy tại A(0;1) và B(0;−1). Đường thẳng
d:y=m (−1<m<1), m≠0) cắt (C) tại T và S. AT∩BS=P. Tìm quỹ tích của P.
Kết quả: (H): x
2
−y
2
=−1 (x≠0)
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH
III. ÊLÍP
A. BÀI TẬP CƠ BẢN:
1) Viết phương trình chính tắc của (E) có hai tiêu điểm F

1
(-7;0), F
2
(7;0) và điểm
A(−2;12). Kết quả: (E) :
1
147
y
196
x
22
=+
.
2 ) a) Viết phương trình chính tắc của ( E ) có một tiêu điểm F
1
( 5 ; 0 ) và độ dài trục
nhỏ là 2b=
64
. Tìm tọa độ các đỉnh , tiêu điểm thứ hai F
2
và tâm sai của ( E ) .
Kết quả:Đỉnh A
1
(−7;0), A
2
(7;0), B
1
(0;−
62
), B

2
(0;
62
). Tâm sai e=
7
5
. F
2
(5;0).
b) Tìm M thuộc ( E ) sao cho MF
1
= 2 MF
2
. Kết quả: M(
66
15
8
;
15
49
±
)
3) Viết phương trình chính tắc của ( E )đđi qua hai điểm M (- 2;1);N(1;−
3
). Và viết
phương trình tiếp tuyến của (E) tại M.
Kết quả:
1
3
11

y
2
11
x
22
=+
và 4x−3y+11=0
4) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ( E ) sau :
1
4
y
9
x
:)(E , 1
1
y
16
x
:)E(
2
2
2
2
2
1
=+=+

Kết quả:
01y
55

7
x
55
3
=+±±

5) Viết phương trình chính tắc của ( E ) biết rằng nó nhận đường thẳng :
( d ) : x–y–5=0 làm tiếp tuyến và có một tiêu điểm là F
1
(- 3;0 ) .
Kết quả:
1
8
y
17
x
22
=+
6) Cho hai êlíp
1
1
y
10
x
:)(E ; 1
4
y
9
x
:)E(

2
2
2
2
2
1
=+=+
.Viết phương trình đường tròn
đi qua các giao điểm của hai êlíp trên. Kết quả:
31
274
yx
22
=+
7) Tìm M trên ( E ):
1
9
y
25
x
2
2
=+
sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
Vẽ (E). Kết quả: M(
4
9
;
4
75

±±
)
8) Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của (E) :
1
9
y
16
x
22
=+
đi qua M(4;-3) là vuông
góc nhau. Kết quả: 2 tiếp tuyến là x−4=0 và y+3=0 vuông góc nhau.
9) Viết phương trình tiếp tuyến của
1
9
y
25
x
:)E(
2
2
=+
biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng d:x+2y−1=0. Kết quả: x+2y
61±
=0
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH
10) Tìm giao điểm của đường thẳng ∆:




=
+−=
t2y
t1x
( t∈R) với
1
4
y
5
x
:)E(
22
=+
.
Kết quả: A(0;2) và B(
3
4
;
3
5
−−
)
11) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho một elíp (E) có khoảng cách giữa các
đường chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu của điểm M nằm trên elíp (E) là 9 và
15.
1. Viết phương trình chính tắc của elíp (E).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm M.
(Đề thi TN THPT năm học 2002-2003)

Kết quả: a)
.1
80
y
144
x
22
=+
b)M(
2
115
;
2
9
±±
), 4 tiếp tuyến
032y11x =+±±
12) Cho êlíp (E):
.1
16
y
25
x
2
2
=+
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M(3;m) với m > 0
b) Cho hai điểm A, B thuộc (E) sao cho AF
1
+BF

2
=8. Hãy tính AF
2
+BF
1
.
(Đề thi TN THPT năm học 2003-2004)
Kết quả: a) M(3;
5
16
), tiếp tuyến 3x+5y−25=0 b) AF
2
+BF
1
=12
B. BÀI TẬP NÂNG CAO:
1) Đề 103) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
tiếp xúc
với ∆:Ax+By+C=0 là A
2

a
2
+B
2
b
2
=C
2
(C≠0)
2) (Đề 25) Tìm (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
biết (E) có 2 tiếp tuyến d
1
:3x−2y−20=0 và
d
2
:x+6y−20=0. Kết quả: a
2
=40 và b
2
=10.

3) (Đề 31) Một đường thẳng qua O cắt (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
tại hai điểm M và N.
Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (E) tại M và N là song song với nhau.
4) (Tương tự đề 103) Cho (E): x
2
+4y
2
−4=0. Viết phương trình các tiếp tuyến
của (E) đi qua M(0;
3
2
). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 tiếp tuyến
trên và (E).
5) (Đề 118) Cho 2 elíp
1
1
y
16
x
22

=+
và
1
4
y
9
x
22
=+
.
a) Lập phương trình các tiếp tuyến chung của hai elíp trên.
b) Viết phương trình của đường tròn (C) đi qua các giao điểm của hai elíp
trên.
Kết quả:a.
0
7
55
yx
7
3
=±−±
b.x
2
+y
2
=
11
92
.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 13 - Soạn cho lớp LTĐH
6) (Đề 47) Cho elíp
1
3
y
6
x
22
=+
. Xét hình vuông ngoại tiếp elíp. Viết phương
trình các cạnh của hình vuông. Kết quả: x±y±3=0.
7) (Đề 4) Cho (E):x
2
+4y
2
=4 và M(−2;m), N(2;n).
a) Gọi A
1
và A
2
là các đỉnh trên trục lớp của (E). Viết phương trình các
đường thẳng A
1
N và A
2
M và tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng
này.
b) Cho MN luôn tiếp xúc với (E). Tìm quỹ tích của I.
Kết quả: a.
)

nm
mn
;
nm
)nm(2
(I
++
−
b.x
2
+16y
2
=4
8) (Đề 43) Cho M, N là hai điểm thuộc tiếp tuyến d của (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
sao cho
mỗi tiêu điểm F
1
;F
2
của (E) nhìn đoạn MN dưới góc vuông. Hãy xác đònh vò trí của

M, N trên tiếp tuyến ấy.
Kết quả: M, N có hoành độ x= ± a.
9) (Đề 6) Cho (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
. Gọi A
1
,A
2
là các đỉnh trên trục lớn của (E), dựng
các tiếp tuyến A
1
t và A
2
t’. Một tiếp tuyến qua M∈(E) cắt A
1
t tại T và A
2
t’ tại T’.
a) Chứng minh rằng tích A
1
T.A

2
T’ không phụ thuộc vào vò trí của M.
b) Tìm quỹ tích giao điểm N của A
1
T’ và A
2
T khi M chạy trên (E).
Kết quả: a) b
2
b)
1
)
2
b
(
y
a
x
2
2
2
2
=+
10) (Đề 34) Cho (E):
1
b
y
a
x
2

2
2
2
=+
(a > b > 0). Chứng minh rằng tích các khoảng
cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kỳ của một (E) bằng b
2
.
11) (Đề 45) Cho (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
(a > b > 0). (∆) là một tiếp tuyến của (E) cắt x=−a
tại N và cắt x=a tại M. Xác đònh tiếp tuyến (∆) sao cho diện tích tam giác FMN nhỏ
nhất với F là một tiêu điểm của (E).
Kết quả: Có 2 tiếp tuyến (∆) tiếp xúc (E) tại x=c ( với F(c;0) ).
12) (Đề 79) Cho (E): 4x
2
+9y
2
=36 và M(1;1). Viết phương trình của đường thẳng d đi
qua M và cắt (E) tại A và B sao cho AM=MB.
Kết quả: 4x+9y−13=0

13) (Đề 119) Cho (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
(a > b > 0).
a) Chứng minh rằng với mọi M∈(E), ta có b≤ OM ≤a .
b) Gọi A là giao điểm của d:y=kx với (E). Tính OA theo a, b, k.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH
c) Gọi A, B là hai điểm thuộc (E) mà OA ⊥ OB. Chứng minh rằng
22
OB
1
OA
1
+

không đổi
Kết quả: b)
222
2
akb
k1ab

OA
+
+
=
b)
22
22
22
ba
ba
OB
1
OA
1 +
=+
14) (Đề 150) Cho (E):
1
4
y
9
x
2
2
=+
và (D):ax−by=0, (D’):bx+ay=0 (a
2
+b
2
>0)
a) Xác đònh các giao điểm M và N của (D) với (E) và giao điểm P và Q của (D’)

với (E)
b) Tính diện tích MNPQ theo a, b.
c) Tìm a, b để diện tích MNPQ đạt giá trò lớn nhất.
d) Tìm a, b để diện tích MNPQ đạt giá trò nhỏ nhất.
Hướng dẫn và kết quả: b) S
MNPQ
=2OM.OP=
)b9a4)(b4a9(
)ba(72
2222
22
++
+
c) Có thể giả thiết a
2
+b
2
=1 ⇒ S=
22
ba2536
72
+
≤
36
72
⇒ S ≤12 ⇒
MaxS=12 khi a=0 hoặc b=0
d) Theo bất đẳng thức Côsi a
2
+b

2
≥2ab ⇒ ab≤½ ⇒ a
2
b
2
≤¼
⇒ S=
22
ba2536
72
+
≥
4
25
36
72
+
⇒ S≥
13
36
⇒ MinS=
13
36
khi a=b=
2
2
15) Tìm quỹ tích các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy mà từ đó kẻ được hai
tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (E):
1
3

y
6
x
2
2
=+
Hướng dẫn và kết quả: Giả sử có 2 đường thẳng vuông góc nhau
(D
1
):Ax+By+C=0 và (D
2
):Bx-Ay+C’=0. Dùng điều kiện tiếp xúc của (D
1
)
và của (D
2
) với (E) ta có: 6A
2
+3B
2
=C
2
và

6B
2
+3A
2
=C’
2

⇒ C
2
+C’
2
=9(A
2
+B
2
)
(1). Từ 2 phương trình của (D
1
) và (D
2
) ⇒ C
2
+C’
2
=(A
2
+B
2
)(x
2
+y
2
) (2). Từ (1)
và (2) ⇒ x
2
+y
2

=9 ⇒ Quỹ tích của M là đường tròn có tâm O, bán kính R=3.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH
IV. HYPEBOL
A. BÀI TẬP CƠ BẢN:
1) Xác đònh toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, phương trình đường tiệm
cận, độ dài hai trục của (H): 9x
2
– 4y
2
– 36=0.
2) Lập phương trình chính tắc của (H) trong các trường hợp :
a) Trục thực bằng 10, tiêu cự bằng 26.
b) Tiêu cự bằng 26, phương trình một tiệm cận là
x
12
5
y
=
c) Tâm sai e=
2
đi qua M(5;3).
d) Có một tiêu điểm F ( 7;0 ) và đi qua A (-2;12).
3) Cho ( H ) : 9x
2
–y
2
–9=0 tìm M∈ ( H ) sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một
góc vuông.
4) Cho ( H ) : 9x

2
–16 y
2
–144=0 tìm M∈ ( H ) sao cho MF
1
=2MF
2

5) Lập phương trình chính tắc của (H) tiếp xúc với các đường thẳng
(d
1
):5x–5y–16=0, (d
2
): 13x−10y−48=0
6) Cho (H ) :
1
24
y
25
x
2
2
=−
.
a) Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tâm sai của (H)
b) Tìm M trên ( H ) có hoành độ x=10 và tính khoảng cách từ M đến hai
tiêu điểm.
c) Tìm k để đường thẳng y=kx – 1 có điểm chung với ( H ).
7) Lập phương trình chính tắc của ( H ) trong các trường hợp:
a) Có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là

13
50
và có tiêu cự bằng 6.
b) Có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là
5
32
và độ dài trục thực bằng 8.
8) Cho ( H ):
1
4
y
5
x
2
2
=−
a) Xác đònh các tiêu điểm, tâm sai và các tiệm cận của (H).
b) Lập phương trình tiếp tuyến ( d ) tại M (5;−4).
c) Lập phương trình tiếp tuyến ( d
/
) qua N (−2;1).
9) Lập phương trình chính tắc của ( H ) đi qua điểm M(4;3)và tiếp xúc
(d): x−y+1= 0.
10) Cho ( H ) : 4x
2
–y
2
−64=0 và đường thẳng ( d ) : 10x–3y–2007=0.
a) Lập phương trình tiếp tuyến của ( H ) song song ( d ) và tính khoảng
cách giữa các tiếp tuyến đó.

b) Lập phương trình tiếp tuyến của ( H ) và vuông góc với ( d ).
11) Lập phương trình chính tắc của (H ) trong các trường hợp :
a) Một đỉnh trên trục thực là A (-3;0) và đường tròn ngoại tiếp hình chữ
nhật cơ sở là : x
2
+y
2
=16.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là
4
9
độ dài bán kính qua tiêu
điểm ứng với một điểm M nằm trên ( H ) là 10 và 4.
c) (H) đi qua M(6;-1) và phương trình đường chuẩn
5
108
x ±=
.
12) Lập phương trình tiếp tuyến của (H ) : x
2
−2y
2
=1tại điểm có tung độ y=2.
B. BÀI TẬP NÂNG CAO:
1) (Đề 103) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (D):
Ax+By+C=0 (A
2
+B

2
≠ 0) tiếp xúc với (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
là A
2
a
2
−B
2
b
2
= C
2
> 0
2) (Đề 18) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) tiếp xúc với hai
đường thẳng d
1
: 5x−6y−16=0 và d
2
: 13x−10y−48=0.
Kết quả:

1
4
y
16
x
2
2
=−
3) (Đề 33) Chứng minh rằng: Tích các khoảng cách từ điểm M
0
bất kỳ thuộc (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
đến hai tiệm cận của nó là một số không đổi.
Kết quả:
22
22
ba
ba
+
4) (Đề 113) Cho (H):
1

b
y
a
x
2
2
2
2
=−
và một tiếp tuyến bất kỳ của (H) là (D):
Ax+By+C=0 (A
2
+B
2
≠ 0) tiếp xúc với (H) tại T. Gọi M, N là các giao điểm của tiếp
tuyến (D) với các tiệm cận của (H).
a) Chứng minh rằng T là trung điểm của MN.
b) Chứng minh rằng diện tích tam giác OMN không phụ thuộc vào (D) .
Kết quả: ab
5) (Đề 137) Cho (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−

.
a) Tính phần độ dài phần tiệm cận chắn bởi hai đường chuẩn.
b) Tính khoảng cách từ các tiêu điểm của (H) đến hai tiệm cận.
c) Chứng minh rằng: Chân các đường vuông góc hạ từ 1 tiêu điểm tới các
đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó.
Kết quả: a) 2a b) b c)
0HF.OH
1
=
→→
⇒ đpcm.
6) (Đề 147) Cho (H):
1
9
y
4
x
2
2
=−
. Gọi (D) là đường thẳng qua O và có hệ số góc k
và (D’) qua O và (D’) ⊥ (D).
a) Tìm k để (D) và (D’) đều cắt (H).
b) Tính diện tích của hình thoi có 4 đỉnh là 4 giao điểm của (D’) và (D) với (H).
c) Xác đònh k để hình thoi có diện tích nhỏ nhất.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 17 - Soạn cho lớp LTĐH
Kết quả: a)
4
9

k
9
4
2
<<
b) S
MNPQ
=2OM.OP=
)4k9)(k49(
)k1(72
22
2
−−
+

c) MinS=
5
144
⇔ k
2
=1. Lúc đó (D) và (D’) là các phân giác y=±x
7) Tìm quỹ tích các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy mà từ đó kẻ được hai tiếp
tuyến vuông góc với nhau tới (H):
1
4
y
5
x
2
2

=−
.
Kết quả: Đường tròn tâm O, bán kính R=1.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 18 - Soạn cho lớp LTĐH
V. PARABOL
A. BÀI TẬP CƠ BẢN:
1) Xác đònh tham số tiêu, tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các (P):
a) y
2
-4x=0. b) 2y
2
+9x=0.
2) Viết phương trình chính tắc của (P) trong các trường hợp :
a) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 2.
b) F(1;0 ).
c) Đi qua M(1;4 ).
d) Đường chuẩn : 2x-7=0.
3) Cho (P) : y
2
=2px và đường thẳng (d) :x-2y+m=0. Biện luận theo m số giao điểm
của (P) và (d).
4) Cho (P) : y
2
=12x.
a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P)
b) Tìm điểm M trên (P) có hoành độ x=2. Tính khoảng cách từ M đến tiêu điểm.
c) Qua I(2, 0) vẽ đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng tích
số khoảng cách từ A, B đến trục Ox là hằng số.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M

0
∈(P) có hoành độ x
0
=3 và
tung độ y
0
<0.
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) đi qua điểm M(−12;0)
f) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến song song với
(d):3x−4y+2007=0. Tìm tọa độ tiếp điểm.
B. BÀI TẬP NÂNG CAO:
1) Tìm quỹ tích các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy mà từ đó kẻ được hai tiếp
tuyến vuông góc với nhau tới (P):y
2
=2x.
Kết quả: Đường thẳng 2x+1=0.
2) (Đề 5) Cho (P) : y
2
=64x và (D):4x+3y+46=0.
a) Tìm M∈(P) và N∈(D) để khoảng cách MN nhỏ nhất.
b) Với kết quả câu a): Chứng minh rằng MN ⊥ (t), trong đó (t) là tiếp tuyến của
(P) tại M.
Hướng dẫn và kết quả: a) Dựng tiếp tuyến của (P) tại M(x
0
;y
0
) song song với (D) ⇒
M(9;−24) và MN⊥(D) ⇒ N(
5
126

;
5
37
−
) b) Hiển nhiên.
3) (Đề 8) Cho F(3;0) và (D):3x−4y+16=0.
a) Tìm khoảng cách từ F đến (D). Suy ra phương trình đường tròn (C) có tâm F
và (C) tiếp xúc với (D).
b) Viết phương trình chính tắc của (P) có đỉnh O, tiêu điểm F. Chứng minh rằng
(D) tiếp xúc với (P), tìm tọa độ của tiếp điểm.
Hướng dẫn và kết quả: a) (C):(x−3)
2
+y
2
=25. b) (P):y
2
=12x, M(
3
16
;8)
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 19 - Soạn cho lớp LTĐH
4) (Đề 12) Cho (P): y
2
=2px và đường thẳng (D): 2mx−2y−mp=0. Gọi M
1
, M
2
là các
giao điểm của (P) và (D). Chứng minh rằng đường tròn đường kính M

1
M
2
tiếp xúc
với đường chuẩn của (P).
5) (Đề 101) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (P):y
2
=12x và (E):
1
6
y
8
x
2
2
=+
Kết quả:
3
x ± 2y+4
3
=0
6) (Đề 107) Cho (P): y
2
=16x .Viết phương trình các tiếp tuyến của (P):
a) Đi qua A(1;2)
b) Đi qua B(1;−4)
c) Vuông góc với (D):2x−y+5=0
Kết quả:
a) Vô nghiệm
b) 2x+y+2=0

c) x+2y+16=0
7) (Đề 130) Cho A(2;0) và M ∈ (C) có tâm O, bán kính R=2. Kẻ MH ⊥ Oy:
a) Tìm tọa độ của P là giao điểm của OM với AH theo góc α=
)OM,OA(
→→
.
b) Tìm quỹ tích của P khi M chạy trên (C).
Kết quả:
a) P(
α+
α
α+
α
cos1
sin2
;
cos1
cos2
)
b) y
2=
4(1−x) ( x≤1)
8) Viết phương trình chính tắc của (P), biết (P) đi qua M(
2
;1). Tính diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi (P) và (H): x
2
−y
2
=1.

Kết quả: • (P): y
2
=
2
x
•S=
)21ln(
3
2
++
(đvdt)
9) Viết phương trình chính tắc của (P), biết (P) đi qua có tiêu điểm F(
4
1
;0). Tính
diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) và (C): x
2
+y
2
=2 (x ≥0).
Kết quả:
• (P): y
2
=x
•S=
6
23 +π
(đvdt)
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 20 - Soạn cho lớp LTĐH

B . HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:
I. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ. TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VÉCTƠ
1) Viết tọa độ của vectơ :
→→→→
+−= k2j5i3a
.
Kết quả:
)2 ;5 ;3(a
−=
→
2) Viết dưới dạng
→→→→
++= kzjyixa
của vectơ :
)1;0 ;1(a −=
→
Kết quả:
→→→
−= kia
3) Viết tọa độ của điểm M biết :
→→→
+=
j4iOM
.
Kết quả: M(1;4;0)
4) Cho
)2 ;1 ;1(a
−=
→
,

)1- ;1 ;0(b
=
→
,
)0 ;3 ;2(c
=
→
, và
)7 ;10 ;12(d =
→
a) Tìm
→→→
+−
c2ba3
.
Kết quả: (7;2;7)
b) Tính
)b2).(a4(
→→
−
.
Kết quả: 24
c) Chứng minh 2 véctơ
→
a
và
→
b
không cùng phương.
d) Chứng minh 3 véctơ

→
a
,
→
b
và
→
c
không đồng phẳng.
e) Biểu thò véctơ
→
d
theo ba véctơ
→
a
,
→
b
và
→
c
.
Kết quả:
→→→
+−
c5b3a2
5) Cho A(1;1;1), B(−5;1;9) và C(−3;1;4)
a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tính diện tích tam giác ABC và
độ dài đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AD ứng với cạnh BC.
b) Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC.

c) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABDC.
Kết quả:a) S
ABC=
7;AH=
29
14
;AM=
2
221
,AD=
3
214
.b) G(
3
14
1; ;
3
7
−
)
c) D(−9;1;12)
6) Cho 4 điểm A(0;0;−1), B(1;1;3), C(1;−1;1) và D(4;1;3).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm I của
tứ diện ABCD. Tính thể tích tứ diện ABCD. Tìm độ dài đường cao AH của tứ diện
ABCD.
b) Tìm côsin của góc ϕ giữa hai đường thẳng AB và CD.
c) Tìm côsin của góc A của ∆ABC.
Kết quả: a) I(
2
3

;
4
1
;
2
3
);V
ABCD
=3;AH=
2
23
b)
343
13
cos
=ϕ
c) cosA=
33
4
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 21 - Soạn cho lớp LTĐH
7) Cho 2 véctơ
)2 ;1- ;2(a
=
→
,
)1 ;2- ;3(b
=
→
. Tìm tọa độ của véctơ

→
n
biết
→
n
⊥
→
a
và
→
n
⊥
→
b
.
Kết quả:
)1- ;4 ;3(n
=
→
8) Cho M(1;2;3). Tìm tọa độ của:
a) M
1
là hình chiếu vuông góc của M trên (Oxy). Kết quả: M
1
(1;2;0)
b) M
2
là hình chiếu vuông góc của M trên (Oxz). Kết quả: M
2
(1;0;3)

c) M
3
là hình chiếu vuông góc của M trên (Oyz). Kết quả: M
3
(0;2;3)
d) M
4
là hình chiếu vuông góc của M trên (Ox). Kết quả: M
4
(1;0;0)
e) M
5
là hình chiếu vuông góc của M trên (Oy). Kết quả: M
5
(0;2;0)
f) M
6
là hình chiếu vuông góc của M trên (Oz). Kết quả: M
6
(0;0;3)
9) Cho M(1;2;3). Tìm tọa độ của:
a) M
1
là điểm đối xứng của M qua (Oxy). Kết quả: M
1
(1;2;−3)
b) M
2
là điểm đối xứng của M qua (Oxz). Kết quả: M
2

(1;−2;3)
c) M
3
là điểm đối xứng của M qua (Oyz). Kết quả: M
3
(−1;2;3)
d) M
4
là điểm đối xứng của M qua Ox. Kết quả:M
4
(1;−2;−3)
e) M
5
là điểm đối xứng của M qua Oy. Kết quả:M
5
(−1;2;−3)
f) M
6
là điểm đối xứng của M qua Oz. Kết quả:M
6
(−1;−2;3)
g) M
7
là điểm đối xứng của M qua O. Kết quả:M
7
(−1;−2;−3)
10) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có A(0;1;1);B(-1;2;1);C(1;0;-2) và A’(3;2;2).
a)Tìm tọa độ đỉnh D của hình hộp. Tìm tọa độ giao điểm I của bốn đường chéo
của hình hộp.
b) Tính thể tích và chiều cao AH của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

c) Đường thẳng BC cắt (Oxy) tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Tìm k và
tọa độ của M.
d) Trên mặt phẳng Oyz, tìm điểm S cách đều A, B, C. Tính tổng T=SA+SB+SC.
Kết quả:a) D(2;-1;-2);I(2;1;0). b) V=12;AH=
22
.
c) k=
2
1
−
và
0) ;
3
4
;
3
1
(M
−
. d) S(0;2;
6
7
−
); T=
2
205
.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 22 - Soạn cho lớp LTĐH
II. MẶT PHẲNG- CHÙM MẶT PHẲNG

11) Lập phương trình của mặt phẳng (α) trong mỗi trường hợp:
a) Đi qua M(1;3;-2) và có véctơ pháp tuyến
→
n
= (2;3;1).
Kết quả: 2x+3y+z−9=0.
b) Đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (β): x+y+z+1=0.
Kết quả: x+y+z−2 =0.
c) Đi qua M(1;3;2) và có cặp véctơ chỉ phương
→
a
= (2;-1;2) và
→
b
= (3;-2;1).
Kết quả: 3x+4y-z-13=0.
d) Đi qua 3 điểm A(1;2;3);B(0;−1;2) và C(3;0;1).
Kết quả: x-y+2z-5=0.
12) Lập phương trình của mặt phẳng (α) trong mỗi trường hợp:
a) (α) đi qua A(1;1;1) và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (α
1
): x-y+z-1= 0
và (α
2
): x+z+5= 0.
Kết quả: x-z= 0.
b) (α) đi qua A(1;1;1) và B(-1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng
(β):2x−2y+z+2007=0.
Kết quả: 5x+6y+2z-13=0.
c) (α) đi qua A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3).

Kết quả: 6x+3y+2z-6=0.
d) (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ với P(-3;2;1) và Q(9;4;3).
Kết quả: 6x+y+z-23=0.
e) (α) là mặt phẳng đối xứng của (β): 2x-2y+z+3= 0 qua điểm I(1;2;3).
Kết quả:2x-2y+z-5= 0
f) (α) đi qua M(1;2;-1) và (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α
1
):x+2y-z+3=0
và (α
2
): 2x-y+z-5=0.
Kết quả: 8x+y+z-9= 0.
g) (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (α
1
): x+y−z+1=0 và (α
2
):2x−y+z−1=0 và
(α) vuông góc với (β): x−2y+3z+5=0.
Kết quả: 15x+3y-3z+3= 0.
h) (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (α
1
): x+y−z+1=0 và (α
2
):2x−9y+z−3=0
và (α) song song với trục Oz.
Kết quả: 3x-8y-2=0.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 23 - Soạn cho lớp LTĐH
III. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
13) Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (∆) trong mỗi trường hợp:

a) (∆) qua M(1;1;1) và có véctơ chỉ phương
→
u
= (2;-1;2)
Kết quả:
2
1z
1
1y
2
1x
−
=
−
−
=
−
b) (∆) qua M(0;-1;2) và vuông góc (α): x+y-3z+5=0
Kết quả:
3
2z
1
1y
1
x
−
−
=
+
=

c) (∆) qua M(3;2;1) và song song với Ox.
Kết quả:
0
1z
0
2y
1
3x −
=
−
=
−
d) (∆) qua hai điểm A(1;1;1) và B(0;2;-2).
Kết quả:
3
1z
1
1y
1
1x
−
−
=
−
=
−
−
e) (∆) song song với (D):




=−+−
=+−+
01zyx2
03zyx
và đi qua M(-3;4;2).
Kết quả:
1
2z
1
4y
0
3x
−
−
=
−
−
=
+
f) (∆) có phương trình tổng quát:



=−+−
=+−+
07zyx
01zy2x
Kết quả:
3

4z
2
y
1
3x
−
−
=
−
=
−

14) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (∆) trong mỗi trường hợp sau:
a) (∆) là giao của hai mặt phẳng song song với Oy và Oz biết phương trình tham
số của (∆):
R
t32z
t với t21y
t1x





+−=
∈+=
+−=
Kết quả:




=+−
=+−
03yx2
01zx3
.
b) (∆) là hình chiếu vuông góc của (d):
1
2z
2
1y
1
1x
−
=
−
+
=
−
−
lên mặt phẳng tọa
độ Oxy.
Kết quả:



=
=−−
0z
03yx2

.
c) (∆) là hình chiếu vuông góc của (d):



=+−+
=++
02zy3x
01zy-2x
lên mặt phẳng
(β):−2x+2y+3z+3=0.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 24 - Soạn cho lớp LTĐH
Kết quả:



=+++−
=+−+
03z3y2x2
07z2y8x5
.
d) (∆) đi qua gốc tọa độ O và song song với (d), biết (d) đi qua hai điểm A(1;2;3)
và B(2;1;4)
Kết quả:



=−
=+

0zx
0yx
.
e) (∆) đi qua M(10;-21;-1) và song song với trục Oz.
Kết quả:



=+
=−
021y
010x
f) (∆) đi qua M(1;-1;2) và đồng thời vuông góc với hai đường thẳng (∆
1
):



=+
=+−+
0zx2
05zyx
và (∆
2
):






+=
+−=
−=
t22z
t1y
tx
.
Kết quả:



=+
=+−
01y
03z2x
.
15) Cho hai đường thẳng (∆
1
):



=++−
=−−+
01zyx
03zyx
và (∆
2
):
1

2z
1
2y
2
1x +
=
−
−
=
+
.
a) Chứng minh rằng (∆
1
) và (∆
2
) cắt nhau. Tìm giao điểm I của chúng.
b) Viết phương trình của mặt phẳng (P) chứa (∆
1
) và (∆
2
) .
c) Viết phương trình của đường thẳng (∆) là giao tuyến của mặt phẳng (P) với
(Oxz).
Kết quả: a) I(1;1;-1). b) (P):x+y-z-3=0.
c) (∆):



=
=

0y
03-z-x
16) Cho hai đường thẳng (∆
1
):
2
1z
1
1y
1
x +
=
−
−
=
và (∆
2
):
1
3z
3
2y
2
1x
−
−
=
−
=
−

−
.
a) Chứng tỏ rằng (∆
1
) và (∆
2
) chéo nhau, tìm khoảng cách giữa chúng.
b) Gọi (∆) là một đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung giữa (∆
1
) và (∆
2
), viết
phương trình tổng quát của đường thẳng (∆).
c) Tìm côsin của góc giữa (∆
1
) và (∆
2
).
Kết quả: a) [
→
u
,
→
u
’].
→
21
MM
= − 4 ≠0, d(∆
1,

∆
2
)=
35
4
.
b)



=−+
=+−−
011z3y
03z8y11x5
c) cosα=
212
7
17) Cho mặt phẳng (α): x+y-z+3=0 và hai đường thẳng (∆
1
):
1
5z
1
1y
2
1x
−
−
=
−

=
−
và
(∆
2
):



=−++
=+−
09zyx2
0zy2x
.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Bài tập Hình Giải tích 12 - Trang 25 - Soạn cho lớp LTĐH
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và cắt cả 2 đường thẳng (∆
1
) và (∆
2
).
Tìm các giao điểm M và N của (d) với (∆
1
) và (∆
2
).
b) Tìm A= (∆
1
)∩(α) , B=(∆
2

) ∩(α).
c) Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) nằm trên mặt phẳng (α) và (∆)
cắt cả 2 đường thẳng (∆
1
) và (∆
2
).
d) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (α) và (Oxy).
e) Tính sin của góc giữa (∆
1
) và (α).
Kết quả: a)



=+−
=+−
0zy2x
0zy11x6
;M(9;5;1) và N(
8
3
;
8
15
;
8
27
). b) A(1;1;5) và B(0;3;6)
c)(∆)≡AB:






+=
+=
−=
t5z
t21y
t1x
d) cosϕ=
3
1
e) sinψ=
3
22
18) Cho hai đường thẳng: (d
1
):



=−+
=−++
01zy
03zyx
và (d
2
):




=+−
=+−−
01zy
09z2y2x
a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) vuông góc nhau.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (∆) là đường vuông góc chung
của (d
1
) và (d
2
).
Kết quả:



=+−
=−++
∆
01zy
09zyx4
:)(
.
19) Cho hai đường thẳng: (d

1
):





=
−=
+=
t2z
t1y
t2x
với t∈ R và (d
2
):



=−
=−+
03y
02z2x
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) cách đều hai đường thẳng (d
1
)
và (d
2
).
Hướng dẫn và kết quả: Chứng tỏ (d

1
) và (d
2
) chéo nhau. Tìm A∈d
1
,

B∈d
2
.
.
Mặt
phẳng (α) là qua trung điểm I của đoạn AB và song song với d
1
, d
2
.
(α):x+5y+2z−12=0.
20) Cho hai đường thẳng: (d
1
):





−=
−=
+=
t5z

t1y
t23x
với t∈ R và (d
2
):
1
1z
1
3y
2
3x
−
−
=
−
+
=
−

a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) song song nhau.
b) Viết phương trình của mặt phẳng (α) chứa (d
1
) và (d
2
).
Kết quả: (α): y−z+4=0

c) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
Kết quả: d(d
1,
d
2
)=
3
8
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều